35 3.2.支配方程式の書き換えとサブシステムヘの分割
を得る.上式の両辺を0からrまで時間積分すれば,
上r如=脚卜卿)
≦‑α上r￠2dけ上丁如d壬 上r如虎≧α上r￠2糾脚)一柳)
となり,消散不等式
(3.7)
(3･8) が成立する･(3･8)式は電気系サブシステムgl:祝→￠がストレージ関数を(3.4)式,エネ ルギ供給率をぴ(￠,祝)=画一α￠2とする出力強受動系であることを示している.q
命題3･2
機械系サブシステム量:(んag‑mタ)}由は受動系である.
証明3･2機械系サブシステムβ2のストレージ関数を機械系の運動エネルギ(2.3)とする.
これを機械系サブシステムの支配方程式(3.2)第3式に沿って時間微分すれば, 二㌦=m由弘=由(んag‑mタ)
を得る.上式の両辺を0からrまで時間積分すれば,
上r加=㍍(rト瑚)
上r蝿ag‑mタ)df
(3.9)
(3･10) が成立する･上式は機械系サブシステム銭‥(んag‑mタ)→如がストレージ関数を機械系 サブシステムの運動エネルギ(2･3),エネルギ供給率をぴ(如,んag‑mタ)=匁｡(んag‑mタ)
とする受動系であることを示している.q
これらの命題より電気系サブシステムについては,電磁石への入力電圧祝を用いて磁 束￠を制御することは容易であるといえる.同様に機械系サブシステムについては,剛体 球に作用する力んagを用いて剛体球の速度如を制御するのは容易であるといえる.また,
電磁力んagと磁束￠の間には静的な関係式として(3.2)第2式が成り立っ.これらより,
37 3.3.コントローラの導出
Figure3･1‥Decomposedmagneticlevitationsystem･
電気系サブシステムを剛体球が目標軌道に追従するような電磁力を発生させる磁束となる ように制御することで,剛体球の運動を制御できると期待できる.したがって,電気系サ ブシステムは剛体球を駆動するための独立したアクチュエータと見なすことができ,それ ぞれのサブシステムに対して独立に安定なコントローラを設計すれば系全体を安定化でき
ると期待される.
また,電気系サブシステムと機械系サブシステムはFigure3.1に示すように,電磁力と 剛体球の位置を通してフィードバック結合された系であるとみなすことができる･
3.3 コントローラの導出
第2章と同様に本章でも剛体球の位置に関する追従制御を考える.前節の2つの命題よ り,電気系サブシステムと機械系サブシステムが完全に分離でき,それぞれのサブシステ
ムに対して受動性が成立するので,それぞれのサブシステムに対してエネルギの整形と減 衰項の挿入を独立に行うことでコントローラ設計ができると期待される.系全体のコント
ローラは独立に設計されたサブコントローラを結合することで得られる.それぞれのコン トローラの役割は以下のとおりである.
1.機械系サブシステムに対するコントローラでは,位置誤差を0とするような電磁石が 発生すべき目標電磁力んag｡を計算する･
2.電気系サブシステムに対するコントローラでは,機械系サブシステムのコントローラ で得られた目標電磁力んag｡を発生させるような目標磁束如を計算し,さらに,磁 束が目標磁束￠dとなるような制御入力祝を決定する.
3.3.1
制御入力祝の決定
機械系サブシステムが的を整定するために必要な電磁力んag｡と,それを発生させる ような目標磁束如が与えられているものとして,￠→￠dとなるような制御入力祝を決定 する･本研究では受動性にもとづく追従制御を考えているので,閉ループ系が受動系とな るようなコントローラを設計する.そのために,電気系サブシステムのエネルギを整形し, 所望する閉ループ系のストレージ関数が