誤差があるため、確率偏微分方程式を扱うことができません。ここで HJM モデルに戻ります。上で述べたように、(0,2) はヒルベルト空間の確率微分方程式として扱うことができます。ムシエラ以降、理論はこの方向に発展しました。
確率論
確率空間と期待値
さらに、収束を次の意味でも定義します。 νnが弱くνに収束するときは、νn→νweakと表される。
マルチンゲールと Wiener 過程
確率空間 (Ω, F, P) {Ft}t≥0 の場合、フィルターと呼ばれます。 (Ω,F,P,{Ft}t≥0) は、フィルターされた確率空間とも呼ばれます。
R d - 値確率変数に対する確率解析
確率積分
になります。この場合、ξ∈ M2T(R) の場合、ジェンセンの不等式より ξ2 は非負の連続下位マルチンゲールになります。さらに、次のような分解が可能であることがわかります。ただし、M = {Mt}t∈[0,T] は連続マーチンゲールであり、A = {At}t∈[0,T] は A0= 0 の {Ft} 互換の連続増加過程です。この分解により、ξ の二次変分 hhξii を一意に決定できます。
基本的な道具
Wt} は値 Rd を持つウィーナー過程です。 T≧0を任意に設定します。さらに、λ∈L2(P,Rd) は、{Ft}t≥0 の (Ω,F,Q) に関する Rd 値のウィーナー過程です。ただし、Q は以下を満たす。
確率微分方程式
1.4) で係数に制約を追加することにより、SDE 解はマルコフ特性を持ちます。つまり、R 値の確率過程 {ξt}t≥0 が次の SDE を満たすと仮定します。
Bochner 積分
Wiener 過程
次に、Wiener G 値プロセスを定義します。その間に、。このことから、Wt {Ft}- は共分散演算子 Q を使用した Winer プロセスであることがわかります。
確率積分
したがって、確率積分は、CONS がどのように取られるかに関係なく決定されます。確率積分 Mt(Φ) には次の性質があります。
基本的な道具
まず It^io の公式を示したいと思います。この目的のために、1 つの補題を与えます。この事実を利用して、It^io の公式を示します。
確率偏微分方程式
示す必要があるのは、∀ψ∈G hψ,WftiG について、Q 上のウィナー過程であるということです。0||ψ+λs||2Gds であるため、これは P 上のマルチンゲールです。したがって、それが示されました。
Malliavin 解析
- Itˆo-Wiener カオス分解
- Malliavin 微分
- 連鎖律
- 微分作用素 D t と Clark-Ocone Formula
- mild solution と Malliavin 微分
POL(F) に対して定義されたマリアビン微分 D は、L2(F,P;F) 上の閉じた演算子です。 D∗ についてコメントしてみましょう。 D∗ は D の共役演算子であるため、 .
HJM Model
記号の導入
債券価格過程の算出
無裁定債券価格と期間構造
0λ(s)ds が Rd 値のウィーナー過程であるような確率測度 Q が存在します。このような Q は、リスク中立確率尺度と呼ばれます。次に、(3.13) と (3.14) から、Q は固有の等価マーチンゲール測度です。
スポットレートモデル
Vasicek モデル
実際のスポットレートの動きを見てみると、平均的なβレベルが存在し、スポットレートはこのレベルを中心にβレベルに戻る形で推移していることがわかります。この特性は平均回帰と呼ばれ、この平均回帰を備えた単純なモデルは Vasick モデル [34] であり、次の式で与えられます。これらは、回帰率、平均回帰率、ボラティリティと呼ばれる正の定数です。
Cox-Ingersoll-Ross モデル
Hull-White モデル
3.51）。つまり、このモデルはβtを適切に定めることにより、任意の項構造の曲線を表現することができる。ただし、現在観察されている利回り曲線と一致するはずです。この目的のために、次のステートメント 3.51) を使用して、観察された初期収量曲線と一致するような βt の条件を与えます。ここで、f(0, t) は初期順曲線です。
Musiela の記号
仮定4.1より。スポット レート rt = ft(0) = δ0(ft) は明確に定義されています。スポット レートが定義されると、通常の数学的な金融議論と同様に、リスクのない預金を計算できます。スポット レートが ft(0) で定義されるのと同様に、ロング レートは χ の右端の値になります。として指定します。つまり、χ= [0, xmax] の場合は lt=ft(xmax)、χ=R+ の場合は lt=ft(∞) となります。
抽象 HJM モデル
ドリフト条件と無裁定
0λsds が (Ω,F,Q) 上の G についての柱状ウィーナー過程であるような、P と同等のマルチンゲール測度 Q が存在します。この場合、 、仮定から Q 上の Pe(t, T) は {Ft}t≥0 のマーチンゲールになります。したがって、定理 3.5 より、裁定なし戦略が存在します。だからこそ示されたのです。
ロングレート
ロングレートが本当に上がるモデルもあります。 1 因子 HJM モデルでは、σ(x) =σ0(x+ 1)−12 となります。ただし、σ0 は正の定数です。この場合、最後に有界収束定理を使用しました。以上より、lt=l0+2σ0tとなり、確かに増加しています。
F の具体的な例
なるしたがって ||δx||Hω∗ ≤C であり、δx は Hω 上で連続です。また、Ixについてもδxと同様に次のようにすることができます。
抽象 HJM モデルに従う場合の債券ポートフォリオのヘッジ戦略
債券価格のモデル
初期条件 Pe0∈F を固定します。この場合、割引債券価格は Pet=StPe0+ となります。割引債券価格がプラスになるための十分条件は次のとおりです。
取引戦略
満たすため。この場合、ある定数 X0 ∈R が存在する場合、戦略 {φt}t≥0 は自己資金調達になります。任意の戦略 {φt}t≥0 について、ϕt=φt+ψtBtδ0 とします。この場合、{ϕt}t≥0 は自己資金で賄われます。ただし、ψｔ＝Ｘ０＋Ｒｔである。
ヘッジ戦略の一意性
債券オプションに対するヘッジ戦略
まず、Yt,T が、任意の x≥0 に対して Tx+T⊥ −t から Tx⊥ までの強力なランダム演算子であることを示します。ここで、{Yt,T}T≧tが成り立ちます。これから、m ≥ n、f ∈F の場合、ミンコフスキーの不等式により、 です。
問題設定
この章全体を通じて、特に明記されていない限り、(Ω,F,P) を完全な確率空間、{Wt} を d 次元の標準ウィーナー過程、{Ft} をウィーナー過程と右連続 F0 から構成されるフィルター処理とします。 F のすべての P ヌル集合が含まれます。また、F =F∞:=∨t∈R+Ft とします。また、Musiela のシンボルが踏襲されていると想定されます。つまり、現時点を t、満期を T とすると、現時点から満期までの時間は x = T − t、債券価格は Pt(x) :=P(t, t+x)、先物価格は ft(x) :=f(t, t+x) (t, x≥0) とします。
状態空間に対する仮定
定義 4.12 に従って、Hω を定義できます。仮定 5.4.1 は 4.13 にもなり、定理 4.15 から仮定 5.4.4 と合わせて適用されます。したがって、あとは条件 5.4.3 が満たされるかどうかを検討するだけです。
ガウス・マルコフ HJM モデルに対する不変測度
X を分離可能なバナハ空間とする。次に、(X,B(X)) 上の測定 µ に次のことが適用されます。H を割り切れるヒルベルト空間とします。 κ;H →C を (H,B(H)) の確率測度 ν の特性関数とします。現在、。
