数学 II 改訂版プリント # 10
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■ 解と係数の関係
x2+ x+ = 0 の2つの解を ○,△ とすると
○+△= − ○×△=
例1 ⑴ x2+ 2x+ 3 = 0の2つの解の和と積を求めなさい。
2つの解を ○,△ とすると
○+△=− =− 2
1 =−2になり、 ○×△= = 3
1 = 3になる。
和（たし算）−2， 積（かけ算）3
⑵ 3x2+ 4x+ 7 = 0の2つの解を ○,△ とすると
○+△=− 4
3 になり、 ○×△= 7
3 になる。
和−4
3， 積 7 3
⑶ 4x2−6x−3 = 0の2つの解を α,β とすると α+β=− −6
4 = 6 4 = 3
2 になり、 αβ= −3
4 になる。
和 3
2， 積
−3 4 次の2次方程式の2つの解の和と積を求めなさい。
⑴ x2+ 7x+ 6 = 0 ⑵ x2−3x+ 5 = 0
⑶ x2−5x−6 = 0 ⑷ 9x2−6x+ 1 = 0
⑸ 2x2+ 3x−5 = 0 ⑹ 3x2−2x−1 = 0
改訂版プリント
#10
− 1 15 4 76 9
例2 x2+ 2x−5 = 0の2つの解を α,β とするとき次の値を求めなさい。
⑴ α2β+αβ2 ⑵ 1 α + 1
β ⑶ α2+β2 解答 解と係数の関係から次のことが分かることを利用する。
α+β=− =− 2
1 =−2となり、 αβ= = −5
1 =−5となる。
⑴ α2β+αβ2=αβ(α+β) =−5×(−2) = 10
⑵ 1 α + 1
β = β
αβ + α
αβ = β+α αβ = −2
−5 = 2 5
⑶ α2+β2= (α+β)2−2αβ= (−2)2−2×(−5) = 4 + 10 = 14
x2−7x+ 3 = 0の2つの解を α,β とするとき次の値を求めなさい。
⑴ α2β+αβ2 ⑵ 1 α+ 1
β
⑶ α2+β2
3x2−2x−4 = 0の2つの解を α,β とするとき次の値を求めなさい。
⑴ α2β+αβ2 ⑵ 1 α+ 1
β
⑶ α2+β2
例3 2x2−3x−1 = 0の2つの解を α,β とするとき，α2+β2の値を求めなさい。
考え方 解の公式を使えば2つの解はx= 3±√ 17
4 と計算できるが (
3 +√ 17 4
)2
+ (
3−√ 17 4
)2
を計算するのは結構面倒である。
でも α2+β2= (α+β)2−2αβ なので，解と係数の関係を使うと計算が楽になる。
解 2x2−3x−1 = 0だから = 2, =−3, =−1である。
解と係数の関係より
α+β=− =− −3 2 = 3
2， αβ= = −1
2 となる。
よって
α2+β2= (α+β)2−2αβ
= (3
2 )2
−2× −1 2
= 9
4 + 1 = 9
4 + 4
4 = 13
4
2x2+ 4x+ 3 = 0の2つの解を α,β とするとき，α2+β2の値を求めなさい。
2x2−x+ 4 = 0の2つの解を α,β とするとき，α2+β2の値を求めなさい。
3x2−2x−12 = 0の2つの解を α,β とするとき，α2+β2の値を求めなさい。
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#10
− ⑴和
，積 7
⑵和 6
，積 3
⑶和 5
，積 5
−
⑷和 6 2
，積 3 1
⑸和 9
3 −
，積 2
5 −
⑹和 2 2
，積 3
1 −
⑴ 3
⑵ 21 7
⑶ 3
⑴ 43
8 −
⑵ 9
1 −
⑶ 2 28 9
