第 6 章 広域空間の磁場の地図化 70
6.3 ガウ ス過程回帰によ る 推定精度の検証
6.2.2 ハイ パーパラ メ ータ の推定
ガウ ス過程回帰における 重要なプロ セスは， 事後分布の推定に寄与する ハイ パーパラ メ ー タ の適切な値を 推定する こ と である ． 本研究では， ハイ パーパラ メ ータ はθ=⟨σf2, l, σ2n⟩と な る ． ハイ パーパラ メ ータ の値は， 尤度p(t|X, θ)の対数尤度を 最大化する こ と で求める ．
logp(t|X, θ) =−1
2tT(K+σn2I)−1t−1
2log|K+σn2I| −m
2 log 2π (6.11)
ハイ パーパラ メ ータ θjによ る 上記対数尤度の偏微分は， 次式で与え ら れる ．
∂
∂θj logp(t|X, θ) =1 2tr(
(K−1t)(K−1t)T ∂K∂θ
j
)
(6.12) な お， 各パラ メ ータ によ る 偏微分は以下のよ う にな る ．
∂Kpq
∂σf
= 2σfexp (
−1 2
(|xp−xq| l
)2)
(6.13)
∂Kpq
∂l =σf2exp (
−1 2
(|xp−xq| l
)2)
|xp−xq|2
l3 (6.14)
∂Kpq
∂σn
= 2σnδpq. (6.15)
6.3 ガウ ス過程回帰によ る 推定精度の検証
6.3.1 ガウ ス過程回帰のための磁場地図のモデリ ン グ
ガウ ス過程回帰を 行う 事前に， 磁場計測を 行いト レ ーニン グデータ を 取得する ． ト レ ーニ ン グデータ において は， 状態xは位置(2次元， も し く は3次元の位置)， 目標値tは磁場強 度と する ． 磁場強度はベク ト ル量である が， 本研究では各成分毎に推定を 行う ため， 目標値 の次元は1と する ． 磁場地図は， グリ ッ ド ， も し く はボク セルマ ッ プで表現する こ と と し ， 各空間毎に式(6.7)に示す事後分布を 定義する ．
6.3.2 推定精度の検証
回帰アルゴリ ズムによ り 未計測の値を 使用する 場合， その推定さ れた値がどの程度実際の 値に近いかを 評価すべき である ． そこ で， ガウ ス過程回帰によ る 磁場分布の推定精度の検証 を 行う にあたり ， ま ず， ある 空間の磁場を 手作業ですべて 測定し た． そし て ， そこ から 間引 いたデータ を ト レ ーニン グデータ と し て 利用し ， 空間すべて の磁場を 推定する ． 手作業で測 定し た磁場データ を 真値と 見なし ， 推定結果と 比較する こ と で， その誤差を 算出し ， 精度の
6.3 ガウ ス過程回帰によ る 推定精度の検証
評価を 行う ． Fig. 6.1には， 調査を 行う ために磁場すべて を 測定し た空間を 示す． こ の空間 において ， 3.0×3.0×2.2 m3の空間を 0.2 m間隔で測定を 行っ た． すなわち ， 2816点の磁場 測定を 行っ た． なおこ の測定には， 約8時間の時間を 要し た． ま た今回の測定では， 磁場強 度mは以下に示す式で算出する ．
m=
√
(mx−mrefx )2+ (my−mrefy )2+ (mz−mrefz )2−(rbase−rref) (6.16) こ こ で， mref と rrefは各軸方向の磁場強度およ び強度のユーグリ ッ ド 距離に対する オフ セッ ト 値であり ， rbaseは基準と なる 磁気セン サの強度に対する ユーグリ ッ ド 距離である ． なお，
上記のオフ セッ ト 値はキャ リ ブレ ーショ ン によ り 求めら る こ と と し ， こ れは磁気セン サを 可 能な 限り 平行移動さ せな いよ う に手動回転さ せな がら 計測し た値(Fig. 6.2)に対し て ， 3次 元の球を フ ィッ ティ ン グさ せる こ と で行う [32]．
Fig. 6.1: Investigation environment (elevator hall)
Fig. 6.3には， 手作業で測定し た結果， およ びそのデータ を 間引いて 推定を 行っ た結果を 可視化し たも のを 示す． な お測定に いは， MicroStrain社の3軸磁気セ ン サ(3DM-DH)を 用いた． 手作業で計測し た結果に は， 3つの磁場の乱れが含ま れて いる こ と が確認でき る ． こ れはそ れぞれ， 壁と エレ ベータ 付近で発生し て いる も のである ． こ れに 対し て ， 各間引 き データ に 対し て 推定を 行っ た 結果， 3つの磁場の乱れが再現さ れて いる こ と が確認でき る ． なお(b)(d)(f)(h)が間引き データ であり ， それぞれのキャ プショ ン が間引き 間隔を 示す．
(c)(e)(g)(i)はそれぞれの間引き データ を ト レ ーニン グデータ と し て 使用し た際の推定結果 である ． さ ら にTable 6.2には， 各間引き データ で推定を 行っ た際の使用データ 数， 誤差の 平均， およ び誤差の標準偏差を 示す． 本測定に使用し た磁気セン サの標準偏差は約0.01 G である こ と を 踏ま える と ， すべての間引き データ に対する 推定結果の誤差に対する 標準偏差 がこ れを 越え て いる が， 間引き 間隔が0.6 m以下であれば， その間の推定結果は十分なも の にな る と いえ る こ と がわかっ た．
6.3 ガウ ス過程回帰によ る 推定精度の検証
Fig. 6.2: Magnetic sensor readings used for sensor calibration. The readings form a sphere and equation to represent the sphere is determined by using a least square method. Deter-mined values of a center point and a radius are used as a calibration result (see eq. 6.16).
Table 6.1: Values of hyperparameters
σf l σn
1.73808 0.47496 0.41968
Table 6.2: Verification result of estimation accuracy
Selected interval [m] Used data number Average of the errors [G] Standard deviation of the errors [G]
0.4 m x 0.4 m x 0.4 m 384 0.00648 0.01205
0.6 m x 0.6 m x 0.6 m 144 0.00862 0.01303
0.8 m x 0.8 m x 0.8 m 48 0.01192 0.01838
1.0 m x 1.0 m x 1.0 m 48 0.01440 0.02048
6.3 ガウ ス過程回帰によ る 推定精度の検証
(a) Manually measured 3D magnetic field
(b) 0.4 m x 0.4 m x 0.4 m (c) Estimated result from (b)
(d) 0.6 m x 0.6 m x 0.6 m (e) Estimated result from (d)
(f) 0.8 m x 0.8 m 0.8 m (g) Estimated result from (f)
(h) 1.0 m x 1.0 m 1.0 m (i) Estimated result from (i)
Fig. 6.3: Manually measured and estimated magnetic fields