質量M の台車に質量mの単振子を取付けた次のようなカラクリを考える．
図11.2 台車型倒立振り子
制御力f(t)は台車のみに与えるとする．このカラクリを，倒立振り子(inverted
pendulum)という．ヒトやロボットの平衡維持機能の原型としてよく用いられる．解
析力学を使って，このカラクリの運動方程式を導いてみよう．
11.3.1 座標変換
このカラクリの姿勢は，台車の水平変位x[m]と，振り子の倒れ角θ[rad]で定ま るので，一般化座標はq= (x, θ)としよう．このとき，一般化座標qから台車と分銅 の直交座標を求める座標変換は，それぞれ，
xM = (x, G)T, xm= (x+lsinθ, lcosθ+S)T (11.13) となる．Gは台車の重心高さ，Sは支点の高さを表す定数である．
11.3.2 全運動エネルギーT
台車と分銅の速度は，直交座標を時間微分して，
˙
xM = ( ˙x,0)T, x˙m= ( ˙x+lθ˙cosθ,−lθ˙sinθ)T (11.14) となる．したがって，この系の全運動エネルギーは次のようになる．
T =M
2 |x˙M|2+m
2|x˙m|2=M+m
2 x˙2+mlx˙θ˙cosθ+ml2 2
θ˙2 (11.15) 11.3.3 全ポテンシャルU
この系のポテンシャルは重力によるもののみで，台車と分銅の高さから，全ポテン シャルは次のようになる．
U=M g G+mg(lcosθ+S) (11.16)
11.3. 自立ロボットへの応用 113
11.3.4 オイラー・ラグランジュ方程式
したがって，この系のラグランジュ関数は次のようになる．
L=T − U= M+m
2 x˙2+mlx˙θ˙cosθ+ml2 2
θ˙2−M g G−mg(lcosθ+S) (11.17) 2つある一般化座標のそれぞれについて，オイラー・ラグランジュ方程式，
x方向：d dt
(∂L
∂x˙ )−∂L
∂x =f(t) ※x方向の外力Fx=f(t) θ方向：d
dt (∂L
∂θ˙ )−∂L
∂θ = 0
(11.18)
を求める．必要な偏微分を計算すると，x方向については，
∂L
∂x˙ = (M+m) ˙x+mlθ˙cosθ, d dt
∂L
∂x˙ = (M+m)¨x+mlθ¨cosθ−mlθ˙2sinθ, ∂L
∂x = 0 θ方向については，
∂L
∂θ˙ =mlx˙cosθ+ml2θ,˙ d dt
∂L
∂θ˙ =ml2θ¨+ml¨xcosθ−mlx˙θ˙sinθ,
∂L
∂θ =−mlx˙θ˙sinθ+mglsinθ となる．代入して下線部の相殺を整理すると，
x方向：(M+m)¨x+ (mlcosθ)¨θ−mlθ˙2sinθ=f(t)
θ 方向：(mlcosθ)¨x+ (ml2)¨θ−mlgsinθ= 0 =⇒ cosθx¨+lθ¨−gsinθ= 0 (11.19) となり，図11.2の倒立振り子の運動方程式が得られる．台車の運動x(t)は振り子θ(t) に，振り子θ(t)の運動は台車x(t)に力を及ぼすので，この系の運動方程式は，x(t) とθ(t)が混ざり合った2連立微分方程式となる．
♣ 11 章の補足
● 例題11.1p111の解答例
この2節リンクの一般化座標q= (q1, q2)T (関節角)から，先端の直交座標x= (x, y)T への座標変換は，
x=
x y
=
l1sinq1+l2sin(q1+q2) l1cosq1+l2cos(q1+q2)
であることが分かる．これで算法11.2の(11.11)p111が用意できた．これと普通の力 F = (fx, fy)T = (P,0)T を，(11.12)に代入すると，各関節の所要トルクが得られる．
F1= ∂ x
∂q1
fx+ ∂ y
∂q1
fy=(
l1cosq1+l2cos(q1+q2)) P+ ∂ y
∂q1
0
=P l1cosq1+P l2cos(q1+q2), F2= ∂ x
∂q2
fx+ ∂ y
∂q2
fy=(
l2cos(q1+q2)) P+ ∂ y
∂q2
0
=P l2cos(q1+q2)//
12
ロボットシミュレーション
12.1 力学シミュレーション
運動方程式をコンピュータで解き，得られた解をアニメーション表示する一連の手 順を，力学シミュレーション(mechanical simulation)という．シミュレーション用 のソフトウェア環境やプログラムのことを，シミュレータ(simulator)という．
12.1.1 運動方程式の1階化
運動方程式は，加速度を含むので，数学的には2階の常微分方程式となる．ところ が，コンピュータは2階微分の処理が苦手なので，運動方程式を1階の常微分方程式 に見せかけるテクニックが必要になる．これを運動方程式の1階化という．
単振り子の運動方程式(11.9)p109を例にとる．(x=θ とした)
ml2x¨=−mglsinx (*)
この方程式の2階微分x¨を見かけ上消すため，1階微分を他の変数に置いたx˙=yを 連立する．
˙ x=y
ml2x¨=−mglsinx
これに，変換式x˙=yを微分したもの¨x= ˙yを代入すると，
˙ x=y
˙
y=−glsinx ※整理した
(**)
となり，見かけ上，2階微分が消せる．このような式変形，
2階1連立(*) ダミー変数
= ⇒
y= ˙x 1階2連立(**)
を，1階化という．1階化の前(*)と後(**)で変数の数こそ違うが，方程式としては 等価であり，同じ解を持つ1)．
さらに，3階微分を含む場合...
x =f(¨x,x, x)˙ でも，2階微分までを別の変数x˙ =y,
¨
x=zに置けば，
˙ x=y
˙ y=z
˙
z=f(z, y, x)
(12.1)
のように1階化できる．同様の手順で変数を増やせば，一般に，
n階1連立 ダミー変数
= ⇒
1階n連立という1階化が可能である．変数が多いときは，通し番号の変数，
x1=x, x2= ˙x, x3= ¨x, · · ·, xn=dn−1x dtn−1 を使うのが便利である．
例題12.1 次の運動方程式を1階化せよ．
¨
x=F(x,x, θ,˙ θ)˙ θ¨=G(x,x, θ,˙ θ)˙
(12.2)
新しい変数は，x1=x,x2= ˙x,x3=θ,x4= ˙θ とせよ．
12.1.2 差分解法
1階化した運動方程式は，例えば2連立の場合，一般に次の形式で書ける．
dx
dt =f(x, y, t) dy
dt =g(x, y, t)
f, gは実スカラー値の3変数関数である．左辺を定義で書くと次式となる．
∆tlim→0
x(t+∆t)−x(t)
∆t =f(x, y, t) lim
∆t→0
y(t+∆t)−y(t)
∆t =g(x, y, t)
この時点で極限∆t→0を諦める解法のことを差分解法と呼ぶ2)．つまり，
1)(*)から(**)が導いたが，(**)から(*)も導ける．ゆえに方程式(*)と方程式(**)は，数学的に 等価であり，同じ解を持つ．
2)コンピュータは無限を扱えないから，微分も扱えない．そこで差分で近似する．