球面調和関数

規格直交条件(5.27)に角度方向の完全性関係式

∫

dΩ|θ, ϕ⟩⟨θ, ϕ|= ˆI, dΩ = sinθdθdϕ(0≤θ≤π, 0≤ϕ <2π) (5.35) を挿入する。ここで、θ^、ϕ^は極座標

x=rsinθcosϕ, y=rsinθsinϕ, z=rcosθ (5.36) の天頂角と方位角であり、dΩは立体角要素である。すると

∫

dΩ⟨L, M|θ, ϕ⟩⟨θ, ϕ|L^′, M^′⟩ =

∫

dΩY_L^M(θ, ϕ)^∗Y_L^M′^′(θ, ϕ)

= δL,L^′δM,M^′ (5.37) が得られる。ここで、

Y_L^M(θ, ϕ)≡ ⟨θ, ϕ|L, M⟩ (5.38)

は球面調和関数 と呼ばれる。球面調和関数は固有方程式

Lˆ²Y_L^M(θ, ϕ) =ℏ²L(L+ 1)Y_L^M(θ, ϕ) (5.39) Lˆ_zY_L^M(θ, ϕ) =ℏM Y_L^M(θ, ϕ) (M =L, L−1,· · ·,−L) (5.40) を満足する固有関数である。M が−LからLまでの整数値をとることに 対応して、各Lの値に対して、2L+ 1個の成分Y_L^M(θ, ϕ)が存在する。M が離散的な値を取るという事実は、角運動量の向きが量子力学（特に、角 運動量演算子が満足するリー代数）によって離散化されたと解釈される。

Y_L^M(θ, ϕ)の関数形を具体的に求めるために、(5.39)^と(5.40)^の左辺の 演算子を極座標表示 (5.36)を使って書く。このため、まず座標x, y, zに 関する偏微分を極座標表示すると

∂

∂x = sinθcosϕ∂

∂r +cosθcosϕ r

∂

∂θ − sinϕ rsinθ

∂

∂ϕ

∂

∂y = sinθsinϕ∂

∂r +cosθsinϕ r

∂

∂θ + cosϕ rsinθ

∂

∂ϕ

∂

∂z = cosθ ∂

∂r −sinθ r

∂

∂ϕ (5.41)

となる。これらを利用すると Lˆ_z=−iℏ

( x ∂

∂y−y ∂

∂x )

=−iℏ ∂

∂ϕ (5.42)

が得られる。これを(5.40) に代入すると球面調和関数のϕ^依存性が Y_L^M(θ, ϕ)∝e^{iM ϕ} (5.43) であることがわかる。M が整数値をとることは、系を z^{軸の周りを一周} する(^{すなわち、}ϕ→ϕ+ 2π)と波動関数は元に戻るという波動関数の一 価性の帰結である。

同様にしてLˆ_x,Lˆ_yを極座標表示すると Lˆx = iℏ

( sinϕ∂

∂θ + cotθcosϕ ∂

∂ϕ )

(5.44) Lˆ_y = iℏ

(

−cosϕ ∂

∂θ + cotθsinϕ ∂

∂ϕ )

(5.45) これらを用いてLˆ_± を極座標表示すると

L+ = ℏe^iϕ ( ∂

∂θ +icotθ ∂

∂ϕ )

(5.46) L₋ = −ℏe^−iϕ

( ∂

∂θ −icotθ ∂

∂ϕ )

(5.47)

5.1. 軌道角運動量 63 となる。これらを(5.9)^式Lˆ²= ˆL+Lˆ₋+ ˆL²_z−ℏLˆzに代入すると

Lˆ² =−ℏ² [ 1

sinθ

∂

∂θ (

sinθ ∂

∂θ )

+ 1

sin²θ

∂²

∂ϕ² ]

(5.48) が得られる。これは、ラプラシアンの極座標表示

∆ = 1 r²

∂

∂r (

r² ∂

∂r )

+ 1 r²

[ 1 sinθ

∂

∂θ (

sinθ ∂

∂θ )

+ 1

sin²θ

∂²

∂ϕ² ]

(5.49) の角度部分に比例定数を除き一致していることに注意しよう。

(5.48)^を(5.39)^{に代入し、}Y_L^M(θ, ϕ) =A^M_L(θ)e^{iM ϕ とおくと、}A^M_L ^の満 足すべき方程式

[ 1 sinθ

∂

∂θ (

sinθ ∂

∂θ )

− M² sin²θ

]

A^M_L =−L(L+ 1)A^M_L (5.50) が得られる。この方程式の解A^M_L ^{を求めよう。まず、}⟨θ, ϕ|Lˆ₋|L,−L⟩= 0 に(5.47)を代入すると

(∂

∂θ −icotθ ∂

∂ϕ )

⟨θ, ϕ|L,−L⟩= 0 (5.51) これに⟨θ, ϕ|L,−L⟩=A⁻_L^L(θ)e^−iLϕを代入すると

dA⁻_L^L

dθ −LcotθA⁻_L^L= 0 (5.52) が得られる。この解は

A⁻_L^L=c(sinθ)^L (5.53) で与えられる。ここで定数cは|Y_L^−L|^{2の立体角積分が}1に規格化される ように決められる。すなわち、

∫

dΩ|Y_L^−L(θ, ϕ)|² =

∫ _2π

0

dϕ

∫ _π

0

dθsinθ|A⁻_L^L(θ)|²

= 2πc²

∫ _π

0

(sinθ)^2L+1dθ

= 4πc²2^2L(L!)²

(2L+ 1)! = 1 (5.54)

これから

c= 1 2^LL!

√(2L+ 1)!

4π (5.55)

が得られる。これを(5.53)^{に代入すると} A⁻_L^L= 1

2^LL!

√(2L+ 1)!

4π (sinθ)^L (5.56)

次に、一般のA^M_L を求めるために漸化式をつくる。(5.29)^より

|L, M⟩= 1

ℏ√

(L−M+ 1)(L+M)

Lˆ₊|L, M −1⟩ (5.57) が得られるが、この両辺の左側から⟨θ, ϕ|^{を作用させて}(5.46)^{を用いると}

A^M_L(θ)e^{iM ϕ} = e^iϕ

√(L−M+ 1)(L+M)

× ( ∂

∂θ +icotθ ∂

∂ϕ )

A^M_L⁻¹(θ)e^i(M−1)ϕ

= e^{iM ϕ}

√(L−M+ 1)(L+M)

× ( ∂

∂θ −(M−1) cotθ )

A^M_L⁻¹(θ)

= − e^{iM ϕ}

√(L−M + 1)(L+M)(sinθ)^M

× d

d(cosθ)[(sinθ)^−(M−1)A^M_L⁻¹(θ)] (5.58) そこでy^M := (sinθ)^−MA^M_L とおくとy^M に関する漸化式

y^M = −1

√(L−M+ 1)(L+M) d

d(cosθ)y^M−1 (5.59) が得られる。これをL+M ^{回順次適用すると}

y^M = (−1)^L+M

√

(L−M)!

(2L)!

1 (L+M)!

d^L+M

d(cosθ)^L+My^−L (5.60) が得られる。右辺にy^−L= (sinθ)^LA⁻_L^Lを代入すると

A^M_L = (−1)^L+M

√

(L−M)!

(2L)!

1 (L+M)!

×(sinθ)^M d^L+M

d(cosθ)^L+M[(sinθ)^LA⁻_L^L] (5.61) が得られる。これに(5.56)を代入すると

A^M_L = (−1)^L+M 2^LL!

√ 2L+ 1

4π

(L−M)!

(L+M)!

×(sinθ)^M d^L+M

d(cosθ)^L+M[(sinθ)^2L] (5.62)

5.1. 軌道角運動量 65 こうして角運動量の固有状態である球面調和関数の一般公式

Y_L^M(θ, ϕ) = ⟨θ, ϕ|L, M⟩

= (−1)^L+M 2^LL!

√ 2L+ 1

4π

(L−M)!

(L+M)!

×e^{iM ϕ}(sinθ)^M d^L+M

d(cosθ)^L+M(sinθ)^2L (5.63) が得られる。 同様にして、⟨θ, ϕ|Lˆ₊|L, L⟩= 0に(5.46)を代入して以上 の計算を繰り返すと

A^L_L= (−1)^L 2^LL!

√(2L+ 1)!

4π (sinθ)^L (5.64)

が得られる。位相因子(−1)^{Lは以下の結果が}(5.62)^{と一致するように選}

ばれた。(5.64)から始めて上と同様な計算を行うと

Y_L^M(θ, ϕ) = (−1)^L 2^LL!

√

2L+ 1 4π

(L+M)!

(L−M)!

×e^{iM ϕ}(sinθ)^−M d^L−M

d(cosθ)^L−M(sinθ)^2L (5.65) が得られる。これは(5.63)とは一見異なるが同じであることが示せる。

A^M_L は本質的には陪ルジャントル多項式と呼ばれるものである。これを 見るために、A^M_L ^{の微分方程式}(5.50)^でx= cosθ^{とおくと次の微分方程} 式が得られる。

(1−x²)d²A^M_L

dx² −2xdA^M_L dx +

[

L(L+ 1)− M² 1−x²

]

A^M_L = 0

(−1≤x≤1) (5.66)

この微分方程式はLとMが整数のとき、1価の連続解を持つことが知ら れている。特に、|M| ≤ Lの場合は、陪ルジャンドル多項式と呼ばれる

−1≤x≤1で有界な解 P_L^M(x) = (1−x²)^M2

2^LL!

d^L+M

dx^L+M(x²−1)^L (−L≤M ≤L) (5.67) をもつ。M = 0^と置いたP_L⁰(x)はルジャンドル多項式と呼ばれる。

PL(x) = 1 2^LL!

d^L

dx^L(x²−1)^L (5.68)

こうしてA^M_L(θ)は比例定数を除いてP_L^M(cosθ)に等しいことがわかる。

P_L^M(x)は正規直交条件

∫ _∞

0

e^−xx^MP_L^M(x)P_L^M′(x)dx= (L+M)!

L! δ_L,L′ (5.69) を満足する。Y_L^{M の規格直交条件}(5.37)を満足するように係数を決めると

Y_L^M(θ, ϕ) = (−1)^M+2|M|

√

2L+ 1 4π

(L− |M|)!

(L+|M|)!P_L^|M|(cosθ)e^{iM ϕ} (5.70) が得られる。これからY_L^Mが一般に次の関係式を満足することがわかる。

Y_L^−M(θ, ϕ) = (−1)^M[Y_L^M(θ, ϕ)]^∗ (5.71) 特に、M = 0の場合は

Y_L⁰(θ, ϕ) =

√2L+ 1

4π PL(cosθ) (5.72)

また、球面調和関数の完全性条件は

∑∞ L=0

∑L M=−L

[Y_L^M(θ, ϕ)]^∗Y_L^M(θ^′, ϕ^′) = 1

sinθδ(θ−θ^′)δ(ϕ−ϕ^′)

=: δ(Ω−Ω^′) (5.73) で与えられる。両辺を立体角で積分∫

· · ·sinθdθdϕ^すると1^{に等しくなる} ことに注意しよう。

以下に、球面調和関数の例を書き下しておく。

Y₀⁰ = 1

√4π Y₁^±1 = ∓

√ 3

8πsinθe^±iϕ, Y₁⁰ =

√ 3 4πcosθ Y₂^±2 =

√ 15

32πsin²θe^±2iϕ, Y₂^±1 =∓

√15

8π sinθcosθe^±iϕ, Y₂⁰ =

√ 5

16π(3 cos²θ−1)

(5.74)

ドキュメント内 東京大学理学系研究科　上田研究室 (ページ 61-66)