力学法則9.4 (運動量・角運動量の保存則—質点系の集合) 外力を受けない質点系をM 個考える．それぞれの全運動量がP1,· · ·,PM，全角運動量がL1,· · ·, LM である とき，それらの合計，
P =
∑M j=1
Pj, L=
∑M j=1
Lj (9.5)
は保存する(時間変化しない)．
原理は簡単だ．外力のない質点系をM 個考える．これらの構成要素は，外力のな い質点だから，これらを合体させた質点系もまた，外力のない質点系となる．ゆえに，
M 個の各質点系と，合体後の質点系には，それぞれ保存則が成立する．
合体後の質点系の運動量P は，例えば，
P =p1+p2
| {z }
P1
+p3+p4+p5
| {z }
P2
+p6+p7+p8+p9
| {z }
P3
のような構成になる．角運動量Lも同じである．これを逆に使うと，質点系の分解も 議論できる．すなわち，今度は，保存するP =p1+p2+p3+p4+p5+p6+p7+ p8+p9を先に与えて，
P =p1+p2+p3
| {z }
P1′
+p4+p5
| {z }
P2′
+p6+p7+p8+p9
| {z }
P3′
などと分割する．外力のある質点は1人もいないから，これらは全て外力のない質点 系となり，P1′, P2′, P3′は保存する．角運動量Lもまたしかりである．
9.2.2 剛体への拡張
剛体は質点系の一形態だから，当然，剛体単体としての全運動量P や全角運動量L を持つ．それらを力学法則9.4のPiやLiに代入すれば，保存則を適用できる．
問題はどう書き下すかである．剛体単体の運動量に「全」を付けるのは語弊がある ので，以下「全」を省く．さて，外力と外トルクを受けない剛体の運動方程式は，力 学法則7.1p68にF =O,T = 0を代入した，MX¨ =O,Iθ¨= 0である．これらを，
MX¨ = (MX˙ ).
=O, Iθ¨= (Iθ˙).
= 0 のように変形すると，(☆).
= 0となるような保存量 ☆ として，運動量P =MX˙ と 角運動量L=Iθ˙が得られる．以上，次の算法が得られる．
算法9.1 (剛体の運動量) 重心X，姿勢角θ，質量M，慣性モーメントI の剛体の
運動量P と，角運動量Lは，
P =MX,˙ L=Iθ˙ (9.6)
で与えられる．
9.2. 剛体および剛体系への拡張 91
これらを，力学法則9.4のPi,Liとして代入したのが，剛体に関する運動量の保 存則となる．
例題9.2 (はずみ車の急制動による振り子の振り上げ— Step 1) 下死点(θ= 0)で静止状
態の振り子の先端に，質量m1，慣性モーメントI1のはずみ車を取り付け，角速度ω1
で回転させておく．
いま，クラッチを継いで，振り子棒とはずみ車を一体化させた．一体化直後の振り子 の角速度ω2を求めよ．クラッチの質量と慣性モーメントは無視する．
▶▶(並進運動と回転運動の相似性) 回転運動に関する例題9.2の計算過程は，形式的に，
並進運動に関する例題9.1p88と同じになる．これは，表7.1p69に示した並進運動と回 転運動の相似性の表れである．
その他，平面運動限定だが，算法9.1の帰結として，次の法則が得られる．
力学法則9.5 (※平面運動限定) 外力のない2次元剛体の，重心速度X˙ と角速度θ˙
は保存する．
▶証明 剛体は質点系の一形態だから，外力がないとき算法9.1のP =MX˙ とL= Iθ˙は保存する．M, Iは定数だから，重心速度X˙ と角速度θ˙は保存する．
▶▶(3次元の場合) 不思議なことに，コマや人工衛星のような3次元の回転運動では，
角運動量が保存していても，角速度は一定にならない．ちなみに3次元運動の角速度は，3 次元ベクトルになる1)．
9.2.3 剛体系への拡張
剛体が複数になっても一向に困らない．剛体は質点系の一形態であるから，力学法 則9.4のメンバーに，剛体という名の質点系が増えるだけである．ちなみに，N 個の 剛体の集合を，N剛体系(N-rigidbody system)という．
問題9.1 質量m1 = 1，慣性モーメントI1 = 2，重心速度v1 = (1,0)T，角速度 ω1 = 5の剛体と，質量m2 = 2，慣性モーメントI2 = 3，重心速度v2 = (0,2)T， 角速度ω2= 3の剛体が，衝突し，外力を使わずに一体化した．一体化後の慣性モーメ ントをI= 4とするとき，一体化後の重心速度vと，角速度ωを求めよ．
1)http://edu.katzlab.jp/lec/mdyn/3dに，無重力空間を宙返りしまくるペンチの動画を用意しておい たので，ぜひご覧ください．