1 3 次元のベクトルとその演算
1.1
ベクトルとスカラー¨ §
香中p.2 ¥ ¦
始点 を O, 終点 を P とする矢印を, ベクトル −→
OP という. A = −→
OP などとかく.
この矢印のように, 大きさと方向の両方のある量を ベクトル という.
大きさだけのある量を, ベクトルに対して スカラー という.
大きさと向きが両方等しければ, (始点 が違っても) ベクトルは等しい. つまり, 平行移動 して重なるようなベクトル は等しい.
A = −→
OP = −→
QR.
ベクトルの例: 風 (風向きと風力). スカラーの例: 温度.
記号の使い方
• ベクトルは r や A のような傾いた太い字 (または ~r のように) で表わす.
• スカラーは r のような傾いた細い字で表わす.
• 点の名前や単位は O,P,Q,R, m, kg のように立った細い字で表す.
1.2
ベクトルの演算¨ §
香中p.3 ¥ ¦
¨
§
¥
和達p.21 ¦
ベクトルの和
一般に, ベクトル C = A + B とは, A と B を 2 辺とす る平行四辺形の対角線のベクトル.
ベクトルとスカラーの積
ベクトル A と スカラー c の積 B = c × A は, ベクトル であり,
• 大きさは A の |c| 倍.
• 向 き は, c > 0 なら同じ向き
c < 0 なら逆向き. c = 0 なら, あとで出て
くるゼロベクトルになる.
ベクトルのスカラー倍ともいう.
A
B A+B
- A A 2A
0
ベクトルの差
ベクトル A とベクトル B の差 C = A − B とは, ベクトルであり,
C = A − B = A + ((−1) × B) (2.1)
ゼロベクトル
A − A や, 0 × A は, ゼロベクトル 0 である.
ゼロベクトルは, 大きさは 0 で, 向きはない.
0 × A = 0 × B = A − A = B − B = 0. (2.2)
ベクトル, スカラーについては, 普通の数であるかのように展開して計算してよい.
例: 2(3A − B) = −2B + 6A.
1.3
ベクトルの座標表示¨ §
香中p.9 ¥ ¦
ベクトルを, やっぱり, 絵じゃなく数字で表わしたい!
図のように, 原点 O で垂直に交わる x-軸, y-軸を平面に描く. x-軸, y-軸には向きがあり, x-座
標, y-座標がある. x-軸, y-軸に垂線を下ろして x-座標, y-座標をよみとる.
この
A =
2 3
=
A x A y
x-成分 y-成分
(2.3)
を ベクトルの座標表示 または 成分表示 という. 2 を x 成分, 3 を y 成分という.
横に A = (2, 3) のように書くこともある.
x y
O
A = ( ) 2 3
+2
-2
-2 +2
P
成分で書いた ベクトルの和とスカラー倍
ベクトル
A =
A x A y
, B =
B x B y
(3.4)
とスカラー c に対して,
A+B =
A x + B x A y + B y
c×A =
c × A x c × A y
(3.5)
である.
x y
O A
B
A+B
-A
1.4 3
次元の座標系¨ §
和達p.22 ¥ ¦ ¨
§
¥
香中p.13 ¦
互いに直交する x,y,z の 3 つの座標軸を使う.
3 次元のベクトル A の始点を原点に置いたとき, 終点の 座標を A の x, y, z 成分といい, A x , A y , A z と書く.
A =
A x A y A z
x-成分 y-成分 z-成分
(3.6)
ふつうは, 右手を開いたときの親指方向を x, 人指し指方向を y, 中指方向を z 軸の正の方向に とる.
左手を使うと,
z
軸の向きが逆になる.1.5
基本ベクトル§
香中p.14 ¦
単位ベクトル : 大きさが 1 のベクトル.
x,y,z 軸の正の向きの単位ベクトルを 基本ベクトル と
いい,
i =
1 0 0
, j =
0 1 0
, k =
0 0 1
(4.7)
と書く. これらを用いると,
A =
A x A y
A z
= A x i + A y j + A z k. (4.8)
x, y, z 軸を右親人中指にとるとき, ベクトルの 3 個組
hi, j , ki は 右手系 だという. hi, j, −ki は右手系じゃ ない.
1.6
内積(スカラー積) ¨ §
香中p.4 ¥ ¦
ベクトル A の大きさ (長さ, 絶対値) を |A| と書く (絶対 値と同じ記号). |A| はスカラー (実数).
2 つの 3 次元ベクトル A, B に対して, 次の式で計算され るスカラー A · B のことを 内積 という.
A · B = |A| × |B| × cos θ. (4.9)
ベクトル A, B, C, スカラー c に対して, 普通の数であるかのように, (2A + B) · A = 2A · A + A · B のように展開したりしてよい.
基本ベクトル i, j, k は互いに直交していて大きさ 1 なので,
i · i = j · j = k · k = 1. (4.10)
i · j = j · k = k · i = j · i = k · j = i · k = 0. (4.11)
内積 A · B の成分表示 §
香中p.16 ¦
A · B =(A x i + A y j + A z k) · (B x i + B y j + B z k)
=(A x B x i · i + A x B y i · j + A x B z i · k) +(A y B x j · i + A y B y j · j + A y B z j · k) +(A z B x k · i + A z B y k · j + A z B z k · k)
= A x B x + A y B y + A z B z
(5.12)
仕事 (スカラー) は, 力 (ベクトル) と変位 (ベクトル) の内積.
ベクトルの大きさ (内積の使い道 1)
[b] 三平方の定理を 2 回使うと, ベクトル A の絶対値 |A|
は
|A| 2 =
³q
A 2 x + A 2 y
´ 2
+ A 2 z = A 2 x + A 2 y + A 2 z = A · A (5.13)
[t]
内積の使い道 2: ベクトル A と B のなす角度 内積の定義の式 (4.9) を逆に使うと,
cos θ = √ A · B A · A ×
√ B · B (5.14)
で, ベクトル A と B のなす角度 θ が計算できる.
(例題 1) A =
³ 1 1 0
´ , B =
³ 0 1 1
´
とする. A · B, |A|, および A,B のなす角 θ は?
1.7
外積(
ベクトル積) §
香中p.6 ¦
2 つの 3 次元ベクトル A, B に対して, 次の式で表わされるベクトル C = A×B のことを 外積 という.
この記号 ‘×’ は新しい記号.
(実数のふつうの ‘かける’ とたまたま同じ文字だが意味は異なる).
C = A × B = |A| |B| (sin θ) ˆ C (6.15) ただし, ˆ C は, A と B の両方に垂直な単位ベクトルで, hA, B, Ci ˆ が右手系をなすようなもの.
別の言い方:
C ⊥ A, C ⊥ B で, C の向きは, A から B に回る右ねじが進む向き.
大きさは |C| = |A||B| sin θ = A,B のはる平行四辺形の面積.
外積 (ベクトル積) と内積 (スカラー積) を混同しないよう注意
A × B : ベクトル , A · B : スカラー (6.16)
A × A = 0 , A · A = |A| 2 (6.17)
A × B = −B × A , A · B = B · A (6.18)
( ) をはずすときはふつうの数であるかのように展開してよい.
計算例 (A + B) × A = A × A + B × A = 0 − A × B (6.19)
基本ベクトルの間の外積
i × i = 0, j × j = 0, k × k = 0. (6.20) i × j = +k, j × k = +i, k × i = +j, (6.21) j × i = −k, k × j = −i, i × k = −j . (6.22)
i, j , k が 循環的 (cyclic) に入れ替わってることに注意. i → j → k → i.
外積 A × B の成分表示 §
香中p.16 ¦
A × B
=(A x i + A y j + A z k) × (B x i + B y j + B z k)
=(A x B x i × i + A x B y i × j + A x B z i × k) + (A y B x j × i + A y B y j × j + A y B z j × k) + (A z B x k × i + A z B y k × j + A z B z k × k)
= (A y B z − A z B y )i + (A z B x − A x B z )j + (A x B y − A y B x )k.
(7.23)
x, y, z が循環的に入れ替わってることに注意. x → y → z → x.
覚え方
A × B = =
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
A y A z B y B z
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
A z A x B z B x
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
A x A y B x B y
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
=
A y B z − A z B y
A z B x − A x B z A x B y − A y B x
(例題 2)
A =
2 3 0
, B =
−1
−4 +5
に対して, 外積 B × A を計算しよう.
フレミングの左手の法則やローレンツ力は, 外積で簡単に書ける:
F = I × B, F = q(E + v × B).
2 内積と力のバランス
内積の直観的な意味 → 射影 力はベクトル ¨ §
香中p.3 ¥ ¦
F
F F=F +F
1
2 1 2
F F F
F F
n
1 3 2
4
力 は向きと大きさを持ち, ベクトルで表される. 大きさの単位はニュー トン N=kg · m/s 2 .
物体に, 2 つの力 F 1 と F 2 が同時にはたらいているのは, 1 つの力 ( 合力 ) F = F 1 + F 2 がはたらいているのと同じこと.
物体にはたらくすべての力の合力が
F = F 1 + F 2 + · · · F n = 0 (8.1)
のとき, 力は つりあっている , つりあいの状態にある という. このとき, 止まっていた 物体は止まったまま.
ベクトルの和と綱引き
図の場合, F 1 + F 2 = 0 のときつりあっている.
力の大きさ f 1 , f 2 (> 0) で書くと,
f 1 = f 2 つまり f 1 − f 2 = 0 (8.2) がつりあいの条件.
f f
F F
1
1 2
2
x
f 1 と F 1 の関係
f 1 = |F 1 |(> 0), f 2 = (> 0), (8.3)
F 1 = , F 2 =
+f 2
0 0
. (8.4)
力 F 1 , F 2 はベクトル, 力の大きさ f 1 , f 2 はスカラー.
(例題 3)
マルチ綱引きの 4 チームが, F 1 , F 2 , F 3 , F 4 の力で引いたところ, つりあいの状態になって綱は 動かなかった.
F 1 =
1 3 0
, F 2 =
−2 2 0
, F 3 =
1
−4 0
(9.1)
のとき, F 4 を求めよう. いちばん力の大きいチームはどれ?
【注意】:
図で, ベクトルは, 綱の長さとは関係ない. 引く力の大き さ (強さ) を表している.
F F F
F F
n
1 3 2
4
ベクトルの内積と列車の綱引き
線路上しか動けない列車に綱をつけて綱引き
F 1 を線路に平行なベクトル F 1k と垂直なベクトル F 1⊥
に分解して考える.
F 1 = F 1k + F 1⊥ (10.1) 列車の動きに関係あるのは線路に平行なベクトル F 1k だ け. 列車が動かないためには,
F 1k + F 2k = 0つまりF 1k = −F 2k (10.2) であればいい. 両辺の絶対値をとると,
|F 1 | cos θ = |F 2 | cos(π − φ). (10.3) この条件は内積を使うともっと簡単に書ける!
u F
F
1
2 θ φ π−φ
A
線路に平行な (単位ベクトルと限らない) ベクトルを A とする.
ベクトル F の, ベクトル A の向きの成分は, F · u = |F | cos θ ただし, u = 1
| A | A は A と同じ向きの単位ベクトル.
線路上しか動けない列車のつりあいの条件は
F · u = (F 1 + F 2 + · · · F n ) · u = 0 (10.4) つまり, 合力 F の, (線路に平行な) ベクトル A の向きの成分が 0 になること. 成分 F · u は, 合力が A の向きにどれだけはたらくかを表す量.
上の力 2 個の場合に, この条件は, |u| = 1 より,
0 = (F 1 + F 2 ) · u =F 1 · u + F 2 · u = |F 1 ||u| cos θ + |F 2 ||u| cos φ
=|F 1 | cos θ − |F 2 | cos(π − φ).
(10.5)
たしかに同じ条件になっている!
(例題 4)
まっすぐな線路が, ベクトル A =
1
−2 0
に平行に走っている.
1. 線路に平行な単位ベクトル u を求めよう.
2. 列車に力 F 1 =
2 0 0
, F 2 =
−1 1 0
が加わっている. 線路に平行な力 F 3 を加えて列
車を動かないようにするには, F 3 はどのようなベクトルであればいいか考えよう.
3. 力の大きさ |F 3 | を求めよう.
u = √ 1 5
1
−2 0
. (−1 倍も可) F 3 = F u とおくと, F = √ 5 5 よって, 力の大きさは
√ 5 5 .
F 3 = 1 5
1
−2 0
.
ポイント 1: A の向きの単位ベクトルは u = 1
|A| A.
ポイント 2: f u の大きさは |f |.
力以外にも ‘何とか向きの成分’ は使える (例題 5)
北が y 軸の正の向き, 東が x 軸の正の向き, 上が z 軸の正の向きであるような右手系をとる。
1. 南向きの単位ベクトルを成分表示で書こう。
2. 北西向き (北と西の中間 45 ◦ の向き) の単位ベクトルを成分表示で書こう。
3. 北西向きに 3km 進んだ。 これは, 北向きにはどれだけ進んだことになる?
4. 北向きに 2km, 次に東向きに 1km 進んだ。これは, 北西向きにはどれだけ進んだことに なる?
(答)
1. s =
³
0 , −1 , 0
´
2.u = 1
√ 2
³
− 1 , 1 , 0
´ 3. 3/ √
2 4.1/ √ 2
内積 A · B のイメージ A と B の協力度みたいなもの
• 2 つのベクトルの向きが近いほど正で大きい. cos 0 = 1
• 2 つのベクトルの向きが反対だと負. cos π = −1
• 2 つのベクトルの向きが直交してると零. cos π 2 = −1. A · B = 0.
• 仕事 (スカラー) は, 力 (ベクトル) と変位 (ベクトル) の内積.
• B · u = B · A
|A| は, B の A 向き成分.
q
(
) (
)
q
i, u は単位ベクトル.
A · i: ベクトル A の x 成分 (i 向きの成分) (A · i) i: ベクトル A の x 軸への射影.
A · u: ベクトル A の (有向) 直線 L 成分 (u 向きの成分)
(A · u) u: ベクトル A の直線 L への射影.
3 回転のバランスと外積 , ベクトル 3 重積
やじろべえ
¨
§
¥
香中p.5,7 ¦
右の図のような原点で支えられたやじろべえが回転しな
い (つりあいの状態にある) 条件は,
|F 1 | : |F 2 | = |r 2 | : |r 1 |. (13.1)
じゃあ, 斜めに引っ張る場合は? x
y z
F
F r 1 r
1 2
2
2
1
N N
F 1 を, r 1 に平行,
垂直に分解して得られるベクトルをF 1k , F 1⊥ とする.
垂直なベクトル
F 1⊥ , F 2⊥ がやじろべえの動きに効く. つ りあいの条件は
|F 1⊥ | : |F 2⊥ | = |r 2 | : |r 1 |. (13.2)
つまり |F 1 | sin θ : |F 2 | sin φ = |r 2 | : |r 1 |. (13.3)
y x
z
F
F
r r
1 2
2
1 θ
φ
実は, これはベクトルの外積を使うと便利に書ける. ¨ §
香中p.7 ¥ ¦
n 個の力がはたらいているとき,
N 1 = r 1 × F 1 , N 2 = r 2 × F 2 , · · · , N n = r n × F n (13.4) とおく. これらを, (原点のまわりの) 力のモーメント という. 単位はニュートンメートル N · m.
つりあいの条件は, 力のモーメントの和がゼロになること:
N = N 1 + N 2 + · · · N n = 0 (13.5) 上の n = 2 個の力の場合には,
N = r 1 × F 1 + r 2 × F 2 = 0.
ここで, 外積の定義を使う.
0 =|r 1 ||F 1 |(sin θ)(−i) + |r 2 ||F 2 |(sin φ)(+i)
=(−|r 1 ||F 1 | sin θ + |r 2 ||F 2 | sin φ)i よって, 同じ式
|F 1 | sin θ : |F 2 | sin φ = |r 2 | : |r 1 |. (14.6) が得られた.
やじろべえの回転する向き N =r 1 × F 1 + r 2 × F 2
=
0 2 0
×
0 0
−1
+
0
−1 0
×
0 0
−3
=
1 0 0
6= 0
(14.7)
で, つりあっていないので回転する. でも, どっちに?
x
y z
F
F
r r
1 2
2
1
回転の向き
• 回転軸は N に平行.
• 回転の向き (図で, 時計回りまたは反時計回り) は, N 向きに進む 右ねじ の回る向き.
3 次元やじろべえと外積
x
y z
F F
r
1 2
3
r 1
r 3
F 2
立体的なやじろべえのときも同じ. N = 0 ならつりあってる.
N 6= 0 なら,
• 回転軸は N に平行.
• 回転の向き (図で, 時計回りまたは反時計回り) は, N 向きに
進む右ねじの回る向き. · · · 右ねじの向き
外積 A × B のイメージ A と B のはった網みたいなもの
• 2 本の棒 A, B を使って網を張るような感じ.
• 網の正対する向きが C = A × B の向き. (表裏あり)
• 網の面積, つまり 平行 4 辺形の面積 が |C| = |A × B| . 2 本の棒が違う方向を向いて るほうがたくさん魚がとれる.
• フレミングの左手の法則とか, これで簡単に書ける. F = I × B.
スカラー 3 重積 ¨ §
香中p.7 ¥ ¦
B × C はベクトル. ということは, A · (B × C) はスカラーになる. これをスカラー 3 重積と いう.
下の図から, 絶対値 |A · (B × C)| は, A,B,C を 3 辺とする 平行 6 面体の体積 .
体 積 だ か ら, A, B, C を 循 環 的 に 変 え て も 等 し い.
A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B) = −C · (B × A) . (15.1)
(例題 6-1)
ベクトル A = (0 , 0 , 1), B = (1 , 1 , 1), C = (1 , −1 , 1) とする.
1. B, C を 2 辺とする平行 4 辺形の面積を求めよう.
2. A, B, C を 3 辺とする平行 6 面体の体積を求めよう.
(答)
1. B × C = (2 , 0 , −2) なので，平行 4 辺形の面積は |B × C| = p
2 2 + (−2) 2 = 2 √ 2 と なる。
2. スカラー 3 重積 A · (B × C) = −2 より平行 6 面体の体積は |A · (B × C)| = 2 となる。
(例題 6-2)
原点を中心に回転するやじろべえを考える。
r 1 = (0 , 2 , 1) の点に力 F 1 = (0 , 2 , −1) を,
r 2 = (0 , −1 , 0) の点に力 F 2 = (0 , −1 , −2) を加える。
右の図 (ベクトルは正確ではありません) のように x 軸の
正の向きから見たとき, やじろべえは時計回り, 反時計回 りどちらに回るか考えよう。
y x
z
F
F
r r
1 2
2
1 θ
φ
(答)
N 1 = r 1 × F 1 = (−4 , 0 , 0) , N 2 = r 2 × F 2 = (2 , 0 , 0) (16.1)
より，N 1 + N 2 = (−2 , 0 , 0) は x 軸の負の向きとなる。従ってやじろべえは時計回りに回る。
4 ベクトル , 直線 , 平面
ベクトルで直線と平面を表現できるようになろう ベクトルで表すいろいろな図形
・直線のパラメータ表示
r = At + C (t はパラメータ) (17.1) A = (A x , A y , A z ) , C = (C x , C y , C z ) として成分で
表すと
x = A x t + C x y = A y t + C y z = A z t + C z となる。
・(空間の中の) 平面のパラメータ表示
r = At + Bs + C (t, s はパラメータ) (17.2) この式は位置ベクトル C で表される点を含み，ベクトル A と B で張られる平面を表す。
・ (空間の中の) 平面の方程式
n を平面と直交する単位ベクトル, つまり単位 法線ベクトル とする。n = A × B
|A × B| で求め られる。r 0 を平面上のある一つの点を表す位置ベクトル，r を平面上の任意の点を表す位置ベ クトルとすると r − r 0 は平面内に含まれるベクトルなので n と直交する；
(r − r 0 ) · n = 0 (17.3)
D = r 0 · n と書くと n に直交する平面の方程式は
r · n = D (D は定数) (17.4)
となる。n = (a , b , c) としてこの方程式を成分で書くと,
ax + by + cz = D . (17.5)
となる。
(例題 7)
単位法線ベクトルが n = 1
√ 14
3 1
−2
であり, 点 r 0 =
1 2 3
を通る平面の方程式を求め
よう。
(答)
式 (17.3) を用いる。r − r 0 = (x − 1 , y − 2 , z − 3)) なので平面の方程式は
√ 1 14
³
3(x − 1) + y − 2 − 2(z − 3)
´
= 0 すなわち
3x + y − 2z = −1 (18.1)
となる。
(例題 8)
原点を頂点とする, 無限に高い, 傾いた円錐を考えよう. v = (1 , 1 , 2) は円錐の中心軸に平行で, 頂点から底面に向かうベク トルである。(図は正確ではありません。) また, 円錐の軸と母 線のなす角は π/6 である。2 点 P 1 ，P 2 は, −−→
OP 1 = (1 , 1 , 5)，
−−→ OP 2 = (−1 , +1 , −3) である。この 2 点はそれぞれ, 円錐の内部, 表面上, 外部のどこにあるか答えよう。
x
y z
O
π/6 v
(答)
ベクトル −→
OP と v のなす角が θ < π/6 なら点 P は円錐の内部にある。また θ = 0 のとき, θ < π/6 と cos θ > √
3/2 は同値なので 1. −−→
OP 1 と p の間の角度を θ 1 とすると,
cos θ 1 = v · −−→
OP 1
|v|
¯ ¯
¯ −−→
OP 1
¯ ¯
¯
= 4
3 √ 2 > √
3/2 (19.1)
従って，点 P 1 は円錐の内部にある。
2. −−→
OP 2 と p の間の角度を θ 2 とすると,
cos θ 1 = v · −−→
OP 2
|v|
¯ ¯
¯ −−→
OP 2
¯ ¯
¯ = − 6
√ 66 < √
3/2 (19.2)
従って，点 P 2 は円錐の外部にある。
5 運動のベクトルによる表現
¨
§
¥
香中1
章と2
章の間¦
位置ベクトル
3 次元空間に物体 P があって運動している. 例:飛行機, ボール, 蚊, . . . 座標系 xyz と原点 O は固定する。
ある瞬間の物体 P の位置は, 始点 を O, 終点 を P とするベクトル −→
OP で指定される。
これを P の 位置ベクトル という.
空間を物体 P が時間 t とともに, 移動していくとき P の 位置ベクトルは時間の関数なので, r(t) のように書く. た とえば
−→ OP = r(t) =
x(t) y(t) z(t)
=
3t + 2 sin t
3
. (20.1)
x
y
z P
O r(t) r(1) r(0)
r(4)
(
式(20.1)
に対する図ではありません。)
相対位置ベクトル
物体 P の位置ベクトルを r P 物体 Q の位置ベクトルを r Q とする.
物体 Q に対する 物体 P の 相対位置ベクトル とは, Q か ら P に向かう矢印で表わされるベクトル r 1 である. いわば,
Q からみた P の位置ベクトル . O
Q P r
r r Q
P 1
このとき,
r Q + r 1 = r P . つまり r 1 = r P − r Q . (20.2)
２点間の距離
r P (t) =
x P (t) y P (t) z P (t)
, r Q (t) =
x Q (t) y Q (t) z Q (t)
とする。時刻 t の P と Q の間の 距離 は
|r 1 (t)| = |r P (t) − r Q (t)|
=
·³
x P (t) − x Q (t)
´ 2 +
³
y P (t) − y Q (t)
´ 2 +
³
z P (t) − z Q (t)
´ 2 ¸ 1/2 .
(20.3)
時刻 t に P と Q が 衝突 する (21.1)
⇐⇒ 時刻 t に −→
OP = −→
OQ (21.2)
⇐⇒ x P (t) = x Q (t), y P (t) = y Q (t), z P (t) = z Q (t) (21.3)
⇐⇒ 時刻 t に距離が 0 . (21.4)
(例題 9)
時間帯 0 < t < 3 4 π で, 位置ベクトルが r(t) =
³
cos(t) , sin(t) , 0
´
(21.5)
にしたがって運動する物体がある。
(1) 点 A (0 , 1/2 , 0) に最も近づく時刻 t を求めよう。
(2) 点 B (−1 0 , 0) を, 物体が通過するならその時刻 t を求めよう。
(答)
(1) 物体は時刻 t = π/2 に点 A に最も近づく。その時の距離は 1/2 となる。
(2) 物体は時刻 t = π に点 B を通過する。
運動の軌跡
xyz 空間内で, 物体が通過した点をつないでできる曲線を 軌跡 という。
たとえば空間を運動している物体 P の位置ベクトルが r(t) =
³
t 4 , 4t 2 , 0
´
の場合，物体の軌 跡は下の表より, 下右図のようになる。
t −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 x +81 +16 +1 0 +1 +16 +81 y +36 +16 +4 0 +4 +16 +36
0 5 10 15 20
0 5 10 15 20
0
–1
–2
(
(
)
(
))
t-x, t-y, t-z グラフ
時間 対, x, y, z 座標のグラフを描くとわかりやすいこともある.
0 5 10 15 20
-10 -5 0 5 10
( )
4
0 5 10 15 20
-10 -5 0 5 10
2
( )
4
パラメータ表示と軌跡
一般に, t のような ‘余計な’ 変数を使って
r(t) =
t 4 4t 2
0
あるいは x(t) = t 4 , y(t) = 4t 2 , z(t) = 0
のように軌跡を表現する方法を パラメータ表示 という。
パラメータ表示から, 軌跡の方程式を導くことができる。
• 時刻 t を パラメータ (助変数) とする パラメータ表示 では運動の様子がすべてわ かるが, 物体の通過した道は見にくい。
• 軌跡の方程式 では, 物体の通過した道がどのような形になっていたかわかるが, 通過 した速さなどはわからない。
軌跡の方程式を求めるときには, 範囲がどうなっているか注意。
直線のパラメータ表示と方程式
2 点 A,B を通る直線のパラメータ表示.
a = −→
OA , b = −→
OB , c = b − a
とすると, r (t) = (1 − t)a + tb = a + ct . (23.1)
xy 平面内にあるとき a =
³
a 1 , a 2 , 0
´
, c =
³
c 1 , c 2 , 0
´
とすると
x =a 1 + c 1 t (23.2)
y =a 2 + c 2 t (23.3)
z =0. (23.4)
t を消去すると,
x − a 1
c 1 = y − a 2
c 2 (= t), z = 0. (23.5)
整理すると
平面の直線の方程式 y = c 2
c 1 (x − a 1 ) + a 2 , z = 0. (23.6) xyz 空間内の直線
a = ³
a 1 , a 2 , a 3 ´
, c = ³
c 1 , c 2 , c 3 ´ とすると
x =a 1 + c 1 t (23.7)
y =a 2 + c 2 t (23.8)
z =a 3 + c 3 t (23.9)
t を消去すると,
空間の直線の方程式 x − a 1
c 1 = y − a 2
c 2 = z − a 3
c 3 (= t). (23.10)
6 速度ベクトルと加速度ベクトル
1 次元の運動
x-軸の式は y = z = 0 だから, x-軸の上だけを運動する物体の位置ベクトルは,
r(t) =
x(t)
0 0
(24.1)
となり, ただ 1 つの関数 x(t) だけで表わせる。このように, 位置ベクトルの 1 成分だけで表わ せる運動を 1 次元の運動という。以下, しばらく 1 次元の運動を考える。
t x
a
b x
y
a b
z
1 次元の運動の t-x グラフと軌跡の関係
1 次元の運動の速度 ¨ §
香中p.26 ¥ ¦
時刻 t 1 に 座標 x(t 1 ) にあった物体が, 時刻 t 1 + ∆t には 座標 x(t 1 + ∆t) ま で移動していたとする。座標の差 ( 変位 ともいう) は
∆x = x(t 1 + ∆t) − x(t 1 ). (24.2)
【注】∆tは
∆ × t
ではない。∆t(デルタティー)
は短い時間を表わす変数。O
t+∆t 1
∆x>0
∆x<0 x
x
x(t+∆t) 1
t 1 x(t) 1 x(t) 1
x(t+∆t) 1
関係
(距離) = (速さ) × (時間) (24.3)
から,
(時刻 t 1 から t 1 + ∆t までの平均速度) = x(t 1 + ∆t) − x(t 1 )
(t 1 + ∆t) − t 1 = ∆x
∆t . (24.4) 瞬間の速度を求めるには, ∆t → 0 の極限を考えればよい。
速度 v(t 1 ) = dx
dt (t 1 ) = lim
∆t→0
∆x
∆t . (24.5)
要するに, 座標 x(t) の t についての微分 (導関数) v(t) = dx dt (t) を時刻 t における物体の 速度
という。
【注】本や人によっては,
dx dt (t)
を,x 0 (t), x(t) ˙
などと書いてあることもある。速度と言ったときには正負に意味がある. 速さは速度の絶対値。
バックしてるときは 速度は 負 。
x
t
x
O 0
x(t ) x(t +∆t)
x(t +∆t) x(t ) t +∆t
t +∆t t
t
1 1
2 2
1 1
2 2
v(t )>0
v(t )<0
1
2
v t-x グラフ 物体の運動
v > 0 右上がり 上に向かう
v < 0 右下がり 下に向かう
v = 0 水平 (一瞬) 静止
速度 v(t 1 ) は, t = t 1 における x(t) の接線の傾き.
1 次元の加速度
¨
§
¥
香中p.27 ¦
時刻 t 1 に 速度 v(t 1 ) だった物体が, 時刻 t 1 + ∆t には速度 v(t 1 + ∆t) に変化していたとする。
速度の変化分は
∆v = v (t 1 + ∆t) − v(t 1 ). (25.6)
関係 (変化率) = (変化分) (時間) から,
(時刻 t 1 から t 1 + ∆t までの速度の平均変化率)
= v(t 1 + ∆t) − v(t 1 ) (t 1 + ∆t) − t 1 = ∆v
∆t .
(25.7)
瞬間の変化率を求めるには, ∆t → 0 の極限を考えればよい。速度の瞬間の変化率のことを 加速度 a(t 1 ) = dv
dt (t 1 ) = d dt
µ dx dt
¶
(t 1 ) = d 2 x
dt 2 (t 1 ) (25.8) という。要するに, 加速度 は速度の 1 階微分, 座標の 2 階微分のこと。
【注】本や人によっては,
a(t) = d dt 2 2 x (t)
を,x 00 (t), x(t) ¨
などと書いてあることもある。a t 対 v t 対 x 物体の運動
a > 0 右上がり 下に凸 速度増加
a < 0 右下がり 上に凸 速度減少
a = 0 水平 変曲点 速度一定
バックで加速してるときは 加速度は 負 (速度は減少中) 。
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-1 0 1 2 3 4 5 6
a
t a(t)
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1 0 1 2 3 4 5 6
v
t v(t)
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1 0 1 2 3 4 5 6
x
t x ( t )
再び, 3 次元を運動する物体の位置ベクトル r(t) =
x(t) y(t) z(t)
= x(t)i + y(t)j + z(t)k を考え
よう。
速度ベクトル ¨ §
香中p.30 ¥ ¦
時刻 t 1 に 位置ベクトル r (t 1 ) にあった物体が, 時刻 t 1 + ∆t には 位置ベクトル r(t 1 + ∆t) ま で移動していたとする。
∆t 秒間の変位ベクトル ∆r =r(t 1 + ∆t) − r(t 1 ) (26.9)
=(∆x)i + (∆y)j + (∆z)k (26.10)
∆t 秒間の平均速度ベクトル ∆r
∆t = r(t 1 + ∆t) − r(t 1 )
∆t . (26.11)
= ∆x
∆t i + ∆y
∆t j + ∆z
∆t k (26.12)
時刻 t 1 における (瞬間) 速度ベクトル v(t 1 ) を求めるに は, ∆t → 0 の極限を考えればよい.
v(t 1 ) = lim
∆t→0
r(t 1 + ∆t) − r(t 1 )
∆t
= lim
∆t→0
µ ∆x
∆t i + ∆y
∆t j + ∆z
∆t k
¶
= dx
dt (t 1 )i + dy
dt (t 1 )j + dz dt (t 1 )k
=
dx dt (t 1 )
dy dt (t 1 )
dz dt (t 1 )
.
(26.13)
要するに成分ごとに微分すればよい。
x y
z x(t ) y(t )
y(t +∆t)
x(t +∆t) r(t +∆t) r (t )
v(t )
O 1 1
1
1 1 1
1
∆r
∆x
∆y
一般に, 時間の関数であるベクトル (ベクトル関数) A(t) があったとき,
∆t→0 lim
A(t 1 + ∆t) − A(t 1 )
∆t =
dA 1
dt (t 1 )
dA 2
dt (t 1 )
dA 3
dt (t 1 )
(27.14)
を A(t) の t = t 1 における微分といい, dA
dt (t 1 ) と書く。つまり, いまは v(t) = dr dt (t) 。 (例)
時刻 t = t 0 に位置 r 0 を通り，速度 v 0 を持つ物体の運動を表す位置ベクトルは
r(t) = r 0 + (t − t 0 ) v 0 (27.15) となる。
速さ
時刻 t 1 における速さ =
¯ ¯
¯ ¯ dr dt (t 1 )
¯ ¯
¯ ¯ . (27.16)
• 速度 はベクトル. 大きさと向きがある.
• 速さ はスカラー. 速度の絶対値. 大きさだけ。
速度ベクトルの性質
• 速度ベクトルの向きは 軌跡の接線方向 . (瞬間の向き)
• 速度ベクトルの大きさは, 速さに比例. (瞬間の速さ)
• 物体が静止 ⇔ 速度ベクトルが 零ベクトル ⇔ 速さが零.
加速度ベクトル ¨ §
香中p.30 ¥ ¦
時刻 t 1 における加速度ベクトル a(t 1 ) = dv dt (t 1 )
= d dt
µ dx
dt (t 1 )i + dy
dt (t 1 )j + dz dt (t 1 )k
¶
= d 2 x
dt 2 (t 1 )i + d 2 y
dt 2 (t 1 )j + d 2 z
dt 2 (t 1 )k =
d 2 x dt 2 (t 1 )
d 2 y dt 2 (t 1 )
d 2 z dt 2 (t 1 )
.
(28.1)
やはり成分ごとに微分すればよい。
このベクトルを, a(t 1 ) = d 2 r
dt 2 (t 1 ) と書く。
(例)
一定の加速度 a 0 で運動する物体が時刻 t = t 0 に位置 r 0 を通り，速度が v 0 であった。この物 体の運動を表す位置ベクトルは
r(t) = r 0 + (t − t 0 ) v 0 + (t − t 0 ) 2
2 a 0 (28.2)
となる。
(例) 物体が, r (t) = t + sin t , 2t + 2 sin t , √
5 cos t で運動している。
1. 速度ベクトル, 加速度ベクトルを求めなさい。
2. 物体が静止する時刻を求めなさい。
3. 速さが最大となる時刻を求めなさい。
(答)
1. v(t) =
³
1 + cos t , 2 + 2 cos t , − √ 5 sin t
´
, a(t) =
³
− sin t , −2 sin t , − √ 5 cos t
´ .
2. 静止するのは, v(t) = 0 となるときで, t = (2n + 1)π
3. 速さの 2 乗は, f(t) = |v(t)| 2 = (1+cos t) 2 +(2+2 cos t) 2 +(− √
5 sin t) 2 = 10(1+cos(t)).
最大最小となるのは df (t)/dt = −10 sin t = 0 のときのはずで, t = nπ. 最大となる のは, t = 2nπ でそのとき |v(2nπ)| = √
20. このことからも, 静止 v(t) = 0 となるの は t = (2n + 1)π であることがわかる.
(例) x 軸上を運動する物体の時刻 t の x 座標が x(t) = exp
³ √ 1 + t 2
´
と表される。このとき時刻 t での物体の速度の x 成分 v(t) を求めなさい。
(答) v(t) = dx(t)/dt なので関数 exp
³ √ 1 + t 2
´
を t で微分すればよい。多少，複雑な関数の微 分には合成関数の微分の式を何回か用いる:
v(t) = d dt exp
³ √ 1 + t 2
´
= d exp(u) du
¯ ¯
¯ ¯
u= √ 1+t 2
d dt
√ 1 + t 2
= exp
³ √ 1 + t 2
´ d dt
√ 1 + t 2 = exp
³ √ 1 + t 2
´ dv 1/2 dv
¯ ¯
¯ ¯
v=1+t 2
d
dt (1 + t 2 )
= exp
³ √ 1 + t 2
´ 1 2 v −1/2
¯ ¯
¯ ¯
v=1+t 2
2t = t
√ 1 + t 2 exp
³ √ 1 + t 2
´
(29.1)
【注】合成関数 y = f (g(x))
の導関数df(g(x))
dx = df (u) du
¯ ¯
¯ ¯
u=g(x)
dg(x)
dx (29.2)
7 位置・速度・加速度ベクトルと積分
¨
§
¥
香中3
章¦
位置 r(t)
微分
→
速度 v(t) = d r
dt (t)
微分
→
加速度 a(t) = d 2 r
dt 2 (t)
∆t→0 lim
∆ A
∆t = dt d A(t) =
³ dA 1
dt (t) , dA dt 2 (t) , dA dt 3 (t)
´
(30.1)
積分は微分の逆
変数 t の関数 f (t), F (t) が,
dF
dt (t) = f(t) (30.2)
を満たすとする (例えば, 位置 x(t) = F (t), 速度 v(t) = f(t)). このとき, Z
f (t)dt = F (t) + C. (30.3)
• f (t) は F (t) の (1 階) 微分, (1 階) 導関数
• F (t)+C は 被積分関数 f(t) の (不定) 積分, C は積分定数, F (t) は f (t) の 原始関数 という。
基本的な関数の不定積分
dx α+1
dx = (α + 1)x α より Z
x α dx = x α+1
α + 1 + C , ただし α は定数で α 6= −1 (30.4) d log |x|
dx = 1
x より
Z 1
x dx = log |x| + C (30.5)
de αx
dx = αe αx より Z
e αx dx = e αx
α + C , ただし α は定数 (30.6)
d sin(ωx)
dx = ω cos(ωx) より Z
cos(ωx) dx = sin(ωx)
ω + C , ただし ω は定数
(30.7)
d cos(ωx)
dx = −ω sin(ωx) より Z
sin(ωx) dx = − cos(ωx)
ω + C , ただし ω は定数
(30.8)
速度の積分は位置
位置 r(t) =
x(t)
0 0
, 速度 v(t) =
v 1 (t)
0 0
に対して,
dx
dt (t) = v 1 (t) だから x(t) = Z
v 1 (t)dt + C = Z dx
dt (t)dt + C (31.1) 位置
x(t)
微分
→
積分
