12.3 台車型自立ロボットの立位安定化
Code 1p118の自由運動では，振り子はぶらんぶらんとスイングするのみであった．
ここでは，制御力f(t)をうまく調整して，振り子を倒立状態に保つ方法を紹介する．
一般に，何らかの測定値に応じて制御力を調整することをフィードバック制御という．
以下がその一例である．
12.3.1 P制御
振り子が立位を保つには，倒れそうになったときに，立位に復元すればよい．その ために，倒れ角θに比例した力f(t)で台車を押してやる．
f(t) =Kθ (12.7)
この制御方式を，比例制御(proportional control)と呼び，略してP制御という．比 例定数Kを比例ゲインという．
実習12.2 Code 1の5行目の力を「ft = 20*x(3);」に書きかえ，12行目の初期 値を「x0 = [0; -3; 0.5; 1.2];」に書きかえて実行せよ．比例ゲインK= 20の P制御の結果が観察できる．
12.3.2 PD制御
このように，P制御だけでは振動が起きて，立位に安定しない．そこで，角速度θ˙ に比例した力でも押してやる．
f(t) =Kθ+Lθ˙ (12.8)
Lθ˙の部分を微分制御(derivative control)と呼び，略してD制御という．比例定数 Lを微分ゲインという．P制御とD制御を合せた(12.8)の制御方式を，PD制御 (proportional-derivative control)という．
実習12.3 Code 1の5行目の力を「ft = 20*x(3)+2*x(4);」に書きかえ，12行 目の初期値を「x0 = [0; -3; 0.3; 1.2];」に書きかえて実行せよ．K= 20,L= 2のPD制御の結果が観察できる．
このように，D制御は振動を抑制する効果を持つ．以上，図11.2p112の倒立振り 子は，(12.8)のPD制御により自立状態に安定化できる．
12.3.3 自立ロボットのダイナミクス
実習12.4 Code 1の5行目「ft = 20*x(3)+2*x(4);」のK= 20, L= 2の値 を試行錯誤的に調整して，次の2種類の運動を実現せよ．
(1)振動しながら立位に向う運動．
(2)振動しないで立位に向う運動．
ここで見付けたK, Lの値は，実習13.2p128で再利用するので，メモしておくこと．
ちなみに，K, Lの値が悪いと，倒立を保てなくなる．
▶▶(等速直線運動) ロボットが倒立安定化した後(x(3),x(4)≈0)，制御力はほとんど
0になる．このロボット・シミュレータには摩擦が無いので，このときロボットは自由運 動に近い状態となる．したがって，倒立安定化が完了した時点でロボットが速度を持って いれば，その速度は保たれる．
▶▶(初期値の調整) 上述の等速直線運動により，振子が画面から出て見えなくなる場合
は，12行目の初期値「x0 = [0; -3; 0.3; 1.2];」を調整せよ．初期値の各成分は，
x0 = [台車変位;台車速度;角度;角速度];
であった．これらの物理的な効果を考えて見当をつけよ．
12.3. 台車型自立ロボットの立位安定化 121
♣ 12 章の補足
● 例題12.1p116の解答例
新しい変数と，その微分x˙1= ˙x, x˙2= ¨x, x˙3= ˙θ, x˙4= ¨θを使うと，
˙
x1=x2 ∵x˙1= ˙x=x2
˙
x2=F(x1, x2, x3, x4)
˙
x3=x4 ∵x˙3= ˙θ=x4
˙
x4=G(x1, x2, x3, x4)
(12.9)
という1階化が得られる．
A12
使用した主要な関数●関数一覧
関数名 機能
// コメントアウト
= 代入
function 関数の定義
function y =関数名(引数) 内容;
y =返り値;
endfunction
dx(1),dx(2) ベクトルdxの第1,第2要素 x(1), x(2) ベクトルxの第1,第2要素
xx(i, :) 行列xxのi番目の行ベクトル
[a;b] 縦ベクトル
a b
tt=linspace(a,b,n) 等差数列tt=[t1, ... ,tn]の作成．a…始値, b…終値，n…等分数 xx=ode(x0,0,t,func) 連立1階常微分方程式を解く．※原理は12.1.2節を参照
xx…数値解，func…方程式，x0…初期値，0…初期時刻，t…解を求める時 刻列;
xx =
x(t1) x(t2) · · ·
˙
x(t1) x(t˙ 2) · · ·
plot(a,b) 2次元プロット．a…x軸の座標データ，b…y軸の座標データ
xgrid() グリッド(座標の格子)を表示する．
xtitle(”タイトル”) グラフに”タイトル”を付ける．
13
振動と固有値
物体の様々な運動形態のなかで，ロボットなどの自律的な機械装置の制御方法に深 く関わるのが，振動(vibration)という運動である．その基本となるのが，外から余 計な力がかからない場合の振動で，これを自由振動(free vibration)という．
13.1 振動とダイナミクス
13.1.1 振動
振動とは，同じ場所を行ったり来たりする形態の運動である．そのような運動が実 現するには，何が必要だろうか？—復元力(restoring force)である．復元力を持つ 物体を引っぱると，元の位置に戻ろうとする．戻りすぎて元の位置を行き過ぎること を，オーバーシュート(overshoot)という．オーバーシュートしてしまった物体は，
もう一度元に戻ろうとする．それがまたオーバーシュートして，元に戻ろうとし・・・と いう現象が繰り返される．これが振動のカラクリである．
13.1.2 ダイナミクス
振動を引き起す系は，条件を変えると表13.1p123のような6種類の動き方に変化 する可能性がある．このような事物を動き方を，ダイナミクス(dynamics)と総称す る．振動はその一形態である．また，個数を表す数に0を含めるのと似た発想で，一
定値の(動かない)動き方も表に含めた．(表中の「固有値」については後述する)
ちなみに，表13.1のようなダイナミクス(動き方)を示す事物は，物体の運動だけ ではない．それ以外にも，
• 電気回路 ※x(t)は電流，電圧など
• 化学反応 ※x(t)は物質の濃度など
• 経済現象 ※x(t)は株価，為替レート，GDPなど
• その他，時間変動する事物
など枚挙にいとまがない．恐らくは，森羅万象の全てについて，ダイナミクスを議論す ることができる．