期末試験 解答例

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平成23年2月8日

平成 22 年度基礎計測制御 期末試験問題 ( 川谷亮治 )

問1 1階線形微分方程式z˙+az =bu; z(0) = 0に対する単位ステップ応答は z(t) = b

a (

1−e^−at )

で与えられる。a > 0, b > 0 としたとき，応答の定常値 z(∞) を求めよ。また，単位ス テップ応答が z(∞)/2 となる時刻t_1/2 を計算し，時定数T との関係を示せ。

問2 次式の2階線形微分方程式に対して，オーバーシュートが15%となるkを求めよ。

¨

z+ 5 ˙z+ (6 +k)z=u  

問3 ラプラス変換・逆変換を利用して，次式の微分方程式に対する単位ステップ応答を 計算せよ。なお，本微分方程式の極は {−1,−3,−4} ^{で与えられる。}

z⁽³⁾+ 8¨z+ 19 ˙z+ 12z= 4u (z(0) = ˙z(0) = ¨z(0) = 0)  

問4 次図に示すブロック線図に対して，D(s) ^からY(s)までの閉ループ伝達関数を計算 せよ。なお，kp は実数とする。また，得られた閉ループ伝達関数の極の一つが原点(s= 0) となるための kp に対する条件を示せ。

s 2- ( + ) ( + )s 4 s 5 kp

D s( )

Y s ( )

+ -

問5 次式の伝達関数P(s) に対して，ゲインと位相を計算せよ。

P(s) = s+ 2 s³+ 2s²+s+ 1

期末試験 解答例

問１

2 = b 2a = b

a(1−e^−at1/2) で与えられる。これより

t_1/2= 1

alog_e(2) 時定数 T は 1/aで与えられるので

t_1/2

T = log_e(2)  

問２

OS =e^−πζ/

√1−ζ²

で与えられるので，これが 0.15となる ζ は ζ = 0.5169

で与えられる。2ζωn= 5 ^より，ωn= 4.837^であり，6 +k=ω_n^{2 より，}

k= 17.4  

問３

P(s) = 4

s³+ 8s²+ 19s+ 12 = 4

(s+ 1)(s+ 3)(s+ 4)

したがって，単位ステップ応答は

z(t) =£⁻¹ [

P(s)·1 s ]

で与えられる。ここで，

P(s)·1 s = 1

3·1 s −2

3 · 1 s+ 1+2

3 · 1 s+ 3−1

3 · 1 s+ 4 であるので，

z(t) = 1 3− 2

3e^−t+2

3e^−3t−1 3e^−4t  

問４

(s+ 4)(s+ 5) +kp(s−2) = s−2

s²+ (9 +kp)s+ (20−2kp)

で与えられる。伝達関数の分母多項式の根が極であり，それが原点に一つの極をもつ条件 は k_p = 10である。

問５

P(jω) = 2 +jω

(1−2ω²) +jω(1−ω²) で与えられる。したがって，ゲイン |P(jω)|^{と位相 ̸} P(jω) は

|P(jω)|=

√4 +ω²

√(1−2ω²)²+ω²(1−ω²)²

̸ P(jω) = tan⁻¹ω

2 −tan⁻¹ω(1−ω²) 1−2ω²