6.3.2 運動方程式の積分
運動x(t)の具体的な関数形を求めるには，微分方程式(6.9)を解かねばならない．
そのためには，左辺の2階微分x(t)¨ の階数を減らす方法が必要だが，これには微積分 学の基本定理が使える．
▶▶(微積分学の基本定理) 微分操作は積分で元に戻せる．ただし積分定数がつく．
∫
˙
x dt=x+C (C は積分定数) (6.11)
さっそく，運動方程式(6.10)の両辺を，時間tで積分すると，
∫
(¨x)dt=
∫ ( ˙x).
dx =
∫ f
mdt ※C:=C2−C1
=⇒ x˙+C1 = f
mt+C2 ∴x(t) =˙ f
mt+C (6.12) もう1回積分して，
∫
( ˙x)dt =
∫ (f mt+C
)
dt ※D:=D2−D1
=⇒ x+D1 = f m
t2
2 +C t+D2, ∴x(t) = f m
t2
2 +C t+D (6.13) という解を得る．このx(t)が，一定の力f を受ける質点の運動である．
6.3.3 積分定数C, Dの消去
(6.13)の運動x(t)は，任意定数C, Dを含むので，まだ運動は確定していない．そ こでまず，(6.13)にt= 0を代入すると，
x(0) = f m
02
2 +C0 +D=D
となり，任意定数Dは，質点の初期位置x(0) =x0 に対応することが分かる．同様 に，(6.12)にt= 0を代入すると，
˙ x(0) = f
m0 +C=C
となり，任意定数Cは，質点の初速度x(0) =˙ v0 に対応することが分かる．
以上，一定の力fを受ける質量mの質点の運動が，初期位置x(0) =x0 と初速度
˙
x(0) =v0 を既知として，次のように求まった．
x(t) = (f
m )t2
2 +v0t+x0 (6.14)
このように，一定力fを受ける質点の運動x(t)は，2次関数，1次関数，定数の3項 からなる．2次関数は加速度(f /m)の加速運動，1次関数は速度v0の等速運動，定 数項x0は初期位置を表す．
6.3. 質点の直線運動 63
6.3.4 積分定数C, Dの消去—境界値問題 (6.14)の計算では，微分方程式，
¨ x= f
m (
=⇒ x(t) = f m
t2
2 +C t+D )
に，初期条件，
x(0) =x0, x(0) =˙ v0 (6.15) を連立することで，任意定数C, Dを決めた．この種の問題を初期値問題という7)． その結果，C, Dが初速度と初期位置に対応し，物理的にも自然な計算となった．
ところが，これを単なる数学の例題として見れば，未知数C, Dの決定を，初期時 刻t= 0で行う必然性はない．未知数C, Dの数だけ，独立な条件式を用意できれば，
未知数は確定する．
そこで，初期時刻t= 0に加えて，終端時刻8)t1>0での条件を考える．これを終 端条件という．ざっくりいって，初期値と終端値を混在させた問題を，2点境界値問 題もしくは単に境界値問題という．
境界条件の例を下表に示す．いまは未知数C, Dが2個なので，境界条件も2個で よい．その取り方は，形式的には，4個から2個選ぶ組み合せの数だけある．
使う条件
境界条件No 初期位置 初速度 終端位置 終端速度 備考 x(0) =x0 x(0) =˙ v0 x(t1) =x1 x(t˙ 1) =v1
(1) ○ ○ 初期条件
(2) ○ ○ 例題
(3) ○ ○
(4) ○ ○
(5) ○ ○
(6) ○ ○
例えば，境界条件(2)で，
• x(0) = 0，x(5) = 10．(初速度・終端位置)˙
の場合を考えてみよう．意味するところは，t= 0で静止状態x(0) = 0˙ にある質点が，
5秒後に地点x(5) = 10を通過するように未知数C, Dを確定せよ，である．この境 界条件を(6.13)，(6.12)に代入すると，
˙ x(0) = f
m0 +C= 0 ∴ C= 0
7)初期時刻t= 0における事前情報で任意定数を確定する問題，という意味．
8)運動を考察する時間軸の終端という意味．
x(5) = f m
52
2 + 0·5 +D= 10 ∴ D= 10−25f 2m
となる．得られたC, Dを(6.12)，(6.13)に代入すると，質点の速度と位置が，
˙ x(t) = f
mt, x(t) = f m
t2 2 +
(
10−25f 2m
)
のように確定する．
ちなみに，この運動を実験で再現するには，初期値問題に等価変換する必要がある．
なぜなら，t <5の時点で，未来の状態x(5)を設定することはできない．そこで，こ の境界値問題と同じ運動を実現する初期条件，
x(0) = f m
02 2 +
(
10−25f 2m
)
= 10−25f
2m, x(0) =˙ f m0 = 0
を質点に与える．実験が十分に高精度なら，境界条件x(0) = 0˙ ，x(5) = 10を満足す る運動が実現する．
なにやら，タイムマシーンめいた話になってしまったが，この種の問題は，いわゆ る「設計」すなわち「逆算」の問題として，技術者がよく直面する9)．この例題は，
ようするに，与えられた質量mと力f の条件下で，時刻t= 0で静止状態x(0) = 0˙ にある質点が，5秒後にx= 10mの地点を通過するような，初期位置x(0) =x0を 逆算せよ，というものである．自動車で脚色した例題を挙げておく．計算自体は，直 前の式と全く同じである．
例題6.3 質量m= 1000kg，推進力f= 5000Nの自動車が，t= 0において静止状 態x(0) = 0˙ にある．この自動車が5秒後(t= 5)にx= 10mの地点を通過するた めには，スタート地点x(0) =x0 をどこに置けばよいか．