曲線 一変数ベクトル値関数

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

用語

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[用語^]

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[用語^]

• 実数 t _{を変数とする関数} x(t), y(t), z(t) _{によって決まる} ベクトル r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t)i + y(t)j + z(t)k を一変数ベクトル値関数、或は (_空間) _{曲線とよぶ。}

(_平面曲線 r(t) = (x(t), y(t)) = x(t)i + y(t)j _{も同様に定義} される。 )

r(t') r(t)

O

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[用語^]

• 実数 t _{を変数とする関数} x(t), y(t), z(t) _{によって決まる} ベクトル r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t)i + y(t)j + z(t)k を一変数ベクトル値関数、或は (_空間) _{曲線とよぶ。}

(_平面曲線 r(t) = (x(t), y(t)) = x(t)i + y(t)j _{も同様に定義} される。 )

r(t') r(t)

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

• 曲線 r(t) = (x(t), y(t), z(t)) とベクトル r₀ = (x₀, y₀, z₀) について、

tlim→t0

r(t) =

tlim→t0

x(t), lim

t→t0

y(t), lim

t→t0

z(t)

= (x₀, y₀, z₀) = r₀

が成り立つとき、r(t) は t → t₀ で r_{0 に収束するという。}

( r(t) は t = t₀ で定義されていなくてもよい。 ) が を含む区間で定義されていて、

が成り立つとき、 は で連続であるという。

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

• 曲線 r(t) = (x(t), y(t), z(t)) とベクトル r₀ = (x₀, y₀, z₀) について、

tlim→t0

r(t) =

tlim→t0

x(t), lim

t→t0

y(t), lim

t→t0

z(t)

= (x₀, y₀, z₀) = r₀

が成り立つとき、r(t) は t → t₀ で r_{0 に収束するという。}

( r(t) は t = t₀ で定義されていなくてもよい。 )

• r(t) が t = t₀ を含む区間で定義されていて、

tlim→t0

r(t) = r(t₀)

が成り立つとき、 は で連続であるという。

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[関数の微分^]

実数 x の関数 f(x) の x₀ における微分係数 f^′(x₀) の定義は 次の様に書き換えることが出来る。

xlim→x0

f(x)−f(x⁰)

x−x0 − f^′(x₀)

= 0

つまり とおくと

このことは を の近くで一次関数

で近似すると、 が に近付くとき「余り」 は

より「速く」 に近付くということである。 よって

は のグラフの での接線の方程式になる。

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[関数の微分^]

実数 x の関数 f(x) の x₀ における微分係数 f^′(x₀) の定義は 次の様に書き換えることが出来る。

xlim→x0

f(x)−f(x⁰)

x−x0 − f^′(x₀)

= 0

つまり f(x) = f(x₀) + f^′(x₀)(x − x₀) + R(x) とおくと

xlim→x0

R(x)

x−x0 = 0 このことは を の近くで一次関数

で近似すると、 が に近付くとき「余り」 は

より「速く」 に近付くということである。 よって

は のグラフの での接線の方程式になる。

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[関数の微分^]

実数 x の関数 f(x) の x₀ における微分係数 f^′(x₀) の定義は 次の様に書き換えることが出来る。

xlim→x0

f(x)−f(x⁰)

x−x0 − f^′(x₀)

= 0

つまり f(x) = f(x₀) + f^′(x₀)(x − x₀) + R(x) とおくと

xlim→x0

R(x)

x−x0 = 0

このことは f(x) を x = x₀ の近くで一次関数 f(x₀) + f^′(x₀)(x − x₀)

で近似すると、

が に近付くとき「余り」 は

より「速く」 に近付くということである。 よって

は のグラフの での接線の方程式になる。

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[関数の微分^]

実数 x の関数 f(x) の x₀ における微分係数 f^′(x₀) の定義は 次の様に書き換えることが出来る。

xlim→x0

f(x)−f(x⁰)

x−x0 − f^′(x₀)

= 0

つまり f(x) = f(x₀) + f^′(x₀)(x − x₀) + R(x) とおくと

xlim→x0

R(x)

x−x0 = 0

このことは f(x) を x = x₀ の近くで一次関数 f(x₀) + f^′(x₀)(x − x₀)

で近似すると、 x が x₀ に近付くとき「余り」 R(x) は x − x₀ より「速く」 0 に近付くということである。

よって

は のグラフの での接線の方程式になる。

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[関数の微分^]

実数 x の関数 f(x) の x₀ における微分係数 f^′(x₀) の定義は 次の様に書き換えることが出来る。

xlim→x0

f(x)−f(x⁰)

x−x0 − f^′(x₀)

= 0

つまり f(x) = f(x₀) + f^′(x₀)(x − x₀) + R(x) とおくと

xlim→x0

R(x)

x−x0 = 0

このことは f(x) を x = x₀ の近くで一次関数 f(x₀) + f^′(x₀)(x − x₀)

で近似すると、 x が x₀ に近付くとき「余り」 R(x) は

x − x₀ より「速く」 0 に近付くということである。 よって y = f(x₀) + f^′(x₀)(x − x₀)

は y = f(x) のグラフの (x₀, f(x₀)) での接線の方程式になる。

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[例^]

y = sin x のグラフの x = 0 での接線の方程式は y = x

y=sin x y=x

の値：

：

：

：

と、 が に近づくよりはるかに「速く」 に近づく。

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[例^]

y = sin x のグラフの x = 0 での接線の方程式は y = x

y=sin x y=x

の値：

：

：

：

と、 が に近づくよりはるかに「速く」 に近づく。

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[例^]

y = sin x のグラフの x = 0 での接線の方程式は y = x

y=sin x y=x

sin x − x _の値：

x = 1_：sin 1 − 1 = 0.84147 − 1 = −0.15852

x = 0.1_：sin 0.1 − 0.1 = 0.09983 − 0.1 = −0.00016

x = 0.01_：sin 0.01 − 0.01 = 0.00999983 − 0.01 = −0.00000017 と、 が に近づくよりはるかに「速く」 に近づく。

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[例^]

y = sin x のグラフの x = 0 での接線の方程式は y = x

y=sin x y=x

sin x − x _の値：

x = 1_：sin 1 − 1 = 0.84147 − 1 = −0.15852

x = 0.1_：sin 0.1 − 0.1 = 0.09983 − 0.1 = −0.00016

x = 0.01_：sin 0.01 − 0.01 = 0.00999983 − 0.01 = −0.00000017 と、x _が 0 に近づくよりはるかに「速く」 0 _{に近づく。}

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[用語続き^]

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[用語続き^]

• lim

t→t0

r(t)−r(t⁰) t−t0 =

tlim→t0

x(t)−x(t⁰)

t−t0 , lim

t→t0

y(t)−y(t⁰)

t−t0 , lim

t→t0

z(t)−z(t⁰) t−t0

= ^dx_dt (t₀), ^dy_dt (t₀), ^dz_dt (t₀)

が存在するとき、r(t) _は t=t_{0 で微分可能であるといい、}

dr

dt (t₀), r˙(t₀) 等で表し r(t) の t=t₀ における微分とよぶ。

は曲線 の における接線ベクトルで ある。

r(t₀) dt (tdr ⁰)

r(t)-r(t₀) r(t)

O

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[用語続き^]

• lim

t→t0

r(t)−r(t⁰) t−t0 =

tlim→t0

x(t)−x(t⁰)

t−t0 , lim

t→t0

y(t)−y(t⁰)

t−t0 , lim

t→t0

z(t)−z(t⁰) t−t0

= ^dx_dt (t₀), ^dy_dt (t₀), ^dz_dt (t₀)

が存在するとき、r(t) _は t=t_{0 で微分可能であるといい、}

dr

dt (t₀), r˙(t₀) 等で表し r(t) の t=t₀ における微分とよぶ。

• dr

dt (t₀) は曲線 r(t) の r(t₀) における接線ベクトルで ある。

r(t₀) dt (tdr ⁰)

r(t)-r(t₀) r(t)

O

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[用語続き^]

• lim

t→t0

r(t)−r(t⁰) t−t0 =

tlim→t0

x(t)−x(t⁰)

t−t0 , lim

t→t0

y(t)−y(t⁰)

t−t0 , lim

t→t0

z(t)−z(t⁰) t−t0

= ^dx_dt (t₀), ^dy_dt (t₀), ^dz_dt (t₀)

が存在するとき、r(t) _は t=t_{0 で微分可能であるといい、}

dr

dt (t₀), r˙(t₀) 等で表し r(t) の t=t₀ における微分とよぶ。

• dr

dt (t₀) は曲線 r(t) の r(t₀) における接線ベクトルで ある。

r(t₀) dt (tdr ⁰)

r(t)-r(t₀) r(t)

O

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[用語続き^]

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[用語続き^]

• dⁿr

dtⁿ (t₀) =

dⁿx

dtⁿ (t₀), dⁿy

dtⁿ (t₀), dⁿz

dtⁿ (t₀)

によって n _階微 分を定義する。

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[公式^] をベクトル値関数、 を関数とす

るとき、以下が成り立つ：

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[公式^]

a(t) = (a₁(t), a₂(t), a₃(t)), b(t) = (b₁(t), b₂(t), b₃(t)),

c(t) = (c₁(t), c₂(t), c₃(t)) をベクトル値関数、λ(t) を関数とす るとき、以下が成り立つ：

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[公式^]

a(t) = (a₁(t), a₂(t), a₃(t)), b(t) = (b₁(t), b₂(t), b₃(t)),

c(t) = (c₁(t), c₂(t), c₃(t)) をベクトル値関数、λ(t) を関数とす るとき、以下が成り立つ：

• d

dt(λa) =

d

dt(λa₁), d

dt(λa₂), d

dt(λa₃)

= dλ

dt a + λda dt

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[公式^]

a(t) = (a₁(t), a₂(t), a₃(t)), b(t) = (b₁(t), b₂(t), b₃(t)),

c(t) = (c₁(t), c₂(t), c₃(t)) をベクトル値関数、λ(t) を関数とす るとき、以下が成り立つ：

• d

dt(λa) =

d

dt(λa₁), d

dt(λa₂), d

dt(λa₃)

= dλ

dt a + λda dt

• d

dt(a+b) =

d

dt(a₁+b₁), d

dt(a₂+b₂), d

dt(a₃+b₃)

= da

dt + db dt

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[公式^]

a(t) = (a₁(t), a₂(t), a₃(t)), b(t) = (b₁(t), b₂(t), b₃(t)),

c(t) = (c₁(t), c₂(t), c₃(t)) をベクトル値関数、λ(t) を関数とす るとき、以下が成り立つ：

• d

dt(λa) =

d

dt(λa₁), d

dt(λa₂), d

dt(λa₃)

= dλ

dt a + λda dt

• d

dt(a+b) =

d

dt(a₁+b₁), d

dt(a₂+b₂), d

dt(a₃+b₃)

= da

dt + db dt

• d

dt(a·b) =

d

dt(a₁b₁), d

dt(a₂b₂), d

dt(a₃b₃)

= da

dt ·b +a· db dt

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[公式^]

a(t) = (a₁(t), a₂(t), a₃(t)), b(t) = (b₁(t), b₂(t), b₃(t)),

c(t) = (c₁(t), c₂(t), c₃(t)) をベクトル値関数、λ(t) を関数とす るとき、以下が成り立つ：

• d

dt(λa) =

d

dt(λa₁), d

dt(λa₂), d

dt(λa₃)

= dλ

dt a + λda dt

• d

dt(a+b) =

d

dt(a₁+b₁), d

dt(a₂+b₂), d

dt(a₃+b₃)

= da

dt + db dt

• d

dt(a·b) =

d

dt(a₁b₁), d

dt(a₂b₂), d

dt(a₃b₃)

= da

dt ·b +a· db dt

• d

dt(a×b) = da

dt ×b +a× db dt

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[公式^]

a(t) = (a₁(t), a₂(t), a₃(t)), b(t) = (b₁(t), b₂(t), b₃(t)),

c(t) = (c₁(t), c₂(t), c₃(t)) をベクトル値関数、λ(t) を関数とす るとき、以下が成り立つ：

• d

dt(λa) =

d

dt(λa₁), d

dt(λa₂), d

dt(λa₃)

= dλ

dt a + λda dt

• d

dt(a+b) =

d

dt(a₁+b₁), d

dt(a₂+b₂), d

dt(a₃+b₃)

= da

dt + db dt

• d

dt(a·b) =

d

dt(a₁b₁), d

dt(a₂b₂), d

dt(a₃b₃)

= da

dt ·b +a· db dt

• d

dt(a×b) = da

dt ×b +a× db

d dt

da

db

dc

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[練習問題^]

前のページの公式を証明せよ。

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[練習問題^]

前のページの公式を証明せよ。

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[例^] 時刻 に空間内の点 にある質点の運動について、

をこの質点の速度、 を速さ、 をこの質点の加速度とよぶ。

この質点の質量が で、外力 が働いているとき、この質 点の運動は、所謂運動方程式 方程式 を満たす：

を面積速度、 を角運動量とよふ。

練習問題

が常に成り立つとき 向心力 、面積速度 角運動量 は 保存することを示せ。

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[例^]

時刻 t に空間内の点 r(t) にある質点の運動について、

v = dr

dt ^{をこの質点の速度、}v = |v| _を速さ、 をこの質点の加速度とよぶ。

この質点の質量が で、外力 が働いているとき、この質 点の運動は、所謂運動方程式 方程式 を満たす：

を面積速度、 を角運動量とよふ。

練習問題

が常に成り立つとき 向心力 、面積速度 角運動量 は 保存することを示せ。

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[例^]

時刻 t に空間内の点 r(t) にある質点の運動について、

v = dr

dt ^{をこの質点の速度、}v = |v| _を速さ、 a = d²r

dt^{2 をこの質点の加速度とよぶ。}

この質点の質量が で、外力 が働いているとき、この質 点の運動は、所謂運動方程式 方程式 を満たす：

を面積速度、 を角運動量とよふ。

練習問題

が常に成り立つとき 向心力 、面積速度 角運動量 は 保存することを示せ。

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[例^]

時刻 t に空間内の点 r(t) にある質点の運動について、

v = dr

dt ^{をこの質点の速度、}v = |v| _を速さ、 a = d²r

dt^{2 をこの質点の加速度とよぶ。}

この質点の質量が m で、外力 F が働いているとき、この質 点の運動は、所謂運動方程式 ( Newton _方程式 ) _{を満たす：}

md²r

dt² = F を面積速度、 を角運動量とよふ。

練習問題

が常に成り立つとき 向心力 、面積速度 角運動量 は 保存することを示せ。

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[例^]

時刻 t に空間内の点 r(t) にある質点の運動について、

v = dr

dt ^{をこの質点の速度、}v = |v| _を速さ、 a = d²r

dt^{2 をこの質点の加速度とよぶ。}

この質点の質量が m で、外力 F が働いているとき、この質 点の運動は、所謂運動方程式 ( Newton _方程式 ) _{を満たす：}

md²r

dt² = F 1

2r × v _{を面積速度、}mr × v _{を角運動量とよふ。}

練習問題

が常に成り立つとき 向心力 、面積速度 角運動量 は 保存することを示せ。

曲線 ( _{一変数ベクトル値関数} )

[例^]

時刻 t に空間内の点 r(t) にある質点の運動について、

v = dr

dt ^{をこの質点の速度、}v = |v| _を速さ、 a = d²r

dt^{2 をこの質点の加速度とよぶ。}

この質点の質量が m で、外力 F が働いているとき、この質 点の運動は、所謂運動方程式 ( Newton _方程式 ) _{を満たす：}

md²r

dt² = F 1

2r × v _{を面積速度、}mr × v _{を角運動量とよふ。}

[_練習問題]

F//r _{が常に成り立つとき} (_向心力)_{、面積速度} (_角運動量) _は

曲面 ( _{二変数ベクトル値関数} )

用語と性質

曲面 ( _{二変数ベクトル値関数} )

[用語と性質^]

曲面 ( _{二変数ベクトル値関数} )

[用語と性質^]

• 二つの実数 u, v を変数とする二変数関数

x(u, v), y(u, v), z(u, v) によって決まるベクトル

r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) =x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k を二変数ベクトル値関数、或は曲面とよぶ。

が存在するとき、 は で に関して偏微分 可能であるといい、 等で表し

の における による偏微分とよぶ。

曲面 ( _{二変数ベクトル値関数} )

[用語と性質^]

• 二つの実数 u, v を変数とする二変数関数

x(u, v), y(u, v), z(u, v) によって決まるベクトル

r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) =x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k を二変数ベクトル値関数、或は曲面とよぶ。

• lim

u→u⁰

r(u,v⁰)−r(u⁰,v⁰) u−u0 =

ulim→u0

x(u,v⁰)−x(u⁰,v0)

u−u⁰ , lim

u→u0

y(u,v⁰)−y(u⁰,v0)

u−u⁰ , lim

u→u0

z(u,v⁰)−z(u⁰,v0) u−u⁰

= ^∂x_∂u(u₀, v₀), _∂u^∂y(u₀, v₀), _∂u^∂z(u₀, v₀)

が存在するとき、r(u, v) は (u₀, v₀) で u に関して偏微分 可能であるといい、 ∂r

(u₀, v₀), r_u(u₀, v₀) 等で表し

曲面 ( _{二変数ベクトル値関数} )

[用語と性質^]

r(u, v) の (u₀, v₀) における v による偏微分も同様に定義 し、∂r

∂v(u₀, v₀), r_v(u₀, v₀) 等で表す。

曲面 ( _{二変数ベクトル値関数} )

[用語と性質^]

r(u, v) の (u₀, v₀) における v による偏微分も同様に定義 し、∂r

∂v(u₀, v₀), r_v(u₀, v₀) 等で表す。

• u, v が更に二つの実数 s, t によるとき、^i.e.

u = u(s, t), v = v(s, t) となるとき、偏微分の連鎖律

∂r

∂s = ∂r

∂u · ∂u

∂s + ∂r

∂v · ∂v

∂s,

∂r

∂t = ∂r

∂u · ∂u

∂t + ∂r

∂v · ∂v

∂t が成り立つ。

曲面 ( _{二変数ベクトル値関数} )

[用語と性質^]

曲面 ( _{二変数ベクトル値関数} )

[用語と性質^]

• 曲面 S : r(u, v) について ∂r

∂u ^と

∂r

∂v ^は S に接するので、

∂r

∂u × ∂r

∂v ^は S に垂直である。

を単位法線 ベクトルとよぶ。

S

r(u_0,v)

r(u^,v₀) r(u_0,v₀)

曲面 ( _{二変数ベクトル値関数} )

[用語と性質^]

• 曲面 S : r(u, v) について ∂r

∂u ^と

∂r

∂v ^は S に接するので、

∂r

∂u × ∂r

∂v ^は S に垂直である。n =

∂r

∂u × ^∂_∂v^r

^∂r

∂u × ^∂_∂v^r

を単位法線 ベクトルとよぶ。

S

r(u_0,v)

r(u^,v₀) r(u_0,v₀)

曲面 ( _{二変数ベクトル値関数} )

[用語と性質^]

• 曲面 S : r(u, v) について ∂r

∂u ^と

∂r

∂v ^は S に接するので、

∂r

∂u × ∂r

∂v ^は S に垂直である。n =

∂r

∂u × ^∂_∂v^r

^∂r

∂u × ^∂_∂v^r

を単位法線 ベクトルとよぶ。

r(u_0,v)

r(u^,v₀) r(u_0,v₀)

∂r

∂u× _∂v^∂r

(u₀, v₀)

∂r

∂v(u₀, v₀)

∂r

∂u(u₀, v₀)

宿題

問題集 p.27 _例題 1_〜 p.29 _例題 3 _、 p.39 _例題 9 _〜 p.45 _例題 13 _の例題。