08-Note2-web

Newton 力学

質点の運動の記述

質点の運動の記述 速度 加速度

t

: 時刻 における 質点の位置ベクトル

r

(t)

v

(t) =

dr

(t)

dt

a

(t) =

dv

(t)

dt

O

r

(t)

=

d

2

_r

_(t)

dt

2

ベクトル値関数の微分

ベクトル値関数

r

(t), v(t), a(t)

は実数 にベクトルを対応させる関数

t

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) 例えば に対し dr(t) dt = ! dx(t) dt , dy(t) dt , dz(t) dt " = ( ˙x(t), ˙y(t), ˙z(t)) d2r(t) dt2 = ! d2_x(t) dt2 , d2y(t) dt2 , d2z(t) dt2 " = (¨x(t), ¨y(t), ¨z(t)) を示せ. Ex. d dt|r(t)| 2 _{= 2r(t) · v(t)} 成分ごとに微分 d dt|r(t)| 2 _{= 2(x(t) ˙x(t) + y(t) ˙y(t) + z(t) ˙z(t)) = 2r(t) · v(t)} |r(t)|2 = x(t)2 + y(t)2 + z(t)2 なので

Exercises

1. 時刻 で位置 , 時刻 で位置 にいるような質点の等速直線運動を記述せよ. さらに, この質点の速度と加速度を求めよ.

t = 0

(1, 0, 0)

t = 1

(−1, 1, 1) r(t) = (1 − t)(1, 0, 0) + t(−1, 1, 1) = (1 − 2t, t, t) v(t) = (−2, 1, 1) a(t) = (0, 0, 0) (1, 0, 0) (−1, 1, 1) t = 0 t = 1

r

(t)

O

Exercises

r(t) = (cos ωt, sin ωt) 2. 平面上の原点を中心とする単位円上を等角速度 で回転する する質点の運動を記述せよ. ただし, において質点は 点 にいるとする. さらに, この質点の速度と加速度, お よびそれぞれの絶対値を求めよ.

ω

t

= 0

(1, 0) v(t) = (−ω sin ωt, ω cos ωt) = ωR_π/2r(t) a(t) = (−ω2 cos ωt, −ω2 sin ωt) = −ω2r(t) |v(t)| = ω

|a(t)| = ω

2 v(t) R_θ = ! cos θ ₋sinθ sinθ cosθ "

θ

角 の回転行列 r(t) a(t) O

ニュートンの運動の第２法則

質点に加わっている力は, 質点の 質量と加速度の積に等しい. ニュートンの運動の第２法則 Isaac NEWTON (1642 - 1727)

m

a = f

微分方程式で書くと

m

d

v

dt =

f

または

m

d

2

_r

dt

2

= f

0

x

y

v

₀

Exercise ：２次元放物運動

! ˙x = u₀ ˙y = v_{0 − gt} 一様な重力場 (重力加速度 ) の中で, 原 点から初速度 で打ち上げた ボールの運動を求めよ. g v₀ = (u_{0, v0}) md 2_r dt2 = f f = (0, −mg)

mg

!

m¨

x = 0

m¨

y =

_−mg

成分ごとに書くと r(0) = 0 dr dt (0) = v0 x(0) = 0, ˙x(0) = u0 y(0) = 0, ˙y(0) = v0 € x(t) = u0t y(t) = v0t − g 2 t 2     

Exercise ：自由落下

x

mg

一様な重力場 (重力加速度 ) の中で, 静止して いた質点が時刻 に自由落下を開始する. この質点は, 速度に比例した抵抗力を受けると する. 鉛直下方を正方向として質点の速度 を求め, そのグラフを書け. また, 最終速度  はいくらか.

g

t = 0 v(t)

−kv

v

_∞

m

dv

dt

= mg − kv

€

dy

dx

− P(x) y = 0

€

dy

y

= P(x)

€

log y = − P(x)dx

∫

+ c

€

y = ce

− P(x )dx∫

€

dy

dx

−

α

y = 0

€

y = ce

− ∫ αdx

= ce

−αx

の解法

斉次線形一階微分方程式

note
1

斉次線形一階微分方程式

_(定係数)

m

dv

dt

= mg − kv

の解法

(続き)

€ dy dx − P(x) y = Q(x)

€

y = c(x)e

− P (x )dx∫

€

if

_{Q(x) = 0 ⇒ y = ce}

− P(x )dx∫

定数変化法

(1) (2) (2)を(1)に代入 € c(x) = e∫ P(x )dx

∫

Q(x)dx + c € y = e− P (x )dx∫ _{( e}∫ P(x )dx

∫

Q(x)dx + c)

非斉次線形一階微分方程式

c:初期条件に依存する定数

€

dy

dx

−

α

y =

β

€ y =

β

α

+ ce −αx

Exercise ：自由落下

x

mg

一様な重力場 (重力加速度 ) の中で, 静止して いた質点が時刻 に自由落下を開始する. この質点は, 速度に比例した抵抗力を受けると する. 鉛直下方を正方向として質点の速度 を求め, そのグラフを書け. また, 最終速度  はいくらか.

g

t = 0 v(t) v = mg k ! 1 − e−_mk t"

t

v

mg k

−kv

v(0) = 0

m

dv

dt

= mg − kv

v∞ = mg k

v

_∞ v = gt

vの大まかな時間変化を(ロジスティック方程式の場合と同様に) v --- dv/dt グラフを使って理解できないか？

ロジスティック方程式

空気抵抗を考慮した運動方程式

u

du/dt

0

€

dv /dt

€

v

€ mg /k

0 < u < K

ならば  は増加

u

u > K

ならば  は減少

u

du

dt

= ru(1 − u/K)

u

du/dt

K 0

€

dv

dt

= g −

k

m

v

€

v < mg /k

€

v > mg /k

ならば  は増加 ならば  は減少

€

v

€

v

t

v

mg k

空気抵抗を考慮した運動方程式

u

du/dt

0

€

dv /dt

€

v

€ mg /k

€

dv

dt

= g −

k

m

v

€

v < mg /k

€

v > mg /k

ならば  は増加 ならば  は減少

€

v

€

v

v(0) = 0

v

mg k

t

€

v(0) > mg /k

バネ振り子

0

x(t)

x

バネ振り子の運動は １次元運動

x(t)

で記述 フックの法則（Hooke s Law) 弾性限界内では、弾性体に加え られた力と歪み (伸び・ちぢみ) の量は比例する Robert Hooke (1635-1703)

単振動の方程式

m

m

d

2

_x

dt

2

= −kx

k

: バネ定数 摩擦は無視できる

m

: おもりの質量   の満たすべき微分 方程式を求めよ.

x(t)

Ex.

単振動の方程式

−kx

バネの復元力

d

2

x

dt

2

+ ω

2 0

x = 0

ω

₀

=

!

k/m

Exercises

1. と     が (1) の解であることを 確かめよ.

x = cos ω

₀

t

x = sin ω

₀

t

2. 上の２つの解が一次独立であることを示せ. すなわち A cos ω₀t + B sin ω₀t = 0 A = B = 0

d

2

x

dt

2

+ ω

2 0

x = 0

· · · (1)

3. と が (1) の解であるとき, それらの一次結合

x

₁

(t)

x

₂

(t)

x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) も (1) の解であることを示せ.

が恒等的に成り立つならば

線形微分方程式

線形微分方程式という.   K

!

k=0

a

k

(t)

d

k

u

dt

k

= f (t)

の形をした微分方程式を 特に の場合,

f

(t) = 0

斉次線形微分方程式と呼ぶ.

note
２

d

2

x

dt

2

+ ω

2 0

x = 0

例

Exercises

2. 上の２つの解が一次独立であることを示せ. すなわち A cos ω₀t + B sin ω₀t = 0 A = B = 0 t = 0 _{−→ A = 0} t = π/(2ω₀) −→ B = 0

d

2

x

dt

2

+ ω

2 0

x = 0

· · · (1)

Exercises

d

_dt

2

x

2

+ ω

2 0

x = 0

· · · (1)

3. と が (1) の解であるとき,

x

₁

(t)

x

₂

(t)

それらの一次結合 x(t) = c₁x₁(t) + c₂x₂(t) も (1) の解であることを示せ.

d

2

x

dt

2

+ ω

2 0

x =

d

2

dt

2

(c

1

x

1

+ c

2

x

2

) + ω

2 0

(c

1

x

1

+ c

2

x

2

)

= c1 ! d2x₁ dt2 + ω 2 0x1 " + c2 ! d2x₂ dt2 + ω 2 0x2 " = 0 斉次線形微分方程式の性質!

4. 初期条件         を満たす解を求めよ. 5. 初期条件         を満たす解を求めよ. 6. 初期条件          を満たす解を求めよ. x(0) = 1, dx dt (0) = 0 x_{(0) = 0,} dx dt (0) = 1 x(0) = a, dx dt (0) = b

Exercises

= C sin (ω0t + φ) x = A cos ω0t + B sin ω0t 前問 3. より任意の定数 に対し

_{A, B}

は (1) の解である. 一般解 2自由度あり

d

2

x

dt

2

+ ω

2 0

x = 0

· · · (1)

4. 初期条件         を満たす解を求めよ.x(0) = 1, dx dt (0) = 0

Exercises

x = cos ω0t = C sin (ω0t + φ) x = A cos ω0t + B sin ω0t 前問 3. より任意の定数 に対し

_{A, B}

は (1) の解である. 一般解 2自由度あり

d

2

x

dt

2

+ ω

2 0

x = 0

· · · (1)

5. 初期条件         を満たす解を求めよ.x(0) = 0, dx dt (0) = 1

Exercises

= C sin (ω0t + φ) x = A cos ω0t + B sin ω0t 前問 3. より任意の定数 に対し

_{A, B}

は (1) の解である. 一般解 2自由度あり

d

2

x

dt

2

+ ω

2 0

x = 0

· · · (1)

x(t) = 1 ω₀ sin ω0 t

6. 初期条件          を満たす解を求めよ.x(0) = a, dx dt (0) = b

Exercises

= C sin (ω0t + φ) x = A cos ω0t + B sin ω0t 前問 3. より任意の定数 に対し

_{A, B}

は (1) の解である. 一般解 2自由度あり

d

2

x

dt

2

+ ω

2 0

x = 0

· · · (1)

x

_{(t) = a cos ω}

₀

t

₊

b

ω

₀

sin ω

0

t

線形微分方程式

斉次線形微分方程式の複数個の解の線形結合は, その微分方程式の解になる. 線形微分方程式という.   K

!

k=0

a

k

(t)

d

k

u

dt

k

= f (t)

の形をした微分方程式を 特に の場合,

f

(t) = 0

斉次線形微分方程式と呼ぶ. Ex. 上のことを示せ.

note
３

note
２

n階微分方程式 n個の任意定数を持つ解が存在

n階斉次線形微分方程式の解

n個の独立な解 を発見すると

すべての解は

€

u

₁

,u

₂

,,,,u

_n

€

α

₁

u

₁

+

α

₂

u

₂

+,,,,+

α

_n

u

_n

の形で書ける

これは

斉次線形微分方程式特有

の

性質である

これを線形微分方程式の

「一般解」

と呼ぶ

note
4

note
5

一般解の全ての任意定数に、ある特定の値を代入

して得られる解を特殊解または特解という。

€

a

_k k = 0 K

∑

(t)

d

k

dt

k

≡ L

とおくと線形微分方程式は

€

L(u) = f (t)

€

L

:「線形演算子」

:定数

線形演算子の性質

€

L(u + v) = L(u) + L(v)

€

L(

_α

u) =

α

L(u)

€

α

のように書ける

note
7

ばね - ダンパ系

ダンパからは速度に比例する抵抗力    を受ける.

−c

dx

dt

m

m

d

2

_x

dt

2

= −kx − c

dx

dt

おもりの位置   の満たす微分方程式を求めよ.

x(t)

Ex. バネの復元力＋ダンパの抵抗力 damp: 勢いをそぐ

バネ - ダンパ系の方程式

γ = c 2m, ω0 = ! k m とおくと

d

2

x

dt

2

+ 2γ

dx

dt

+ ω

2 0

x = 0

λ

2

+ 2γλ + ω

₀2

= 0

特性方程式 と置いたときに が満たすべき方程式を求めよ.

x(t) = e

λt

_λ

Ex. 斉次線形微分方程式を見たら と置いてみる！

x(t) = e

λt

       の

一般解

d

2

x

dt

2

+ 2γ

dx

dt

+ ω

2 0

x = 0

x = A cos ω0t + B sin ω0t = C sin (ω0t + φ)

: 抵抗力の強さの指標

γ = c/(2m)

γ = 0

(1) (4)

γ > ω

₀

γ = ω

₀ (3)

0 < γ < ω

₀ (2) 次の４通りの場合について一般解を求めよう.

λ

2

+ 2γλ + ω

₀2

= 0

特性方程式 判別式 / 4 =

γ

2

_{− ω}

₀2

=任意定数２個を含む解

       の一般解 : 場合(4)

d2x dt2 + 2γ dx dt + ω 2 0x = 0

λ

2

+ 2γλ + ω

₀2

= 0

λ = _{−γ ±} ! γ2 _{− ω0}2

x = Ae

(−γ+

√

γ2−ω02)t

+ Be

(−γ−

√

γ2−ω02)t 一般解は と は一次独立な解である. x₁ = e(−γ+√γ2−ω02)t

x

2

= e

(−γ−

√

γ2_−ω02)t いずれも負 指数的に減衰

γ > ω

₀ : 抵抗力が強い場合

過減衰 γ = 5.0

v

t

x

x

ω0 = 1.0

x = Ae

(−γ+

√

γ2−ω02)t

+ Be

(−γ−

√

γ2_−ω02)t 一般解は

γ > ω

₀ : 抵抗力が強い場合

       の一般解 : 場合(2)

λ

2

+ 2γλ + ω

₀2

= 0

λ =

−γ ± iω

ω = !

ω₀2 _{− γ}2

x1 = e(−γ+iω)t = e−γteiωt = e−γt(cos ωt + i sin ωt) x2 = e(−γ−iω)t = e−γte−iωt = e−γt(cos ωt − i sin ωt)

と

が解.

の１次結合で独立な２つの実数値関数を作る.

x

₁

, x

₂

(x1 + x2)/2 = e−γt cos ωt (x1 − x2)/(2i) = e−γt sin ωt

x = e

−γt

(A cos ωt + B sin ωt)

一般解は d2x dt2 + 2γ dx dt + ω 2 0x = 0

0 < γ < ω

₀ : 抵抗力が弱い場合 減衰振動 対応する現象は実空間で起こっているため

(2) 減衰振動 γ = 0.05

v

t

x

x

ω0 = 1.0

x = e

−γt

(A cos ωt + B sin ωt)

一般解は 減衰振動

0 < γ < ω

₀ : 抵抗力が弱い場合

       の一般解 : 場合(3)

λ2 + 2γλ + γ2 = 0

_{λ =}

_−γ

重解！

x

₁

= e

−γt は解であるが, もう一つは？

x

₂

= te

−γt が解であることを確かめよ. Ex. 一般解は x = e−γt(A + Bt) d2x dt2 + 2γ dx dt + ω 2 0x = 0

γ = ω

₀ : 境目の場合 指数的に減衰

(3) 臨界減衰 γ = 1.0

v

t

x

x

ω0 = 1.0

γ = ω

₀ : 境目の場合 一般解は x = e−γt(A + Bt) 指数的に減衰

       の一般解(まとめ)

x = e−γt(A + Bt)

γ = 0

(1) (4)

γ > ω

₀

γ = ω

₀ (3)

0 < γ < ω

₀ (2)

x = A cos ω

₀

t + B sin ω

₀

t

x = e

−γt

(A cos ωt + B sin ωt)

ω = ! ω₀2 _{− γ}2 ただし

x = Ae

(−γ+

√

γ2−ω02)t

+ Be

(−γ−

√

γ2−ω02)t d2x dt2 + 2γ dx dt + ω 2 0x = 0

解の減衰の様子あれこれ

γ = 0

(1) 単振動 γ = 0.0

v

t

x

_t

x

ω0 = 1.0

0 < γ < ω

₀ (2) 減衰振動 γ = 0.05

v

t

x

x

ω0 = 1.0

解の減衰の様子あれこれ

γ = ω

₀ (3) 臨界減衰 γ = 1.0

v

t

x

x

ω0 = 1.0

γ > ω

₀ (4) 過減衰 γ = 5.0

v

t

x

x

ω0 = 1.0

減衰の速さ比べ

iω₀ −iω0 −ω0 0 λ

γ = ω

₀

γ > ω

₀ x = e−γt ! A cos " ω₀2 _{− γ}2_{t + B sin}"_ω2 0 − γ2t # x = Ae(−γ+√γ2−ω02)t + Be(−γ− √ γ2_−ω02)t x = e−γt(A + Bt)

0 ≤ γ < ω

0 特性方程式         Ex.         の２つの解の軌跡を複素平面上 にプロットしてみよ.         λ2 + 2γλ + ω₀2 = 0

ω

₀ を固定し をパラメータとして動かしたとき  

γ

       Ex.         最も早く減衰するのは, が どのような値をとったときか?       

γ

γ = ω

0 臨界減衰の場合！      

Exercises 1

以下の斉次線形微分方程式について一般解を求めよ. d2x dt2 + 3 dx dt + 2x = 0 d2x dt2 + 2 dx dt + 2x = 0 d2x dt2 + 2 dx dt + x = 0 d2x dt2 + 3 dx dt + x = 0 d2x dt2 + dx dt + x = 0 d2x dt2 + x = 0 (1) (2) (3) (4) (5) (6)

Exercises 2

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

x(0) =

_{−1, ˙x(0) = 3}

x(0) =

√

3, ˙x(0) = 1

x(0) = 1, ˙x(0) = 0

x(0) = 2, ˙x(0) =

₋₁

x(0) = 2, ˙x(0) =

−3

x(0) = 1, ˙x(0) = 0

前問の方程式を, 対応するそれぞれの初期条件の下で解け. すなわち，特解を求めよ。

釣鐘は動くか？

一休さん曰く, 「小指１本で釣鐘を動かし てごらんにいれましょう」 実生活の中で似たような 体験をしたことはないか？ Ex.         できるけれど タイミングが肝心！

強制振動

m

強制的な振動的外力

d

2

x

dt

2

+ 2γ

dx

dt

+ ω

2 0

x = A cos ωt

mA cos ωt

強制振動の角振動数 の値をいろいろ動かしたとき, バネ-ダンパ系の応答はどのようなものであるか？

ω

元の系は 減衰振動 を仮定

0 < γ < ω

₀ (A > 0, ω > 0) バネ - ダンパ系

Ex.     _{この方程式を満たす   を見つければ, その実部で} d2x dt2 + 2γ dx dt + ω 2 0x = A cos ωt ことを示せ.         ある   は の解である         

z(t)

x(t)

Ex.         虚部   が満たす方程式は？

y(t)

複素数値関数への拡張

両辺の実部をとればよい. 複素数値関数 の方程式    

z(t) = x(t) + iy(t)

     

d

2

z

dt

2

+ 2γ

dz

dt

+ ω

2 0

z = Ae

iωt を考える. d2y dt2 + 2γ dy dt + ω 2 0y = A sin ωt

特解

を探せ！

d

2

z

dt

2

+ 2γ

dz

dt

+ ω

2 0

z = Ae

iωt とにもかくにも１つ特解を見つけよう！         複素増幅率 (応答/入力)        よって特解を求めよ.        

Ex.        

z

_s

_{(t) = R(ω)Ae}

iωt ( : 複素数) とおくことに   R_(ω)      

{(ω

02

− ω

2

) + 2γωi}R(ω)Ae

iωt

= Ae

iωt

R(ω) = 1

(ω2

0 _{− ω}

2_{) + 2γωi}

2階斉次線形微分方程式の解

すべての個別の解は

一般解

2階斉次線形微分方程式の任意の２つの解の和や差も

同じ微分方程式の解である

上記の一般解に含まれる

2階

非斉次

線形微分方程式の

任意の２つの解の差

も

線形斉次微分方程式の一般解に含まれる

€

au

₁

_{+ bu}

₂

に含まれる

€

a

_k k = 0 K

∑

(t)

d

k

dt

k

≡ L

とおいて

非斉次線形微分方程式

もし 

が

_{ある非斉次線形微分方程式の解}

は対応する

斉次

線形微分方程式の解

€

⇒

€ ∴

proof

€

L(u) = f (t)

€

S

₁

€

S

₂

€

S

₁

_{− S}

₂

€

L(S

₁

) = f (t) L(S

₂

) = f (t)

€ L(S₁ − S₂) = L(S₁) − L(S₂) = f (t) − f (t) = 0

非斉次線形微分方程式の一般解の探し方

⃝どのような方法でも１つ特解を見つけ出す

⃝上で得られた特解に斉次線形微分方程式の

一般解を付け加える

2階

非斉次

線形微分方程式の任意の２つの解の差は

線形斉次微分方程式の一般解に含まれる

€

S

₁ 斉次微分方程式 の一般解のひとつ (= 特解)を足す

€

S

₂

€

S

₃ 斉次微分方程式 の一般解のひとつ (= 特解)を足す

‥‥

€

a

_k k = 0 K

∑

(t)

d

k

dt

k

≡ L

とおいて

€

L(u) = 0

斉次線形微分方程式

もし 

€ u₁

€

u

₂

が

_{ある斉次線形微分方程式の解}

€ αu1 + βu2 (∀α,β ∈ Z)

も解

€

⇒

€ L(u₁) = 0 L(u₂) = 0 €

L(αu₁ + βu₂) = αL(u₁) + βL(u₂)

また

€

L(

α

u

₁

+

β

u

₂

) =

α

L(u

₁

) +

β

L(u

₂

) = 0

€ ∴

proof

複素増幅率

を R0(ω) = 1 ! (ω2 0 − ω2)2 + 4γ2ω2 φ(ω) = Arg((ω₀2 _{− ω}2) + 2γωi) R−1 = R−1₀ eiφ Hint. R−1 = (ω2 0 − ω 2 ) + 2γωi φ(ω) 複素増幅率        極形式で表してみよう. R(ω) = 1 (ω2 0 − ω 2 ) + 2γωi

R

(ω) = R

₀

(ω)e

−iφ(ω)

R

(ω)

と を求めよ.         Ex.         このとき       としてよいのはなぜか？   0 < φ(ω) < π      

R

₀

(ω)

_φ

(ω)

特解と強制振動項の関係

A cos ωt xs(t)

t

d2x dt2 + 2γ dx dt + ω 2 0x = A cos ωt Ex.         元の方程式 R₀(ω), φ(ω) を用いて表せ. の特解   を

x

_s

(t)

振幅増幅率 位相遅れ

φ(ω)

R₀(ω)

x

_s

(t) = R

₀

(ω)A cos (ωt − φ(ω))

の実部をとって

z

_s

_{(t) = R}

₀

_(ω)Ae

i(ωt−φ(ω))

斉次方程式 vs. 非斉次方程式

d2x dt2 + 2γ dx dt + ω 2 0x = 0 d2x dt2 + 2γ dx dt + ω 2 0x = f (t) 非斉次線形微分方程式 斉次線形微分方程式 であることを示せ. Ex. (非斉次方程式の一般解)  = (非斉次方程式の特解) + (斉次方程式の一般解) 非斉次方程式の特解 と, 斉次方程式の任意の解 に対し は非斉次方程式の解になっている．逆に， 非斉次方程式の特解 と, 非斉次方程式の任意の解 に対し は斉次方程式の解になっている．

x

_s

_y

x = x

s

+ y

x

_s

x

y = x − x

s

特解と一般解

d2x dt2 + 2γ dx dt + ω 2 0x = A cos ωt Ex.         の一般解を求めよ.   (非斉次方程式の一般解) =      (非斉次方程式の特解) + (斉次方程式の一般解) 初期値が何であれ，斉次方程式の解 は時間が 経てば指数的に減衰して消えてしまう.

x

_s

(t)

+

x(t) =

e−γt ! B cos " ω₀2 _{− γ}2_{t + C sin} " ω₀2 _{− γ}2_t #

x

s

(t) = R

0

(ω)A cos (ωt − φ(ω))

係数 は初期値によって決まる．B, C

定常応答と過渡応答

のすべての解は d2x dt2 + 2γ dx dt + ω 2 0x = A cos ωt という正弦的振動に収束する. x_s(t) = R₀(ω)A cos (ωt − φ(ω))

γ > 0

である限り, ある程度時間が経てば 定常応答 過渡応答 初期値の影響が 残っている段階 初期値の影響が 消滅した段階 入力:_{A cos ωt} 特解:xs(t) 解:x(t)

共鳴（共振）

   が    で最大値を持つための条件を求め, その条件が満たされるとき,    の最大値を与え る と最大値 を求めよ. R₀(ω)

_{ω > 0}

R₀(ω)

¯ω

R0(¯ω) Ex. Ex. _ω0 = 1, γ = 0.1 _{のとき, と   を概算で求めよ.}

¯ω

_R0(¯ω)  が に近い値をとり, 振幅増幅率がピーク値に 近くなることを共鳴または共振という.

ω

¯ω

¯ω = !ω₀2 _{− 2γ}2 γ < ω0/ √ 2 R0(¯ω) = 1 2γ!ω₀2 _{− γ}2 のとき R0(¯ω) = 1 2 × 0.1 × √1 − 0.01 = 5 ¯ω = √_{1 − 0.02 = 1 − 0.01 = 0.99}

vs. 複素増幅率

ω

0 0

π

R

₀

(ω)

振幅拡大率

φ(ω)

位相遅れ

ω

R(ω)

共鳴点(共振点)

タコマ橋の崩落

1940年11月7日, ワシントン州, タコマ橋

風の作る渦による振動的な力に共鳴を起こし崩落 (当時 19m/s の風が吹いていた)

Exercise

¨

x

_{+ ˙}

x

_{+ x = cos t}

(1) 定常応答を求めよ. (2) 初期値 を満たす解を求めよ.

_x

_{(0) = 2, ˙x(0) = 0}

z

_s

(t) = Re

it

_{iR = 1}

_{R = −i}

z

_s

(t) = −ie

it

= −i(cos t + i sin t) = sin t − i cos t

x_s(t) = Re z_s(t) = sin t x(t) = sin t + 2e−t/2 cos √3 2 t

¨

z

+ ˙

z

+ z = e

it (1) と置く． (2) x_{(t) = sin t + e}−t/2(A cos √3 2 t + B sin √3 2 t) と置く．