40 3.2.形状最適化手法

40

41 (

K_L+

λ

kK_G

)

Dk =0

(3.7)

Opt2

の降伏荷重

λ

^yは線形解析より求められる軸力

N

0と曲げモーメント

M

が

N-M

全塑性相関曲線に達するときの荷重係数とする。

2 2 2

2 0

1

_y _y ^y ^z

y yp zp

N M M

λ

^ ^ ⁺

λ

^ ^ ⁺^ ^

(3.8)

Opt3

で計算するひずみエネルギは変位ベクトルDを用いて次式より求める。

1 2

U = D K DT _L

(3.9)

3.2.2. 形状最適化手法

形状最適化

Opt1

と

Opt4

では線形座屈荷重を求めることが必要となる。座屈荷重最大化問題では，最適解において複数の座屈荷重係数が重複する ⁷⁾ことが指摘されている。

そこでこの章の形状最適化問題の解法には，感度係数を必要としない遺伝的アルゴリズム（

GA

）を採用する。形状最適化計算で用いたパラメータを表

3.1

に示す。なお，形状最適化の計算過程で線形座屈解析を実施する

Opt1,Opt4

では個材の座屈を考慮するために中間節点を設ける。

3.2.3. 曲面の表現方法と制約条件

前述の目的関数に対し，設計変数をラチスシェルの節点位置として，最適化問題を解く。この章では曲面形状を少ない変数で表現するために

NURBS

曲面を採用する。曲面 S(u,v)は

2

つの変数

u,v( 0 ≤ u v , ≤ 1 )

の関数として式

(3.10)

のように表される。ここで

u

方向と

v

方向の制御点の個数をそれぞれ

n+1 , m+1

とする。式中

N

i,k

(u), M

j,l

(v)

は

NURBS

基底関数である。また，Pij={PXij

, P

Yij

, P

Zij

}

^Tは制御点座標，

w

ijは重み係数である。ここでは

表 3.1 GAのパラメータ

母集団個体数

200

世代数

T 3000

突然変異確率

0.05

交叉確率

0.8

選択方法ランキング戦略交叉方法一様交叉コード表現

Gray

コード各変数の

bit

長

10bit

42 NURBS

曲面の次数

k,l

を

3

とし，

w

ijはすべて

1.0

とする。

( ) ( ( ) ( ) )

( ) ( )

( )

, ,

0 0

, ,

0 0

,

n m

i k j l ij

i j

n m

i k j l ij

i j

N u M v w u v

N u M v w

= =

= ∑∑

∑∑

P

S _(3.10)

形状最適化における設計変数を制御点の

Z

座標

Pz

ijとする。設計変数の探索範囲は

R

を用いて式

(3.11)

に示す。最適化問題では設計変数の探索範囲に解形状が依存する場合がある。例えば探索範囲を小さくすれば初期形状に近い形状を保ちながら目的関数を改良することが可能である。逆に設計変数が取りうる範囲を大きくすれば，大幅に形状が変化することに伴い，より適合度の高い解が見つかる可能性がある。また，座屈に対する最適形状は曲げモーメントが大きく発生する形状が得られる ¹⁰⁾ことや，懸垂曲面状の形状が得られる¹⁸⁾ことが知られている。そこで，本章の最適化では，美観や日影など各種の建築的な要求を基に与えられた初期形状をわずかに変更して初期形状の曲面形状を修正する場合を考え，式

(3.11)

の

R

はスパンに比べて小さな値とする。また，構造物の任意の点の高さ

S

(u,v)に関して，式(3.12)のように制約条件を与えた。

zij zij zij

P − ≤ R P ≤ P + R _(3.11)

Subject to H

_min

≤ S u v

( , ) ≤ H

_max

_(3.12)

43 3.3. 例題１：周辺ピン支持の三方向ラチスシェル

3.3.1. 初期形状

図

3.1

に示す初期形状に対し形状最適化を行う。スパン

L

=L

=50m

，ライズを

H

は

10m

と

5m

の二種類を考慮する。初期形状は制御点数が

7x7

の

NURBS

曲面で表現し，

網目配置は

u , v

を

0

から

1

まで

0.1

刻みで変化させて与える。支持条件は全周をピン支持とする。構造物は外周に配置される部材を外周部材，

X

方向および

Y

方向に配置される部材を格子部材，斜め

45

度方向に配置される部材を斜材とし，これら

3

種類の部材でラチスシェルを構成する。部材特性を表

3.2

に示す。なお外周部材の部材特性については全周ピン支持のため解析結果に影響しないことから省略する。部材は基本細長比

λ

と基本部材長

l

を与えて，式

(3.13)

より管径

d

0を求める。ここで，断面は一様に与えて，基本細長比

λ

を

60

と

90

の

2

種類について検討する。また基本部材長

l

は格子材で

5.0m,

斜材で

7.07m

とする。管厚

t

は

d

/50

とする。ヤング係数

E

は

205kN/mm

²，降伏応

力度

σ

yは

235N/mm

²とする。部材断面積

A

，断面二次モーメント

I

，断面係数

Z

，降伏軸

力

N

y，全塑性モーメント

M

pは式

(3.14)

から計算する。

2 2

d

l λ (3.13)

A = πd

t , I =πd

t/8 , Z =πd

t/4 N

= Aσ

, M

= d

tσ

(3.14)

荷重条件は固定荷重のみとし，初期形状の表面積あたり

1kN/m

²とする。なお，形状最適化による表面積の変化は比較的小さいことから形状最適化計算時および後述の座屈解析の荷重は初期形状に対する荷重を用いる。

初期形状としてライズ

H=10m

と

5m

の

2

種類と構成部材の細長比

λ=60,90

の

2

種類を考慮する。そこで図

3.2

のように解析モデル名を与える。また，探索範囲

R

は

2.5m

とした。形状の制約は

H

min

=0m

，

H

max

=H

として，形状最適化で得られる形状が初期形状のライズ

H

よりも高くならないように制約を与えた。

44

図 3.1初期形状と制御点

図 3.2 モデルの命名規則

Z X Y

50m

X Y

Y5

Y1 XY1 Y3

(a) 初期形状 (b) 制御点初期配置

4.2 8.3 12.5

(d) 制御点平面図

H/2 H/2

(e) 立面図

表 3.2 部材特性

λ = 60 λ = 90

部材種格子材斜材格子材斜材

d0[mm] 235.7 333.3 157.1 222.2

t[mm] 4.8 6.7 3.2 4.5

A[mm²] 3554.3 7015.5 1579.3 3141.3

I[x10⁸mm⁴] 0.247 0.974 0.0487 0.194

Mp[kNm] 62.67 174.9 18.560 52.212

N[kN] 835.3 1648 371.13 738.21

H10L60

初期形状のライズ基本細長比

45

ドキュメント内座屈と振動を考慮した自由曲面ラチスシェルの設計法に関する研究 (ページ 47-52)

40

41

(

λ

)

(3.7)

Opt2

λ

N

M

N-M

1

λ

λ

(3.8)

Opt3

(3.9)

3.2.2. 形状最適化手法

Opt1

Opt4

GA

3.1

Opt1,Opt4

3.2.3. 曲面の表現方法と制約条件

NURBS

2

u,v( 0 ≤ u v , ≤ 1 )

(3.10)

u

v

n+1 , m+1

N

(u), M

(v)

NURBS

, P

, P

}

w

200

T 3000

0.05

0.8

Gray

bit

10bit

42

NURBS

k,l

3

w

1.0

( ) ( ( ) ( ) )

( ) ( )

( )

,

N u M v w u v

N u M v w

= ∑∑

∑∑

P

S (3.10)

Z

Pz

R

(3.11)

(3.11)

R

S

(u,v)に関して，式(3.12)のように制約条件を与えた。

P − ≤ R P ≤ P + R (3.11)

Subject to H

≤ S u v

( , ) ≤ H

(3.12)

43

3.3. 例題１：周辺ピン支持の三方向ラチスシェル

3.3.1. 初期形状

3.1

S _(3.10)

P − ≤ R P ≤ P + R _(3.11)

_(3.12)