HJM Model

τ >0ですべての債券の満期がT < τ とする。

Definition 3.6. 満期T，額面1のゼロクーポン債の時点tでの価格をP(t, T) (∀t∈[0, T])とし，

時点tでのフォワードレートf(t, T)を

f(t, T) =−∂logP(t, T)

∂T (0≤t≤T) (3.4)

とする。また，時点tでのイールド(最終利回り)Y(t, T)を Y(t, T) =−logP(t, T)

T−t (0≤t≤T) (3.5)

とする。さらに(3.4)と(3.5)より，

P(t, T) = exp µ

− Z _T

t

f(t, s)ds

¶

(3.6) Y(t, T) =

R_T

t f(t, u)du

T −t (3.7)

となる。また，時点tでのスポットレートを下記のように定義する。

r(t) =f(t, t) (3.8)

Remark 3.7. ゼロクーポン債とは期中にクーポン支払が無い債券である。またこの修士論文内

では信用リスクが無い，即ち債務不履行とならない債券のみを考える。一方，フォワードレート f(t, T)は時点tにおけるT での瞬間的な利子率を表しており，一方スポットレートr(t)は現時点 tでの瞬間的な利子率，イールドは時点tから満期Tまでの平均利子率を表している。

また，P(t, T)をtを止めるごとにT の関数として見たものを時点tにおけるP(t, T)の期間構 造といい，特にP(t, T)の時は割引関数という。同様にY(t, T)の時点tでの期間構造をイールド カーブといい，f(t, T)の時点tでの期間構造をフォワードカーブという。

一般に満期が遠いほうが不確実性が増すため，イールドカーブは「右上がり」になる。しかし，

現在の金利が高く将来的に金利が下がると予想される場合，イールドカーブは逆転し，「右下がり」

となる。このようなイールドカーブを逆イールドカーブというときもある。

Definition 3.8 (HJM). 任意にT ∈[0, τ]を固定しておく。このとき，f(t, T)は次を満たすと する。

df(t, T) =α(t, T)dt+ Xd n=1

σ_n(t, T)dW_t⁽ⁿ⁾,(0≤t≤T) (3.9) ただし，上の式は次のような意味である。

1. f(0, T) =f₀(T)は決定論的な関数で，以下固定しておく。

2. α :{(t, s); 0≤t≤s≤T} ×Ω→RはB{(t, s); 0≤t≤s≤T} × F -可測で，F_t-適合であ る。また，R_T

0 |α(t, T)|dt <∞(a.e.)とする。

3. σ_n∈ L² (1≤n≤d)とする。

(3.8),(3.9)より，

dr(t) =α(t, t)dt+ Xd n=1

σ_n(t, t)dW_t⁽ⁿ⁾,(0≤t≤T) (3.10) また，無リスク預金をB_t= exp(R_t

0 r(y)dy) (∀t∈[0, τ])とする。このとき，0< B_t<∞である。

これは次を仮定することで保障される。

Assumption 3.9. R_τ

0 |f(0, v)|dv <∞ とR_τ

0

nR_t

0|α(v, t)|dv o

dt <∞ a.e.が成立する。

3.2.2 債券価格過程の算出

ここでは，フォワードレートが(3.9)を満たすときに，これから算出される債券価格がどのよう な確率微分方程式を満たしているかを考える。まず，債券価格過程が良い動きをするための十分 条件を与えておく。

Assumption 3.10. 1. R_t

0E[(R_t

vσ_n(v, y)dy)²]¹²dv <∞ ∀t∈[0, τ] and n= 1· · ·d 2. R_t

0E[(R_T

t σ_n(v, y)dy)²]dv <∞ ∀t∈[0, T], T ∈[0, τ] and n= 1· · ·d 3. t−→R_T

t [R_t

0 σ_n(v, y)dW_v⁽ⁿ⁾]dy <∞はP-a.s.に連続である。

次の定理で，相対価格Pe(t, T) = ^P(t,T)_B

t を満たす方程式を考える。

Theorem 3.11. Assumption3.9およびAssumption3.10を仮定しておく。フォワードレートが

(3.9)の形で与えられたとき，割引債券価格は次の確率微分方程式を満たす。

dP(t, Te )

Pe(t, T) =b(t, T)dt+ Xd n=1

a_n(t, T)dW_t⁽ⁿ⁾ (3.11)

ただし，a_n(t, T) =−R_T

t σ_n(t, u)du, b(t, T) =−R_T

t α(t, u)du+¹₂P_d

n=1a²_n(t, T)とする。

Proof. (3.6)より，logP(t, T) =−R_T

t f(t, u)duである。この右辺に(3.9)の積分形を代入する。

logP(t, T)

= −

Z _T

t

f(0, u)du− Z _T

t

·Z _t

0

α(v, u)dv

¸ du−

Z _T

t

"

Xd n=1

Z _t

0

σ_n(v, u)dW_v⁽ⁿ⁾

# du

= − Z _T

t

f(0, u)du− Z _t

0

·Z _T

t

α(v, u)du

¸ dv−

Xd n=1

Z _t

0

·Z _T

t

σ_n(v, u)du

¸ dW_v⁽ⁿ⁾

= −

Z _T

0

f(0, u)du− Z _t

0

·Z _T

v

α(v, u)du

¸ dv−

Xd n=1

Z _t

0

·Z _T

v

σ_n(v, u)du

¸ dW_v⁽ⁿ⁾

+ Z _t

0

f(0, u)du+ Z _t

0

·Z _t

v

α(v, u)du

¸ dv+

Xd n=1

Z _t

0

·Z _t

v

σ_n(v, u)du

¸ dW_v⁽ⁿ⁾

= logP(0, T)− Z _t

0

·Z _T

v

α(v, u)du

¸ dv−

Xd n=1

Z _t

0

·Z _T

v

σ_n(v, u)du

¸ dW_v⁽ⁿ⁾

+ Z _t

0

f(0, u)du+ Z _t

0

·Z _u

0

α(v, u)dv

¸ du+

Xd n=1

Z _t

0

·Z _u

0

σ_n(v, u)dW_v⁽ⁿ⁾

¸ du

= logP(0, T)− Z _t

0

·Z _T

v

α(v, u)du

¸ dv−

Xd n=1

Z _t

0

·Z _T

v

σ_n(v, u)du

¸

dW_v⁽ⁿ⁾+ Z _t

0

r(u)du となる。ただし4行目から５行目は，通常のFubiniの定理およびStochasitic Fubiniの定理を用 いた。また，5行目から6行目は(3.10)を用いた。

ここで，a_n(t, T) =−R_T

v σ_n(v, u)duを代入し，またdlogB_t=r(t)dtであるから，Itˆoの公式から dPe(t, T) = Pe(t, T)dlogP(t, T)−P(t, Te )dlogB_t+1

2P(t, Te )dlogP(t, T)dlogP(t, T) dPe(t, T)

Pe(t, T) = r(t)dt+ µ

− Z _T

t

α(t, u)du

¶ dt+

Xd n=1

a_n(t, T)dW_t⁽ⁿ⁾−r(t)dt+1 2

Xd n=1

a_n(t, T)²dt

= b(t, T)dt+ Xd n=1

a_n(t, T)dW_t⁽ⁿ⁾ (3.12)

ただし，b(t, T) =−R_T

t α(t, u)du+¹₂P_d

n=1a²_n(t, T)とした。よって，示せた。

3.2.3 無裁定債券価格と期間構造

この節ではただ１つの同値マルチンゲール測度が存在する必要十分条件を考える。まずは記号 の準備をする。

T₁,· · ·, T_k ∈[0, τ]を0< T₁ <· · ·< T_k ≤τを満たすようにとる。また，T = (T₁,· · · , T_k)と する。さらに，

A(t) =





a₁(t, T₁) · · · a_d(t, T₁)

· · · · ·

a₁(t, T_k) · · · a_d(t, T_k)





b(t) = (b(t, T₁),· · · , b(t, T_k))^T e

p(t) = (ep(t, T₁),· · · ,p(t, Te _k))^T

P_D(t) =



 e

p(t, T₁) · · · 0 ... . .. ... 0 · · · p(t, Te _k)





とすると，前の定理の中の式は

dep(t) =P_D(t)(b(t)dt+A(t)dW_t) (3.13) となる。ここで，相対価格P(t, Te )がマルチンゲールとなる確率測度を考える。次を仮定する。

Assumption 3.12. 1. rankA(t) =k∧da.e.

2. 期間T_i(i= 1,· · ·, k)の債券価格に対して共通にF_t可測な市場リスク価格過程λ(t)が存在 して，条件

A(t)λ(t) =−b(t) (3.14)

Z _T

0

||λ(t)||²dt <∞

E

· exp

µ

− Z _T

0

λ(t)dW_t− 1 2

Z _T

0

||λ(t)||²dt

¶¸

= 1 を満足する。

このとき，Girsanovの定理からWf_t=W_t−R_t

0λ(s)dsがR^d-値Wiener過程となるような確率測 度Qが存在する。このようなQをリスク中立な確率測度という。すると，(3.13)と(3.14)から，

A(t)dWf_t = A(t)dW_t−A(t)λ(t)dt

= A(t)dW_t+b(t) dep(t) = Pe_D(t)A(t)dWf_t となり，成分ごとに書くと，

dPe(t, T_i) P(t, Te _i) =

Xd n=1

a_n(t, T_i)dfW_t⁽ⁿ⁾ (i= 1,· · ·, k) (3.15) となる。

これをフォワードレートの方で考えると，

df(t, T_i) = α(t, T_i)dt+ Xd n=1

σ_n(t, T_i)dW_t⁽ⁿ⁾

= α(t, T_i)dt+ Xd n=1

σ_n(t, T_i)(dWf_t⁽ⁿ⁾+λ(t))

となる。ここで，Assumption3.12より，λ(t)はT に依存しないので，(3.14)の第i行目をT = T_i, λ(t) =λ_i(t)として，T で微分すると

Xd n=1

µ ∂

∂Ta_n(t, T)λ(t) +a_n(t, T) ∂

∂Tλ(t)

¶

=− ∂

∂Tb(t, T) Xd

n=1

(−σ_n(t, T)λ(t)) =α(t, T) + 1 2·2

Xd n=1

a_n(t, T_k)σ_n(t, T) となり，

α(t, T) = Xd n=1

σ_n(t, T) µZ _T

t

σ_n(t, u)du−λ_n(t)

¶

(0≤t≤T) (3.16) となる。なお，Heath,Jarrow and Morton[15]によると，(3.16)が成立することと次の２つはそれ ぞれ同値である。

1. Qが一意の同値マルチンゲール測度である。

2. λ(t)が一意に存在して，満期に依存しない。

以上より，

df(t, T) = Xd n=1

σ_n(t, T)(−λ_n(t)−a_n(t, T))dt+ Xd n=1

σ_n(t, T)dWf_t⁽ⁿ⁾+ Xd n=1

λ_n(t)σ_n(t, T)dt 

= Xd n=1

³

(−σ_n(t, T)a_n(t, T))dt+σ_n(t, T)dWf_t⁽ⁿ⁾

´

(3.17) となる。

ドキュメント内 修 士 論 文 無限次元確率解析 と その金利モデルへの応用 (ページ 56-60)