水素原子

となる。一般のℓ^の場合は

R_kℓ^± := (−1)^ℓAr^ℓ k^ℓ

(1 r

d dr

)ℓ

e^±ikr r

= ±iA

√πk 2rH^(1,2)

ℓ+¹₂ (kr) (7.38)

定在波の時と同様にr → ∞^{での漸近形は} R^±_kℓ →Ae^{±i(kr−ℓπ/2)}

r (7.39)

であり、原点近傍での振る舞いは R^±_kℓ →A(2ℓ−1)!!

k^ℓ r^−ℓ−1 (7.40)

で与えられる。

もし単位時間当たり1個の粒子が流れ出ている状況を考えよう。流れの 密度は粒子の速度をv=ℏk/mとしてj=v|ψ|²で与えられるので、原点 を中心とする半径rの球面全体にわたる積分をしたものが1になる。すな わち、立体角要素をdΩ^として

∫

r²dΩj=r²v|R_k0⁺|² =A²v= 1→A= 1

√v (7.41)

ここで、|ψ|²に含まれる球面調和関数の立体角積分が1^{になるという性質} (5.37)を使った。

原点から十分に離れた場所では、原子間相互作用や1/r²に比例する遠心 力ポテンシャル（(7.19)の最後の項）は無視することができる。したがっ て動径方向の波動関数は

1 r

d²(rR_kℓ)

dr² +k²R_kℓ= 0 (7.42)

に従う。この方程式に一般解は Rkℓ = 2

r sin(kr−ℓπ/2 +δℓ(k)) (7.43) で与えられる。ここでℓπ/2は(7.32)による。また、δ_ℓ(k)はℓ波の位相シ フトと呼ばれ、rが小さい領域で重要な相互作用の効果を表している。

7.3. 水素原子 105 中の運動を考える。これを(7.9)^{へ代入すると}

1 r

d²(rR)

dr² −ℓ(ℓ+ 1)

r² R+2m ℏ²

( E+α

r )

R= 0 (7.45)

クーロン場では質量、長さ、時間をそれぞれm,ℏ²/(mα),ℏ³/(mα²)を単 位として測ると便利である。これをクーロン単位系という。このとき、エ ネルギーの単位は

m (長さ

時間 )₂

= mα²

ℏ² (7.46)

である。これらの単位で測ると、(7.45)^{は次のようになる。}

1 r

d²(rR)

dr² −ℓ(ℓ+ 1) r² R+ 2

( E+ 1

r )

R= 0 (7.47)

ここで、さらに変数変換

n= 1

√−2E, ρ= 2r

n (7.48)

を行うと(7.47)^{は次のように書ける。}

1 ρ

d²(ρR) dρ² +

[

−ℓ(ℓ+ 1) ρ² −1

4 +n ρ ]

R= 0 (7.49)

この式から短距離での振る舞いはR ∼ ρ^ℓ であることがわかる。また、

ρ→ ∞^では(7.49)は

d²R dρ² −1

4R = 0 (7.50)

となるので、R∼e^−12ρであることがわかる。したがって、

R=ρ^ℓe^−12ρw(ρ) (7.51) とおくと、w(ρ)^{についての方程式}

[ ρ d²

dρ² + (2ℓ+ 2−ρ) d

dρ −(ℓ+ 1−n) ]

w= 0 (7.52)

これを(6.115)と比較すると解は合流型超幾何関数

w(ρ) = ₁F₁(ℓ+ 1−n,2ℓ+ 2;ρ)

= 1

n+ℓC_2ℓ+1L^(2ℓ+1)_n−ℓ−1(ρ) (7.53)

で与えられることがわかる。最後の等式を導く際に(6.120)^{を用いた。ま} た、教科書の流儀によってはL^(2ℓ+1)_n−ℓ−1はL^(2ℓ+1)_n+ℓ と書かれていることに注 意しよう(6.4節の最後の注を参照)。6.4節で述べたように、解が規格化 できるためにはℓ+ 1−nがゼロまたは負の整数でなければならない。し たがって、n^はℓ+ 1以上の整数であることがわかる。

n≥ℓ+ 1, nは整数 (7.54)

このとき、動径成分の波動関数は

R_nℓ= const.ρ^ℓe^−ρ2₁F₁(ℓ+ 1−n,2ℓ+ 2;ρ) (7.55) ここで、比例定数は規格化条件

∫ _∞

0

R²_nℓr²dr= 1 (7.56)

を課すことで決まり、

Rnℓ = 2

n^l+2(2ℓ+ 1)!

√

(n+ℓ)!

(n−ℓ−1)!(2r)^ℓe^−rn

×1F1(ℓ+ 1−n,2ℓ+ 2;ρ) (7.57) となる。

定義(7.48)より

E=− 1

2n², n= 1,2,· · · (7.58) あるいは、エネルギーの単位mα²/ℏ^{2をつけて}

E=− mα²

2ℏ²n², n= 1,2,· · · (7.59) で与えられる。n= 1,2,· · · は主量子数と呼ばれる。各nに対して、角運 動量が取りうる値は(7.54)より

ℓ= 0,1,· · ·, n−1 (7.60) である。エネルギーの表式(7.56)にはℓが現れないので磁気量子数mに 対してだけではなく、ℓに対してもエネルギーは縮退している。一般に中 心対称場のエネルギーは磁気量指数m^に対して2ℓ+ 1^{重に縮退している} が、ℓに対しても縮退しているのがクーロン場の特徴である。したがって、

n番目のエネルギー準位の縮退度は

n∑−1 ℓ=0

(2ℓ+ 1) =n² (7.61)

である。ℓに関する縮退の理由は直感的な理解が難しく、偶然縮退と呼ば れることがあるが、次の節で述べるようにその物理的起源は隠れた力学的 対称性にある。