期末試験 解答例

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平成24年2月8日

平成 23 年度基礎計測制御 期末試験問題 ( 川谷亮治 )

問1 1階線形微分方程式 z˙+az = 0; z(0) =z₀ に対する初期値応答がz(t) =z₀/2 と なる時刻 t_1/2 を求め，時定数 T との関係を示せ。ただし，a >0 とする。

問2 次に示すシステムに対する u からy までの伝達関数を計算し，本システムに対す る単位ステップ応答を計算せよ。

{ z¨+ 4 ˙z+ 3z=u y=z−2 ˙z  

問3 次図に示すブロック線図において，R(s) から Y(s) までの伝達関数を求めよ。ま た，R(s)−Y(s) が0 となるための P₃(s) に対する条件を示せ。

R(s) + + Y(s)

-

-

P (s)₁ 2

P (s)₃

問4 次式の伝達関数P(s) に対して，ゲインと位相を計算せよ。また，位相が−90 [deg]

となるときのゲインを計算せよ。

P(s) = 3 s²+ 2s+ 6

期末試験 解答例

問１

alog_e2

時定数 T は T = 1/a で与えられることから，t_1/2 とT との関係は次式となる。

t_1/2

T = log_e2  

問２

P(s) = 1−2s s²+ 4s+ 3

で与えられる。また，単位ステップ入力は R(s) = 1/sであるので，単位ステップ応答は y(t) =£⁻¹

[ P(s)1

s ]

=£⁻¹ [1

3 ·1 s −3

2· 1 s+ 1+7

6· 1 s+ 3

]

= 1 3 −3

2e^−t+7 6e^−3t で与えられる。

問３

R(s) = P₂(s)(P₁(s)−P₃(s)) 1 +P₁(s)P₂(s)

で与えられる。これより，

R(s)−Y(s) = 1 +P2(s)P3(s) 1 +P1(s)P2(s)

であり，P3(s) =−1/P2(s) と選ぶことで R(s)−Y(s) = 0 となる。

問４

|P(jω)|= 3

√(6−ω²)²+ 4ω², ^̸ P(jω) =−tan⁻¹ 2ω 6−ω² で与えられる。これより，位相が −90 [deg]となる角周波数はω =√

6 [rad/s]であり，そ のときのゲインは

|P(j√ 6)|=

√3 8 となる。