球面波

rlim→0r²U(r) = 0 (7.14) を満足しているという条件で、波動関数の原点近傍での振る舞いを調べよ う。原点近傍でR(r) ∝r^sと置いて(7.9)に代入し、r→ 0なる極限を取 る。すると(7.13)^、(7.14)^よりs=ℓであることがわかる。すなわち

R(r)∝r^ℓ (r→0) (7.15)

7.2 球面波

空間の並進対称性がある系では運動量p^{とエネルギー}E=p²/2m^が保 存し、波動関数は平面波ψ∝e^ℏip·rとなる。球対称な系ではエネルギーに 加えて角運動量ℓ^{と磁気量子数}mが保存する。このような自由な（すな

わち、U(r) = 0)波動関数を考えよう。以下ではエネルギーEの代わりに

波数k:=√

2mE/ℏを考える。前節の議論と同様に波動関数は

ψ_kℓm =R_kℓ(r)Y_ℓ^m(θ, ϕ) (7.16) と書ける。波動関数に関する規格直交条件は

∫ _∞

0

r²dr

∫ _π

0

sinθdθ

∫ _2π

0

dϕψ_k^∗′ℓ^′m^′ψ_kℓm = 2πδ(k−k^′)δ_ll′δ_mm′ (7.17) 角度方向の積分を球面調和関数の直交性(5.37)を利用して実行すると

∫ _∞

0

r²drR_k′ℓR_kℓ= 2πδ(k−k^′) (7.18) このとき、動径方向の波動関数は

1 r

d²

dr²(rRkℓ) + [

k²−ℓ(ℓ+ 1) r²

]

Rkℓ = 0 (7.19)

を満足する。

ℓ= 0^{の場合は、境界条件}(7.13)^{を満足する}(7.19)^の解は R_k0(r) = 2sinkr

r =:χ_k0(r) (7.20)

で与えられる²。ℓ̸= 0の場合は

R_kℓ(r) =r^ℓχ_kℓ (7.21)

2(7.20)に線形独立な解2^sin_r^kr は原点で発散する。

とおくと

d²χ_kℓ

dr² + 2ℓ+ 1 r

dχ_kℓ

dr +k²χ_kℓ= 0 (7.22) 両辺をr^{で微分すると}

d³χ_kℓ

dr³ + 2ℓ+ 1 r

d²χ_kℓ dr² +

(

k²−2ℓ+ 1 r²

)dχ_kℓ

dr = 0 (7.23) これを変形すると次のように書けることがわかる。

d² dr²

(1 r

dχ_kℓ dr

)

+ 2ℓ+ 2 r

d dr

(1 r

dχ_kℓ dr

) +k²1

r dχ_kℓ

dr = 0 (7.24) これを(7.22)と比較すると

χ_kℓ+1= 1 r

dχ_kℓ

dr (7.25)

であることがわかる。この漸化式を繰り返し用いることにより χkℓ=

(1 r

d dr

)_ℓ

χk0 (7.26)

が得られる。これに(7.20)を代入すると R_kℓ = 2(−1)^ℓr^ℓ

k^ℓ (1

r d dr

)ℓ

sinkr

r (7.27)

が得られる。ここで、因子(−1)^ℓは便宜上導入した。因子k^−ℓは規格化条

件(7.18)を満たすように決められた。

動径方向の微分方程式(7.19)でx=kr、y=R_kℓとおいてkを消去す ると

1 x

d²

dx²(xy) + [

1−ℓ(ℓ+ 1) x²

]

y= 0 (7.28)

となる。これは2階の斉次微分方程式なので2つの独立な解を持つ。その うち、原点で正則な解は球ベッセル関数j_ℓ(x)、正則でない解は球ノイマ ン関数 n_ℓ(x)^{と呼ばれる。}

jℓ(x) = (−x)^ℓ (1

x d dx

)_ℓ sinx

x =

√ π 2xJ_ℓ+¹

2(x) (7.29) nℓ(x) = −(−x)^ℓ

(1 x

d dx

)_ℓ cosx

x =

√ π 2xN_ℓ+¹

2(x) (7.30)

(7.29)は上で議論したように原点で正則である。これと比較して(7.30)は

正弦関数が余弦関数に置き換わっていることからわかるようにj_ℓとは独

7.2. 球面波 103 立であり、原点で特異性を持つ。球ベッセル関数を用いると(7.27)^は次の ように書ける。

R_kℓ= 2kj_ℓ(kr) =

√2πk r J_ℓ+1

2(kr) (7.31)

r→ ∞^{の漸近形は、}1/rⁿ (n≥2)の項を無視すると R_kℓ→2sin(kr−ℓπ/2)

r (7.32)

と書ける。逆に原点近傍(r→0)^{での振る舞いは}(7.27)^のsinkr^を展開し て、微分した後でrの最低次の冪が主要項になることに注意すると、r→0 で

(1 r

d dr

)ℓ

sinkr

r ≃ (−1)^ℓ (1

r d dr

)ℓ

k^2ℓ+1r^2ℓ (2ℓ+ 1)!

= (−1)^ℓ k^2ℓ+1

(2ℓ+ 1)!! (7.33)

これから

R_kℓ= 2k^ℓ+1

(2ℓ+ 1)!!r^ℓ (7.34)

となり、(7.15)とコンシステントな結果が得られる。

散乱問題ではしばしば定常状態が問題になる。外部から粒子が次々と入 射して、それが他の粒子にあたって散乱されるような状況である。そのよ うな場合は、波動関数は原点（すなわち、他の粒子の位置）でゼロになる 必要はないので、(7.29)と(7.30)の線形結合が解になる。両者を線形結合 してできた特殊関数は次に定義される球ハンケル関数である。

h⁽¹⁾_ℓ (x) := jℓ(x) +inℓ(x) =−i(−x)^ℓ (1

x d dx

)_ℓ e^ix

x

=

√ π 2xH_ℓ+⁽¹⁾1

2

(7.35) h⁽²⁾_ℓ (x) := j_ℓ(x)−in_ℓ(x) =i(−x)^ℓ

(1 x

d dx

)_ℓ e^−ix

x

=

√ π 2xH⁽²⁾

ℓ+¹₂ (7.36)

h⁽¹⁾_ℓ は中心から外向きの波、h⁽²⁾_ℓ は内向きの波を記述している。これから ℓ= 0の波はAを定数として

R_k0^± = A

re^±ikr (7.37)

となる。一般のℓ^の場合は

R_kℓ^± := (−1)^ℓAr^ℓ k^ℓ

(1 r

d dr

)ℓ

e^±ikr r

= ±iA

√πk 2rH^(1,2)

ℓ+¹₂ (kr) (7.38)

定在波の時と同様にr → ∞^{での漸近形は} R^±_kℓ →Ae^{±i(kr−ℓπ/2)}

r (7.39)

であり、原点近傍での振る舞いは R^±_kℓ →A(2ℓ−1)!!

k^ℓ r^−ℓ−1 (7.40)

で与えられる。

もし単位時間当たり1個の粒子が流れ出ている状況を考えよう。流れの 密度は粒子の速度をv=ℏk/mとしてj=v|ψ|²で与えられるので、原点 を中心とする半径rの球面全体にわたる積分をしたものが1になる。すな わち、立体角要素をdΩ^として

∫

r²dΩj=r²v|R_k0⁺|² =A²v= 1→A= 1

√v (7.41)

ここで、|ψ|²に含まれる球面調和関数の立体角積分が1^{になるという性質} (5.37)を使った。

原点から十分に離れた場所では、原子間相互作用や1/r²に比例する遠心 力ポテンシャル（(7.19)の最後の項）は無視することができる。したがっ て動径方向の波動関数は

1 r

d²(rR_kℓ)

dr² +k²R_kℓ= 0 (7.42)

に従う。この方程式に一般解は Rkℓ = 2

r sin(kr−ℓπ/2 +δℓ(k)) (7.43) で与えられる。ここでℓπ/2は(7.32)による。また、δ_ℓ(k)はℓ波の位相シ フトと呼ばれ、rが小さい領域で重要な相互作用の効果を表している。

ドキュメント内 東京大学理学系研究科　上田研究室 (ページ 101-104)