債券オプションに対するヘッジ戦略

この節ではヨーロピアン債券オプション，すなわち満了日T >0に対して，T < T₁<· · ·< T_n の満期を持つ債券で作られるオプションに対するヘッジ戦略を考える。ここでオプションとは，将 来の一定期間内に約束した金額で証券を売ったり買ったりする権利のことで，“買う権利”のこと をコールオプション，“売る権利”のことをプットオプションという。このオプションのペイオフ をξとすると，これは関数g:Rⁿ→Rを使って，

ξ = g(P(T, T₁),· · · , P(T, T_n))

= g(P_T(T₁−T),· · ·, P_T(T_n−T)) で与えられる。また，ξe= _B^ξ

T とすると，

ξe=Pe_T(0)g

ÃPe_T(T₁−T)

Pe_T(0) ,· · · ,Pe_T(T₁−T) Pe_T(0)

!

=:g(ePe_T) と書ける。ただし，eg:F →Rを割引ペイオフ関数といい，次で定義する。

e

g(f) =f(0)g

µf(T₁−T)

f(0) ,· · ·,f(T_n−T) f(0)

¶

このegについて，次の仮定を付け加えておく。

Assumption 4.21. 条件付請求権は満了日Tのヨーロピアン型で，ξe=eg(Pe_T)で与えられる割引 ペイオフ関数を持つ。また，ペイオフ関数eg(Pe_T) :F →RはLipschitz条件を持つ。すなわち，

|eg(f₁)−eg(f₂)| ≤ ||f₁−f₂||_F (f₁, f₂ ∈F, Cは正定数) 実はこの仮定はg:Rⁿ→RがLipschitz条件を持つことから出てくる。

Proposition 4.22. g:Rⁿ→RはLipschitz条件を持つとする。すなわち，

|g(x₁)−g(x₂)| ≤C||x₁−x₂||_Rⁿ (x₁, x₂ ∈Rⁿ, Cは正定数)

また，T >0を固定し，T < T₁ < · · · < T_nをとってくる。このときf ∈ F, f(0) > 0に対して e

g:F →Rを

e

g(f) =f(0)g

µf(T₁−T)

f(0) ,· · ·,f(T_n−T) f(0)

¶

で定義するとegはLipschitz条件を満たす。すなわち，

|g(x₁)−g(x₂)| ≤C⁰||x₁−x₂||_Rⁿ (x₁, x₂ ∈Rⁿ, C⁰は正定数) Proof. x_j =

³fj(T1−T)

fj(0) ,· · · ,^fj(T_f^n−T)

j(0)

´

(j= 1,2)とする。

このとき,

|eg(f₁)−eg(f₂)| = |f(0)g(x₁)−f₂(0)g(x₂)|

≤ C|g(xe ₁)−g(x₂)|

≤ CC||xe ₁−x₂||_Rⁿ

= CCe



 Xn j=1

¯¯

¯¯f₁(T_j−T)

f₁(0) −f₂(T_j) f₂(0)

¯¯

¯¯

2





≤ Cnˆ ¹² sup

1≤j≤n|f₁(T_j −T)−f₂(T_j−T)|

≤ C⁰||f₁−f₂||_F

この仮定は経済学的に無理がある仮定ではないことを確認するために，次のような例を考える。

Example 4.23. 満期T₁(> T)の債券によるヨーロピアンコールオプションを考える。すなわち，

満期T₁の債券を時刻T で価格Kで買うことができるという契約である。

このときペイオフgは，f(0)>0に注意すると，

e

g(f) =f(0)

µf(T₁−T) f(0) −K

¶

+

= (f(T₁−T)−Kf(0))₊= (δ_T1−T(f)−Kδ₀(f))₊

となり，これはδ₀ とδ_T1−T が有界であることから，egはLipschitz条件を持つ。ただし，x₊ = max{x,0}である。実際，x, y∈Rと正定数K, K⁰ >0に対して，

(x−K)₊−(y−K⁰)₊≤(x−y−(K−K⁰))₊ となることに注意すると，f₁, f₂ ∈F に対して，

|eg(f₁)−eg(f₂)| = |(δ_T1−T(f)−Kδ₀(f))₊−(δ_T1−T(f)−Kδ₀(f))₊|

≤ |((δ_T1−T(f₁−f₂))−Kδ₀(f₁−f₂))₊|

≤ |(δ_T1−T(f₁−f₂))−Kδ₀(f₁−f₂)|

= (||δ_T1−T||_F^∗+K||δ₀||_F^∗)||f₁−f₂||_F

≤ C||f₁−f₂||_F この先，次のマルコフ性を仮定しておく。

Assumption 4.24. 割引債価格はσ(t, ω, f) = ¯σ(t, f) (¯σ :R₊×F → L₍₂₎(G;F))を満たすとす る。つまり，ランダム性はf ∈Fのみに依存してする。また，σ¯はfに関して，F上でFrech´et微分 可能だとする。以下，簡単のためにσ = ¯σと書きなおし，また，∀f ∈Fに対して連続でLipschitz 条件を持つとする。

Theorem2.50から，Lipschitz条件を持つSPDEのmild solutionはMalliavin微分可能である。

とくにPe_T ∈H(F)で，さらに強ランダム作用素{Y_t,T :F →F}_t∈[0,T]が存在して，割引債価格は D_tPe_T =Y_t,Tσ(t,Pe_t)

となり，仮定からegがLipschitz条件を持つので，連鎖律(Proposition2.43)より，

D_teg(Pe_T) =∇eg(Pe_T)D_tPe_T となる。よって，Clark-Ocone Formula(Theorem2.47)より

e

g(Pe_T) = E[eg(Pe_T)] + Z _T

0

E[D_teg(Pe_T)F_t]dW_t

= E[eg(Pe_T)] + Z _T

0

σ(t,Pe_t)^∗E[Y_t,T^∗ ∇eg(Pe_T)|F_t]dW_t (4.16) と書き直せる。このことは以下の望ましい結果を導く。

Proposition 4.25. 各t∈[0, T]に対して，ϕ_t=φ_t+ψ_tB_tδ₀とする。ただし，φ_t= E[Y_t,T^∗ ∇eg(Pe_T)|F_t]， ψ_t= E[eg(Pe_T)|F_t]− hφ_t,Pe_ti_F であり，{Y_s,t}_0≤s≤tは方程式

dY_s,t=AY_s,tdt+∇σ(t,Pe_t)Y_s,t·dW_t (4.17) の(F からF への)強ランダム作用素としての解である。ただし，Y_s,s=I (s≥0)とする。この とき，{ϕ_t}_t≥0はξを複製するself-financingな戦略である。

Proof. ψ_tに(4.16)を代入すると

ψ_t= E[eg(Pe_T)] + Z _t

0

σ(s,Pe_s)^∗φ_sdW_s− hφ_t,Pe_ti_F

となり，X₀ = E[eg(Pe_T)]とすれば，Proposition4.19より，あとはφ_t ∈ F^∗であることを示せば よい。

||φ_t||_F^∗ = sup

||f||F≤1

E[h∇eg(Pe_T), Y_t,Tfi_F|F_t]

≤ sup

||f||F≤1

E[h∇eg(Pe_T), Y_t,Tfi²_F|F_t]¹²

≤ sup

||f||F≤1

E[||∇eg(Pe_T)||²_F||Y_t,Tf||²_F|||F_t]¹²

≤

Lipschitz C sup

||f||F≤1

E[||Y_t,Tf||²_F|F_t]¹² となる。ここでf ∈Fに対して，

Y_t,Tf =S_T−tf + Z _T

0

S_T−u∇σ(u,Pe_u)Y_t,uf dW_u である。(a+b)² ≤2(a²+b²)なので，

||Y_t,Tf||²_F ≤2||S_T−tf||²_F + 2

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯ Z _T

0

S_T−t∇σ(u,Pe_u)Y_t,uf dW_u

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

2 F

となり，これから，

sup

||f||F≤1

E[||Y_t,Tf||²_F|F_t]≤ sup

||f||F≤1

E[2||S_T−tf||²_F|F_t]+ sup

||f||F≤1

E

"

2

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯ Z _T

0

S_T−t∇σ(u,Pe_u)Y_t,uf dW_u

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

2 F

¯¯F_t

#

(4.18) となる。ここで，M := sup_t∈[0,T]||S_t|| < ∞であり，||∇σ(t,Pe_t)||_F ≤ C である。また，β_u :=

S_T−u∇σ(u,Pe_u)Y_t,uf とすると，A∈ F_tに対して，

E

"¯

¯¯

¯

¯¯

¯¯ Z _T

0

β_udW_u

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

2 F

1_A

#

= E

"¯

¯¯

¯

¯¯

¯¯ Z _T

0

β_u1_AdW_u

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

2 F

#

= E

·Z _T

0

||β_u1_A||²_Fdu

¸

= E

·Z _T

0

||β_u||²_Fdu1_A

¸

よって，

E

"¯

¯¯

¯

¯¯

¯¯ Z _T

0

β_udW_u

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

2 F

¯¯

¯F_t

#

= E

·Z _T

0

||β_u||²_Fdu

¯¯

¯F_t

¸

ゆえに，(4.18)は sup

||f||F≤1

E[||Y_t,Tf||²_F|F_t] ≤ 2M²+ 2 sup

||f||F≤1

E

·Z _T

0

||β_u||²_Fdu|F_t

¸

≤ 2M²+ 2M²C² Z _T

0

sup

||f||F≤1

E[||Y_t,uf||_F|F_t]du 以上からGronwallの不等式より，

sup

||f||F≤1

E[||Y_t,Tf||_F|F_t]≤2M²e^2M2C2T <∞ よって，φ_tはt∈[0, T]で一様に有界となる。つまり，φ_t∈F^∗である。

時点Tで満了日となる条件付請求権に対して，この請求権を作る債券の満期の中で最長のもの をT_max(> T)とする。また，x_max=T_max−T とする。

以下のTheoremでは無限個のファクターによるHJMモデルの場合に適当な仮定の下で，この

請求権に対するヘッジ戦略の中の債券の満期はT_maxと同じかそれよりも小さいことを示す。この 直観的な結果は下の局所Lipschitz なHJMモデル

df_t= (Af_t+F_HJM◦τ(t, f_t))dt+τ(t, f_t)dW_t

に影響する。ただし，任意のx≥0に対して，ボラティリティ関数は決定論的な関数κ:R×R→G により，

τ(·, f)δ_x =κ(x, f(x)) とする。この式から，割引債価格モデルはTheorem4.7より，

Pe(t, T) = Pe(0, T)− Z _t

0

P(s, T)τe (s, f_s)^∗I_T−sdW_s Pe_t(T−t) = Pe₀(T)−

Z _t

0

Pe_s(T −s)τ(s, f_s)^∗I_T−sdW_s Pe_t(x) = S_tPe₀(x)−

Z _t

0

S_t−s(Pe_s(x))τ(s, f_s)^∗I_xdW_s (x=T−t) 最後の式をmild solutionとして持つSPDEは

dPe_t=Adt+ (−Pe_tτ(t, f_t)^∗I_·)dW_t

となる。よって，このモデルのボラティリティ関数σ(·,·) :R×F → L₍₂₎(G;F)をτ を使って表 すと，任意のt≥0に対して

σ(t,Pe_t)^∗δ_x = −Pe_t(x) Z _x

0

τ(t, f_t)^∗δ_sds

= −Pe_t(x) Z _x

0

κ(s, f_t(s))ds

(4.11)= −Pe_t(x) Z _x

0

κ µ

s,− ∂

∂slogPe_t(s)

¶ ds となる。以上から次のことを示す。

Theorem 4.26. 次を仮定する。

1. 定数x_max ≥ 0が存在して，割引ペイオフ関数eg(·) : F → R は∀x ∈ [0, x_max]に対して，

f₁(x) =f₂(x)となるとき，常にeg(f₁) =eg(f₂) を満たす。

2. ボラティリティ関数σ(·,·) :R×F → L₍₂₎(G;F)は∀t≥0,∀x≥0に対して，∀y∈[0, x]で f₁(y) =f₂(y)となるとき，常にσ(t, f₁)^∗δ_x =σ(t, f₂)^∗δ_xを満たす。

3. ∀f ∈F,∀t≥0に対して，ker(σ(t, f)^∗) = span{δ₀}となる。

このとき，戦略φ_t= E[Y_t,T^∗ ∇eg(Pe_T)|F_t]によって与えられる戦略ϕ_t=φ_t+ψ_tB_tδ₀は唯一つの self-financingな戦略であり，

supp{ϕ_t} ⊂[0, x_max+T−t] a.s. (∀t≥0) (4.19) となる。

Proof. Proposition4.25から，ϕ_tはself-financingな戦略であり，Assumption3とProposition4.20 からこれが一意であると分かる。よって，あとは(4.19)を示せばよい。F^∗の閉部分空間として，

T_x={µ∈F^∗|supp{µ} ⊂[0, x]} ⊂F^∗ を取ってくる。このとき直交成分はFの閉部分空間で，

T_x^⊥={f ∈F|f(s) = 0 for alls∈[0, x]} ⊂F となる。このとき，T_x^⊥⊥=T_xである。

Step1.

まず，Y_t,Tが各x≥0に対して，T_x+T^⊥ _−tからT_x^⊥への強ランダム作用素であることを示す。こ こで，{Y_t,T}_T≥tは

Y_t,T =S_T−t+ Z _T

0

S_T−u∇σ(u,Pe_u)Y_t,u·dW_u を満たしている。

Step1.1.

∇σ(t,Pe_t)がT_x^⊥をL₍₂₎(G;T_x^⊥) へ写すことを示す。

s≥t, x≥0とする。f₁, f₂ ∈F, y≤xに対して，[0, y]上でf₁ =f₂のとき，仮定より，

σ(t, f₁)^∗δ_y =σ(t, f₂)^∗δ_y g∈Gをとってくると，(σ(t, f₁)g)(y) = (σ(t, f₂)g)(y)である。

∀ε >0, k∈ T_x^⊥を取ってきて，f₂ :=f₁+εkとすると，[0, x]上でf₁ =f₂となる。仮定より (σ(t, f₁)g)(y) = (σ(t, f₁+εk)g)(y) (∀y∈[0, x])

これより， µ

σ(t, f₁+εk)−σ(t, f₁)

ε g

¶

(y) = 0

ε&0とすると，(∇σ(t, f₁)g)[k](y) = 0 (y∈[0, x])となる。よって，示せた。

Step.1.2.

t∈[0, T]を固定しておく。このとき，s≥tに対して，{Y_t,s⁽ⁿ⁾}がT_x+s−t^⊥ からT_x^⊥への強ランダ ム作用素であることを示す。

まず，Picardの逐次近似法に従って，{Y_t,s}_n∈Nを次で定義する。

Y_t,s⁽⁰⁾ = S_s−t Y_t,s⁽ⁿ⁺¹⁾ = S_s−t+

Z _s

0

S_s−u∇σ(u,Pe_u)Y_t,u⁽ⁿ⁾·dW_u

とする。帰納法を用いて示す。明らかにY_t,s⁽⁰⁾は各x ≤0でT_x+s−t^⊥ をT_x^⊥に写す。今，Y_t,s⁽ⁿ⁾は各 x≥0でT_x+s−t^⊥ をT_x^⊥に写すと仮定して，Y_t,s⁽ⁿ⁺¹⁾について示す。

f ∈ T_x^⊥に対して，Y_t,s⁽ⁿ⁾f ∈ T_x^⊥であり，S_t−u∇σ(u,Pe_u)f ∈ L₍₂₎(G;T_x^⊥)である。また，S_t−sf ∈ T_x^⊥であるので，Y_t,s⁽ⁿ⁺¹⁾はT_x+s−t^⊥ をT_x+s−t^⊥ へ写す作用素である。

Step.1.3.

Y_t,s⁽ⁿ⁾がY_t,sにP-a.s.で収束することを示す。p >2とする。

f ∈Fに対して，

E

"

sup

t≤s≤T

||(Y_t,s⁽ⁿ⁺¹⁾−Y_t,s⁽ⁿ⁾)f||^p_F

#

= E

"

sup

t≤s≤T

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯ Z _s

0

S_s−t∇σ(u,Pe_u)(Y_t,s⁽ⁿ⁾−Y_t,s⁽ⁿ⁻¹⁾)f dW_u

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

ｐ F

#

≤

Prop.2.24

Ce Z _s

0

sup

t≤s≤T

E[||(Y_t,s⁽ⁿ⁾−Y_t,s⁽ⁿ⁻¹⁾)f||^p_F]du

≤ Ce Z _s

0

E

· sup

t≤u≤s||(Y_t,s⁽ⁿ⁾−Y_t,s⁽ⁿ⁻¹⁾)f||^p_F

¸ du

· · ·

≤ Ce^p(n+1)

n! (s−t)ⁿ⁺¹||f||^p_F

となる。このことから，m≥n, f ∈Fに対して，Minkowskiの不等式より，

µ E

· sup

t≤u≤s

||(Y_t,s^(m)−Y_t,s⁽ⁿ⁾)f||^p_F

¸¶¹

p ≤

m−1X

k=n

µ E

· sup

t≤u≤s

||(Y_t,s^(k)−Y_t,s^(k−1))f||^p_F

¸¶¹

p

≤

m−1X

k=n

√1

k!Ce^k+1(s−t)^k+1p ||f||

1 p

F

→ 0 (m, n→0)

となる。よって, Cauchy列が収束するので，L^p(F,P;L(F;F))の意味で，極限{Y_t,s}が存在して，

E

· sup

t≤u≤s||(Y_t,s⁽ⁿ⁺¹⁾−Y_t,s)f||^p_F

¸

→0 (n→ ∞) 定義より，

Y_t,sⁿ⁺¹f =S_s−tf+ Z _T

0

S_s−u∇σ(u,Pe_u)Y_t,uⁿf dW_u であるから，n→ ∞で，

Y_t,sf =S_t−sf+ Z _T

0

S_s−u∇σ(u,Pe_u)Y_t,uf dW_u

となる。

以上から，Y_t,s⁽ⁿ⁾ →Y_t,s a.s.で，またY_t,T は各x≥0に対して，T_x+T^⊥ _−tからT_x^⊥への強ランダ ム作用素である。

Step.2.

(4.19)を示す。

Step.2.1.

まず，∇eg(Pe_T)がT_xmax に値をとることを示す。

f₁ ∈F に対して，∀ε >0, k∈ T_x^⊥_max ⊂F を取ってきて，f₂ =f₁+εkとする。∀x ∈[0, x_max] に対して，f₁=f₂。よって，Assumption１よりeg(f₁) =eg(f₁+εk)であり，

e

g(f₁+εk)−eg(f₁)

ε = 0

となる。よって，ε&0，とすれば，h∇f₁, ki_F = 0。よって，∇eg(Pe_t)はT_xmax に値を取る。

Step.2.2.

φ_t∈ T_xmax+T−tを示す。

任意のf ∈ T_x^⊥_max+T−tに対して，Step.1.より，Y_t,Tf ∈ T_x^⊥_max である。よって，Step.2.1.より，

h∇eg(Pe_T), Y_t,Tfi_F = 0となる。特に，

E[h∇eg(Pe_T), Y_t,Tfi_F|F_t] = 0 である。ゆえに，φ_t∈ T_xmax+T−tである。

また，∀s >0に対して，f ∈ T_s^⊥ならば，hB_tψ_tδ₀, fi_F =B_tψ_tf(0) = 0となるので，

ϕ_t=φ_t+B_tψ_tδ₀ ∈ T_xmax+T−t となる。よって，示せた。

5 特別な場合のモデル

第4章では主に一般のHJMモデルに対する性質に対して考察した。この章では第4章でも後半 で述べたが，ドリフト係数とボラティリティがマルコフの場合やそれ以上に制限を加えた場合に ついて考察する。

この章を通じて，特に断らない限り，(Ω,F,P)を完備確率空間とし，{W_t}をd次元の標準Wiener 過程，{F_t}をWiener過程からなるフィルトレーションとし,右連続でF₀はFのP-零集合をすべ て含むと仮定する。また，F =F_∞:=∨_t∈R+F_tとする。また，Musielaの記号に従うとする。す なわち,現時点をt，満期をTとしたとき，現時点から満期までの時間をx=T −tとし，債券価 格をP_t(x) :=P(t, t+x)，フォワードレートをf_t(x) :=f(t, t+x) (t, x≥0)とする。

5.1 マルコフモデル

ドキュメント内 修 士 論 文 無限次元確率解析 と その金利モデルへの応用 (ページ 85-92)