初値および公開価格の決定と流動性プレミアム

ここでは、投資家の需要申告および流通市場での売却スケジュールをもとにして初値お よび公開価格の導出を行う。

はじめに初値の決定から分析する。初値はマーケットメーカーが総注文数を観察するこ とで、(4.16)式のように最良線形推定を行うと仮定した。価格付けのパラメーター𝜇と𝜆 は、（4.16）式と次の（4.20）式の係数を一致させるように決定される。

𝑃̃_1/2= 𝐸[𝜃̃] +𝐶𝑜𝑣[𝜃̃, 𝑌̃]

𝑉[𝑌̃] {𝑌̃ − 𝐸[𝑌̃]}

(4.20)

ここで、𝐶𝑜𝑣[∙]は共分散の演算子である。線形価格推定の仮定と係数の比較により、それ

ぞれのパラメーターは

𝜇 = 𝐸[𝜃̃]

(4.21) 𝜆 =𝐶𝑜𝑣[𝜃̃, 𝑌̃]

𝑉[𝑌̃]

(4.22)

と求められる。(4.22)式を計算し解くと、𝜆は次の方程式(4.23)式の正の実数根として定ま る。

𝜋(1 − 𝜋)𝐴(𝜆²)𝜎𝑣2

𝜋²(1 − 𝜋)²𝜎_𝑣²+ 𝐴²(𝜆²)𝜎_𝜂²− 𝜆 = 0

(4.23)

ただし、

𝐴(𝜆²) = 𝛼{(1 − 𝜋)²𝜎𝑣2+ 𝜋²𝜆²𝜎𝜂2}

(4.24)

である。

続いて、時点１における上場企業の公開価格の決定を分析する。ベンチマークモデルと同 じように、上場企業が IPO を達成するためには、総需要が株式売り出し枚数を上回るよう

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に、公開価格を決定しなければならない。したがって、上場企業は（4.25）式で表される資 金調達額の最大化問題を解く。

max(𝑃0) 𝑃₀∙ 𝑆

s. t. 𝑋 =(1 − 𝜋)(𝑣 − 𝑃0) + 𝜋(𝜇 − 𝑃0)

𝛼{(1 − 𝜋)²𝜎_𝜀²+ 𝜋²𝜆²𝜎_𝜂²} + 𝑣̅ − 𝑃0

𝛼(𝜎_𝑣²+ 𝜎_𝜀²)≥ 𝑆

(4.25)

実際には、この最大化問題は制約条件である不等式を満たす最大の𝑃0を選択することと 同じである。この式を整理すると、拡張モデルにおける公開価格が導出される。

以上の分析結果を、次の命題 4.4 にまとめる。

命題 4.4（拡張モデルにおける均衡）

拡張モデルの仮定の下で、次の均衡(𝑋_𝐼^∗, 𝑋_𝑈^∗, 𝑃_1/2^∗ , 𝑃₀^∗)が成立する。ただし、𝜆^∗は(4.30)式を 満たす正の実数解が存在すると仮定する。

𝑋_𝐼^∗=(1 − 𝜋)(𝑣 − 𝑃₀^∗) + 𝜋(𝜇^∗− 𝑃₀^∗) 𝛼{(1 − 𝜋)²𝜎_𝜀²+ 𝜋²𝜆^∗2𝜎_𝜂²}

(4.26) 𝑋_𝑈^∗ = 𝑣̅ − 𝑃₀^∗

𝛼(𝜎_𝑣²+ 𝜎_𝜀²)

(4.27) 𝑃_1/2^∗ = 𝜇^∗+ 𝜆^∗(𝜋𝑋_𝐼^∗+ 𝜂 − 𝜋𝐸[𝑋_𝐼^∗])

(4.28) 𝜇^∗= 𝑣̅

(4.29) 𝜋(1 − 𝜋)𝐴(𝜆^∗2)𝜎𝑣2

𝜋²(1 − 𝜋)²𝜎_𝑣²+ 𝐴²(𝜆^∗2)𝜎_𝜂²− 𝜆^∗= 0

(4.30) 𝐴(𝜆^∗2) = 𝛼{(1 − 𝜋)²𝜎𝑣2+ 𝜋²𝜆^∗2𝜎𝜂2}

(4.31)

84 𝑃₀^∗= (1 − 𝜋)(𝜎𝑣2+ 𝜎_𝜀²)𝑣

(𝜎𝑣2+ 𝜎𝜀2) + (1 − 𝜋)²𝜎𝜀2+ 𝜋²𝜆^∗2𝜎𝜂2+ 𝜋(𝜎_𝑣²+ 𝜎_𝜀²)𝜇^∗

(𝜎𝑣2+ 𝜎𝜀2) + (1 − 𝜋)²𝜎𝜀2+ 𝜋²𝜆^∗2𝜎𝜂2

+ {(1 − 𝜋)²𝜎_𝜀²+ 𝜋²𝜆^∗2𝜎_𝜂²}𝑣̅

(𝜎𝑣2+ 𝜎_𝜀²) + (1 − 𝜋)²𝜎_𝜀²+ 𝜋²𝜆^∗2𝜎_𝜂²−𝛼(𝜎_𝑣²+ 𝜎_𝜀²){(1 − 𝜋)²𝜎_𝜀²+ 𝜋²𝜆^∗2𝜎_𝜂²}𝑆 (𝜎𝑣2+ 𝜎_𝜀²) + (1 − 𝜋)²𝜎_𝜀²+ 𝜋²𝜆^∗2𝜎_𝜂²

(4.32)

命題 4.4 が、本章の提示する基本的な結果である。均衡では、(4.30)式にしたがって𝜆^∗が 決定され、求められた𝜆^∗を代入することで順次他の変数が導出されていく。ただし、(4.30) 式は 5 次方程式であり、解析的に解を求めずに議論を進める。

はじめに、公開価格𝑃₀^∗は４つの項から構成されていることがわかる。１つめは情報投資家 が私的シグナルにもとづいて予測したファンダメンタル項、２つめは情報投資家にとって の売却価格である初値の平均値、３つめは私的シグナルなしに予測できる株式のファンダ メンタル項、そして４つめは公開価格に要求されるプレミアム項である。

拡張モデルの特徴は、公開価格𝑃₀^∗が時点 1/2 における初値の形成パラメーターである𝜇^∗ と𝜆^∗に依存する点にある。これは、各投資家は時点 1/2 において株式を売却することを織り 込みながら、時点０で需要申告するようになるためである。このことは、上場企業が投資家 の需要申告を予測するためには、流通市場でどのように価格形成が行われるかをフォワー ドルッキングに予測しなければならないことを意味している。

次の命題 4.5 は、公開価格𝑃₀^∗が正であるためには、プライス・インパクトの係数𝜆^∗が一定 の範囲に存在することを示すものである。

命題 4.5（𝜆^∗の存在範囲）

拡張モデルの仮定のもとで、非負の𝜆^∗の存在を仮定すると、次の条件(3.19)式および(3.20) 式が満たされるならば、

𝑣̅ > 𝛼(𝜎_𝑣²+ 𝜎_𝜀²)𝑆

(4.33) 𝑆 > 1

𝛼(1 − 𝜋)𝜎_𝜀²𝑣 +{𝜋(𝜎𝑣2+ 𝜎_𝜀²) − (1 − 𝜋)²𝜎_𝜀²} 𝛼(1 − 𝜋)²(𝜎_𝑣²+ 𝜎_𝜀²)𝜎_𝜀² 𝑣̅

(4.34)

𝜆^∗が(4.35)式で与えられる𝜆を下限とする範囲にある。（4.33）式の不等号が逆のときは、

(4.34)式の不等号も逆になる。

85 𝜆^∗> 𝜆 = 1

𝜋𝜎_𝜂√(𝜎_𝑣²+ 𝜎_𝜀²){𝛼(1 − 𝜋)²𝜎_𝜀²𝑆 − (1 − 𝜋)𝑣} − {𝜋(𝜎_𝑣²+ 𝜎_𝜀²) + (1 − 𝜋)²𝜎_𝜀²}𝑣̅

𝑣̅ − 𝛼(𝜎_𝑣²+ 𝜎_𝜀²)𝑆

(4.35)

命題 4.5 は、補論 D にて証明する。命題 4.5 は、非負の𝜆^∗が存在するための必要条件を示 している。(4.33)式は、売り出し株式の平均的な価値が投資家要求するリスクプレミアムよ りも大きいことを主張し、(4.34)式は売り出し枚数が証券価値𝑣と𝑣̅から成る適当な閾値より も十分に大きく上場規模が十分に大きいものであることを主張している。両条件が満たさ れるならば、𝜆^∗は(4.35)式で与えられる下限𝜆以上の範囲に存在することになる。

一方、命題 4.5 の不等号が逆のとき、すなわち株式の価値が投資家のリスクキャパシティ よりも低い比較的低価値な上場であって、売り出し枚数が少ない小規模な上場である際に は、もし正の実数解𝜆^∗が存在するならば𝜆^∗> 𝜆の範囲に存在するはずである。

続いて、次の命題 4.6 は、𝜆^∗とアンダープライシング項の関係を示すものである。

命題 4.6（公開価格の流動性プレミアム）

拡張モデルの仮定のもとで、アンダープライシング項を次の(4.36)式∆^∗とおく。

∆^∗= −𝛼(𝜎_𝑣²+ 𝜎_𝜀²){(1 − 𝜋)²𝜎_𝜀²+ 𝜋²𝜆^∗2𝜎_𝜂²}𝑆 (𝜎𝑣2+ 𝜎_𝜀²) + (1 − 𝜋)²𝜎_𝜀²+ 𝜋²𝜆^∗2𝜎_𝜂²

(4.36)

このとき、プライス・インパクト𝜆^∗が上昇し、流通市場が流動性の低い市場になるとき、ア ンダープライシング項∆^∗は小さくなる。すなわち、次の(4.37)式が成立する⁴²。

𝜕∆^∗

𝜕𝜆^∗< 0

(4.37)

この証明は、補論 E で行う。命題 4.6 が、本章の提示する最も重要な結果である。命題 4.6 は、𝜆^∗が大きくなると、アンダープライシング項∆^∗がより小さくなり、公開価格𝑃₀^∗を低 下させる要因となることを示している。𝜆^∗が大きくなるということは、情報投資家が時点

42 ただし、この結果は𝜆^∗が存在することを所与としている。

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1/2 において、より大きなプライスインパクトコストを負担するということを意味する。こ れにより、低流動性が情報投資家の需要申告を減退させる要因となる。流動性コストが補償 できなければ、上場企業は情報投資家を惹き付けることができず、上場に必要な S 単位の 売り出しを実行することができない。結果として、上場企業は公開価格を下げることで情報 投資家に参入インセンティブを与える必要が生まれ、アンダープライシングが発生する。

これまでは上場企業は企業のファンダメンタルを高めるとともに、上場以前の経済的要 因をコントロールすることで資金調達環境を改善しようと試みてきた。例えば、会計情報や IR 情報を積極的に開示することで情報の非対称性を緩和したり、創業者が自身の持ち分を 一定期間保有し続けることにコミットすることでエージェンシー問題を解決するなどの行 為が挙げられる。しかし、本章の提示した内容は、上場後の株式市場の環境を改善すること で、より優れた資金調達環境を整えることができる可能性を示唆している。

以上本節では、ベンチマークモデルを拡張したモデルの考察を行った。なお本章では、命 題 4.5 で、𝜆^∗の存在要件を限定している。しかし、（4.30）式を解析的に解くことは困難であ る。この𝜆^∗について、より解析的な特性を明らかにすることは、本章に残された課題である。