ウィグナーの定理

古典論では2つのベクトルの内積は座標系の取り方によらず保存され る。また、二つのベクトルを同時に平行移動、回転、反転操作を行っても 内積は不変に保たれる。実際、2^{つのベクトル}u,v^{にこれらの変換を行っ} て得られるベクトルをu^′,v^′とすると、u·v =u^′·v^′が成立する。量子力 学でこれに対応する性質は何か、その答えを与えてくれるのがウィグナー の定理である⁴。通常のベクトルとは異なり、ヒルベルト空間のベクトル は複素数であり、かつ、波動関数全体に任意の位相因子を掛けて得られる 状態は元と同じ状態を表すことを思い出そう(1.3.1^節参照)^{。このことか} ら、ベクトルの内積u·vに対応する量は、状態の内積⟨ϕ|ψ⟩^{ではなくそ} の絶対値であることに注意しよう。

|⟨ϕ|ψ⟩|=|⟨ϕ^′|ψ^′⟩| (4.40) ここで、|ϕ^′⟩, |ψ^′⟩^{はそれぞれ}|ϕ⟩, |ψ⟩^{に同じ変換}Tˆ^{を作用して得られた} ヒルベルト空間のベクトルである。すなわち、

|ϕ^′⟩= ˆT|ϕ⟩, |ψ^′⟩= ˆT|ψ⟩ (4.41) ウィグナーの定理は、(4.40)が任意の状態|ϕ⟩, |ψ⟩^{に対して成立する変換} Tˆが、状態ベクトルの位相を適当に選ぶことによって次の2つの場合のい ずれかとなることを主張する。

Tˆ(α|ϕ⟩+β|ψ⟩) =α|ϕ^′⟩+β|ψ^′⟩^かつ ⟨ϕ^′|ψ^′⟩=⟨ϕ|ψ⟩ (4.42) または

Tˆ(α|ϕ⟩+β|ψ⟩) =α^∗|ϕ^′⟩+β^∗|ψ^′⟩^かつ ⟨ϕ^′|ψ^′⟩=⟨ψ|ϕ⟩ (4.43) ここで、α, βは複素数の定数である。写像Tˆは、前者の場合は線形でユ ニタリー、後者の場合は反線形で反ユニタリーと呼ばれる。

これを証明するために、完全規格直交基底{|e_i⟩} (i= 1,2,· · ·)とそれ にTˆを作用して得られる基底|e^′_i⟩:= ˆT|e_i⟩を考える。（規格化されていな い）状態|f_j⟩:=|e₁⟩+|e_j⟩(j= 2,3,· · ·)を考えると、(4.40)より次式が 成立する。

|⟨e^′₁|f_j^′⟩|=|⟨e1|fj⟩|= 1 (j= 2,3, ,· · ·)

|⟨e^′_k|f_j^′⟩|=|⟨e_k|f_j⟩|=δ_jk (j= 2,3,· · ·) これらからθj, δjを任意の実数として

|f_j^′⟩=e^iθj|e^′₁⟩+e^iδj|e^′_j⟩

4E. P. Wigner,Group Theory, Academic Press, New York (1959), p.233

4.7. ウィグナーの定理 55 と書ける。位相因子だけ異なる状態ベクトルは物理的には等価なので、位 相因子を状態に吸収したものを改めて|e^′₁⟩, |e^′_j⟩^と書くと

Tˆ(|e1⟩+|ej⟩) =|e^′₁⟩+|e^′_j⟩ (4.44) が得られる。さて、任意のベクトル

|ϕ⟩=∑

i

ai|ei⟩ の写像

|ϕ^′⟩:= ˆT|ϕ⟩=∑

i

a^′_i|e^′_i⟩ を考えよう。仮定(4.40)より

|a^′_i|=|⟨e^′_i|ϕ^′⟩|=|⟨ei|ϕ⟩|=|ai| (4.45) さらに

(⟨e₁|+⟨e_j|)|ϕ⟩=a₁+a_j, (⟨e^′₁+e^′_j|)|ϕ^′⟩=a^′₁+a^′_j なので、仮定(4.40)^より|a1+aj|² =|a^′₁+a^′_j|^{2、よって}

a^∗₁a_j+a₁a^∗_j =a^′∗₁a^′_j+a^′₁a^′∗_j 両辺を(a1a^∗₁aja^∗_j)^1/2 = (a^′₁a^′∗₁a^′_ja^′∗_j )^{1/2で割ると}

( a^∗₁a_j a1a^∗_j

)¹

2

+ c.c.=

(a^′∗₁a^′_j a^′₁a^′∗_j

)¹

2

+ c.c.

が得られる。ここで、c.c. はその直前の項の複素共役を示している。これ から

e^iθ+e^−iθ =e^iθ′+e^−iθ′ この解はθ=±θ^{′である。}

θ = θ^′の時はa^′∗₁a^′_j/(a^′₁a^′∗_j ) = a^∗₁aj/(a1a^∗_j)^{なので状態}|ϕ^′⟩^{全体にかか} る任意の位相をa^′₁ =a₁となるよう選ぶと、a^′_j/a^′∗_j =a_j/a^∗_j が得られる。

従って、(4.45)よりa^′_j =a_jが得られる。それゆえ

|ϕ^′⟩=∑

i

a_i|e^′_i⟩ (4.46)

同様にして他の状態ベクトル|ψ⟩=∑

ibi|ei⟩^{に対しても}|ψ^′⟩:= ˆT|ψ⟩^の位 相を適当に選ぶことによって|ψ^′⟩=∑

ibi|e^′_i⟩^{が言える。こうして、}(4.42) が得られた。

次にθ=−θ^′の場合を考える。このときはa^′∗₁a^′_j/(a^′₁a^∗_j) =a₁a^∗_j/(a^∗₁a_j) なので、|ϕ^′⟩^の位相をa^′₁ = a^∗₁になるように選ぶとa^′_j/a^′∗_j = a^∗_j/a_jとな る。よって、(4.45)よりa^′_j =a^∗_jが得られる。それゆえ、

|ϕ^′⟩=∑

i

a^∗_i|e^′_i⟩ (4.47) が得られる。同様にして他の状態ベクトル|ψ⟩ = ∑

ib_i|e_i⟩^{に対しても}

|ψ^′⟩= ˆT|ψ⟩の位相を適当に選ぶことによって|ψ^′⟩=∑

ib^∗_i|e^′_i⟩^{が言える。}

こうして、(4.43)^{が得られた。}

空間の並進や回転のように連続変換が可能なクラスはユニタリーである

（波動関数の連続性より、無限小の変化に対して係数が複素共役へとジャ ンプすることはできない）。離散的な変換については、空間反転はユニタ リーであるが時間反転は反ユニタリーである（3.8節参照）。ウィグナー の定理は⟨ϕ|ψ⟩ = 0^ならば⟨ϕ^′|ψ^′⟩ = 0でなければならないという(4.40) よりも弱い条件下でも証明することができる⁵。

5G. Emch and C. Piron, J. Math. Phys. 4, 469 (1963); N. Gisin, Am. J. Phys.

61, 86 (1993)

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