ガウス・マルコフ HJM モデルに対する不変測度

主たる結果を示すため，必要なことを与えておく。

Definition 5.7. Hを可分Hilbert空間とし，M(H)をH上のすべての確率測度の族とする。こ のとき，任意のµ∈ M(H)に対して，その特性関数µ(y) (yˆ ∈H)を次で定義する。

ˆ µ(y) =

Z

H

e^ihx,yiHdµ(x)

可分Hilbert空間上の特性関数の基本的な性質を以下の２つのPropositionで与えておく。証明

は共に[28]にある。

Proposition 5.8. 1. ˆµ;H→Cは，ノルム位相で一様連続である。

2. ˆµ₁(y) = ˆµ₂(y) (∀y∈H)ならば，µ₁ =µ₂となる。

3. (µ[∗λ)(y) = ˆµ(y)ˆλ(y) (∀y∈H, µ, λ∈ M(F))。 4. ˆ¯µ(y) = ˆµ(y)。

Proposition 5.9. {µ_n}_n∈N⊂ M(H)がconditionally compactで，各y∈Hに対して，

ˆ

µ_n(y)→ϕ(y) as n→ ∞

とする。このとき，あるµ∈ M(H)が存在して，µ(y) =ˆ ϕ(y)かつµ_nはµに弱収束する。

また，次のPropositionを証明しておく。

Proposition 5.10. Xを可分なBanach空間とする。このとき，(X,B(X))上の測度µについて 次は同値。

1. µがガウス測度である。すなわち，任意のf ∈X^∗に対して，µ_f =µ◦f⁻¹がR上の正規分 布となる。

2. m∈Xと正の対称作用素R:X^∗ →Xが存在して，

ˆ µ(f) :=

Z

X

e^ihx,fidµ(x) = exp µ

ihm, fi −1

2hRf, fi

¶

f ∈X^∗

このとき，µの平均ベクトルがmで共分散作用素がRである。したがって，ガウス測度µが平均 ベクトルmと共分散作用素Rで一意に定まる。

Proof. X =Rのときは有名な結果であるため，このことを使って，証明する。

(1⇒2) µを(X,B(X))上のガウス測度とし，平均ベクトルをm，共分散作用素をRとする。こ のとき，任意のf ∈X^∗ に対して，µ_f =µ◦f⁻¹はR上の正規分布である。µ(f)の平均µ(f)と 分散v(f)を求めると，

m(f) = Z

R

ydµ_f(y) = Z

X

hx, fidµ(x) = hm, fi v(f) =

Z

R

(y−m(f))²dµ_f(y) = Z

X

hx−m, fi²dµ(x) = hRf, fi

となる。よって，Rのときの結果より，

ˆ

µ_f(y) = exp µ

ihm, fiy− 1

2hRf, fiy²

¶

y∈R

である。ところが，

ˆ µ_f(y) =

Z

R

e^izfdµ_f(z) = Z

X

e^ihx,fiydµ(x) = ˆµ(yf)

となるので，2を得られる。

(2⇒1) f ∈X^∗を任意に固定すると，

ˆ

µ_f(y) = ˆµ(yf) = exp µ

ihm, fiy−1

2hRf, fiy²

¶

y∈R

となるので，Rのときの結果から，µ_fは平均hm, fi，分散hRf, fiのR上の正規分布となる。よっ て，µは(X,B(X))上のガウス測度となる。ここで，µの平均ベクトルをm₀とし，共分散作用素を R₀とすると，(1⇒2)の証明から，µ_fの平均ベクトルがhm₀, fi，分散がhR₀, fiである。よって，

任意のf ∈X^∗に対して，hm, fi =hm₀, fi，hRf, fi= hR₀f, fi。これより，m =m₀, R =R₀ となり，最後の部分も示せた。

さらに，Bochnerの定理のHilbert空間への拡張を与えておく。証明は[8]のp.49〜にある。

Theorem 5.11 (Hilbert空間上のBochnerの定理). Hを可分Hilbert空間とする。κ;H →C を(H,B(H))上の確率測度νの特性関数とする。このとき，

1. κがκ(0) = 1となるような正定値連続関数である。

2. 任意のε >0に対して，非負核型作用素S_εが存在し，hS_ελ, λi ≤1を満たすすべてのλに対 して，1−Reκ(λ)≤εとなる。

逆に任意の関数κ :H → Cが1と2を満足するならば，κはF 上の確率測度µの特性関数と なる。

では，主たる結果を与える。

Theorem 5.12. λ∈ G, σ ∈ L₍₂₎(G;F⁰)は決定論的であるとする。さらにS_t^∗µ₀のt→ ∞での 弱収束先をνとする。このとき，方程式

f_t=S_tf₀+ Z _t

0

S_t−s(F_HJM(σ) +σλ)ds+ Z _t

0

S_t−sσdW_s (5.8)

によって与えられたHJMモデルはF上の不変測度の族{µ^ν}_νを持つ。またνを固定するごとに (F,B(F), µ^ν)上の確率変数f(x) =δ_x(f)は以下の性質を満たす。

1. ロングレートf(∞)の分布はνである。

2. ロングレートによって与えられたフォワードレートf(x)の条件付分布µ^ν({f ∈H|δ_x(f)∈ A, A∈R}|σ(δ_∞))はx≥0に対して，正規分布に従う。

3. R

F||c||_Fν(dc)<∞かつλ= 0ならば，

E_µ^ν[f(0)]≥E_µ^ν[f(x)] (∀x≥0) となる。

4. R

F||c||²_Fν(dc)<∞かつλ= 0ならば，

Var_µ^ν[f(0)]≥Var_µ^ν[f(x)] (∀x≥0) となる。

Proof. F の元は極限を持つので，F ∼=F⁰⊕Rと分解できる。f_t⁰ := Proj_F0(f_t)とすると，任意 のf₀に対して，S_tf₀ =S_tf₀⁰+f₀(∞)1となる。ただし，1(x) = 1 (∀x ≥0)である。このとき，

f₀(∞)1=S_tf₀−S_tf₀⁰ ∈F となり，

||S_tf₀−f₀(∞)1||_F = ||S_tf₀⁰||_F

≤ M e^−βt||f₀⁰||_F →0 as t→ ∞

となるので，S_tf₀はf₀(∞)1にP-a.s.で収束する。これよりS_tf₀の分布S_t^∗µ₀はf₀(∞)1の分布 νに弱収束する。また，

A={f ∈F|fは定数関数} とすると，ν(A) = 1となる。

次にBanach-Steinhausの定理より，正定数N が存在して，sup_x∈[0,∞)||δ_x||_F^∗ ≤ N となる。

α=F_HJM(σ) +σ(λ)すると，σ ∈ L₍₂₎(G;F⁰)でF_HJM :L₍₂₎(G;F⁰)→F⁰なので，α ∈F⁰とな る。また，t≥0に対して，

|S_t−sα(x)| ≤ ||δ_x||_F^∗||S_t−sα||_F ≤N M e^−β(t−s)||α||_F

となり，Lebesgueの優収束定理より，x→ ∞でR_t

0S_t−sα(x)ds→0である。

また，R_t

0S_t−sσdW_s ∈F⁰より，x → ∞で0に収束する。ゆえに, (5.8)の両辺にxをいれて、

x→ ∞とすると，

f_t(∞) =f₀(∞) ∀t≥0

よって，ロングレートf(∞)の分布はνである。よって，1は示せた。

また，R_t

0S_t−sσds=R_t

0S_uσduであり，

Z _∞

0

||S_uα||_Fdu≤M Z _∞

0

e^−βu||α||_Fdu≤ M β ||α||_F となる。これより，

e α=

Z _∞

0

S_uαdu= lim

t→∞

Z _t

0

S_t−sαds

が存在し，特に

|δ_x(S_uα)| ≤ ||δ_x||_F^∗||S_uα||_F ≤N M e^−βu||α||_F

なので，Lebesgueの優収束定理より，lim_x→∞α(x) = 0e となる。つまり，αe∈F⁰。 {ψ_k}_k∈NをGのCONSとすると，上と同様の評価式より，

Z _∞

0

||S_uσ||²_L

(2)(G;F)du = Z _∞

0

X∞ k=1

||s_uσψ_k||²_Fdu = X∞ k=1

||S_uσψ_k||²_Fdu

≤ X∞ k=1

Z _∞

k=1

Z _∞

0

M²e^−2βu||σψ_k||²_Fdu = M² 2β

X∞ k=1

||σψ_k||²_F

= M² 2β ||σ||²_L

(2)(G;F)

よって，N(m, Q)を平均ベクトルm，共分散作用素Qの正規分布とし，R_t

0S_t−sσdW_sの分布をγ_t とすると，γ_t=N(0,R_t

0 S_uσσ^∗S_u^∗du)なので，Lemma5.10より，この測度に対する特性関数γˆ_t(f) は

ˆ

γ_t(f) = Z

F

e^ihf,xiFγ_t(dx)

= exp

µ

−1 2

¿Z _t

0

S_uσσ^∗S_t^∗f du, f À

F

¶

t→∞→ exp µ

−1 2

¿Z _∞

0

S_uσσ^∗S_t^∗f du, f À

F

¶

よって，γ_tはγ=N(0,R_∞

0 S_uσσ^∗S_u^∗du)に弱収束する。また，γ_t(F₀) = 1より，γ(F₀) = 1となる。

ここで，P_tを推移半群とし，κ=N(eα,R_∞

0 S_uσσ^∗S_u^∗du)とする。このとき，ˆκ(S^∗_ty) (y∈F, t≥0) を計算すると，

ˆ

κ(S_t^∗y) = exp µ

iheα, S_t^∗yi_F −1 2

¿Z _∞

0

S_uσσ^∗S_u^∗duS_t^∗y, S_t^∗y À

F

¶

= exp µ

iheα−α_t, yi_F −1 2

¿Z _∞

0

S_uσσ^∗S_u^∗ydu− Z _t

0

S_uσσ^∗S_u^∗ydu, y À

F

¶

= ˆκ(y) exp µ

−ihα_t, yi_F +1 2

¿Z _t

0

S_uσσ^∗S_u^∗ydu, y À

F

¶

となる。よって，

ˆ

κ(y) = ˆκ(S^∗_ty) exp µ

ihα_t, yi_F −1 2

¿Z _t

0

S_uσσ^∗S_u^∗ydu, y À

F

¶

(5.9) となる。ここで，γˆ:=N

³

S_tx+α_t,R_t

0S_uσσ^∗S_u^∗du

´

とすると，

(右辺) = Z

F

Z

F

e^ihy,xiFγ(dy)κ(dx) =ˆ Z

F

P_t(e^ihy,xiF)κ(dx) = (Pd_t^∗κ)(y)

となり，Proposition5.9.2より，κ=P_t^∗κである。つまり，κは初期条件f₀ =xに対して不変測度

となり，(5.8)は不変測度を持つ。

さらに(5.9)の両辺をt→ ∞とすると，

exp µ

ihα_t, yi −1 2

¿Z _t

0

S_uσσ^∗S_u^∗ydu, y À

F

¶

→ exp µ

iheα, yi −1 2

¿Z _∞

0

S_uσσ^∗S_u^∗ydu, y À

F

¶

=: (α\e+γ)(y) となる。ただし，αe+γ =N(α,e R_∞

0 S_uσσ^∗S^∗_udu)である。また，φ(y) = limˆ _t→∞ˆκ(S_t^∗y)とする。

このとき，Theorem5.11より，ε >0に対して，正値核型作用素Sが存在して，hSy, yi ≤1なら ば，Re{ˆκ} ≥1−εとなる。これより，y∈F がhSy, yi ≤1を満たすならば，

Re{φ(y)}ˆ = Re{ˆκ(y)}exp µ1

2

¿Z _∞

0

S_uσσ^∗S_u^∗ydu, y À

F

¶

≥1−ε

となる。φ(0) = 1ˆ となるような正定値連続関数であるのはすぐに分かるので，再びTheorem5.11 から，ψ(·) = ˆˆ ν(·)e となるような(F,B(F))上の測度eνが存在する。これより，S_t^∗µ₀はeνに弱収束 する。しかし，前の議論からS_t^∗µ₀はνに弱収束するので，ν=eνである。

以上から，Proposition5.9.3を使うと，

ˆ

κ(y) = ˆν(y)(α\e+γ)(y) = (ν∗\(αe+γ)(y)

なので，µ^ν := κ = ν∗(αe+γ)となる。特にν はf₀(∞)1の分布で，f_t(∞) = f₀(∞) (t ≥ 0) であったので，上の式からロングレートによって与えられたフォワードレートf(x)の条件付分布 µ^ν({f ∈H|δ_x(f)∈A, A∈R}|σ(δ_∞))はx≥0に対して，正規分布に従うことが分かる。よって，

2が示せた。

あとは3と4を示せば良い。(5.8)より，

f_t(x)−f₀(t+x) = Z _t

0

S_t−sα(x)ds+δ_x Z _t

0

S_t−sσdW_s (5.10)

となる。このとき， Z _x

0

hσ^∗δ_s, σ^∗I_si_Gds= 1

2||σ^∗I_x||²_G に注意して，(5.8)の両辺のPによる平均をとると，

E[f_t(x)]−E[f₀(t+x)] = Z _t

0

S_t−sα(x)ds

= Z _t

0

δ_t−s+xαds

= Z _t

0

hσ^∗δ_t−s+x, σ^∗I_t−s+x+λi_Gds

=

Z _t+x

t

hσ^∗δ_s, σ^∗I_s+λi_Gds

=

Z _t+x

0

hσ^∗δ_s, σ^∗I_s+λi_Gds− Z _t

0

hσ^∗δ_s, σ^∗δ_x+λi_Gds

= 1

2||σ^∗I_t+x||²_G+hσ^∗I_t+x, λi_G−1

2||σ^∗I_x||²_G− hσ^∗I_x, λi_G

= 1

2(||σ^∗I_t+x||²_G+ 2hσ^∗I_t+x, λi_G+||λ||²_G)

−1

2(||σ^∗I_x||²_G+ 2hσ^∗I_x, λi_G+||λ||²_G)

= 1

2(||σ^∗I_t+x+λ||²_G− ||σ^∗I_x+λ||²_G) (5.11) となる。ここで，任意のf ∈Fに対して，

δ_t+x(f)→δ_∞(f) as t→ ∞ であり，任意のf⁰∈F⁰に対して，

Z _∞

0

|f⁰(s)|ds = Z _∞

0

|S_sf⁰(0)|ds ≤ ||δ₀||_F^∗ Z _∞

0

||S_sf⁰||_Fds

≤ ||δ||_F^∗M||f⁰||_F Z _∞

0

e^−βsds = M||δ₀||_F^∗||f⁰||_F <∞ なので，I_t+x(f⁰)→I_∞(f⁰) as t→ ∞である。このことに注意すると，

|δ_t+xf₀| ≤ ||δ_t+x||_F^∗||f₀||_F < N||f₀||_F となり，仮定から||f₀||_F は可積分なので，Lebesgueの優収束定理より，

t→∞lim E[δ_t+xf₀] = E[δ_∞f₀] となる。また，

t→∞lim ||σ^∗I_t+x+λ||²_G =||σ^∗I_∞+λ||²_G となる。よって，(5.11)の両辺をt→ ∞とすると，

E_µ^ν[f(x)] = lim

t→∞E[f_t(x)]

= E_µ^ν[f(∞)] + 1

2(||σ^∗I_∞+λ||²_G− ||σ^∗I_x+λ||²_G) となる。ここで，λ= 0とすると，

E_µ^ν[f(x)] = E_µ^ν[f(∞)] + 1

2(||σ^∗I_∞+λ||²_G− ||σ^∗I_x+λ||²_G)

≤ E_µ^ν[f(∞)] + 1

2||σ^∗I_∞+λ||²_G

= E_µ^ν[f(∞)] + Z _∞

0

F_HJM(σ)(∞)ds

= E_µ^ν[f(0)]

最後は(5.10)のx= 0の場合を使った。よって，3はできた。

また，4については Var_µ^ν[f(x)] = lim

t→∞Var_µ^ν[f_t(x)] = lim

t→∞

µ

Var[f₀(t+x)] + Var

· δ_x

Z _t

0

S_t−sσdW_s

¸¶

となり，右辺の第1項はLebesgueの優収束定理から，

t→∞lim Var_µ^ν[f₀(t+x)] = Var_µ^ν[f(∞)]

となる。また第2項は Var_µ^ν

· δ_x

Z _t

0

S_t−sσdW_s

¸

= E_µ^ν

"µ δ_x

Z _t

0

S_t−sσdW_s

¶₂#

= E_µ^ν

"µZ _t

0

S_t−s+xσdW_s

¶₂#

= E_µ^ν

·Z _t

0

||S_t−s+xσ||²_Fds

¸

= Z _t

0

||S_t−s+xσ||²_Fds

=

Z _t+x

x

||S_sσ||²_Fds

t→∞→ Z _∞

x

||σ^∗δ_s||²_Gds

ゆえに，

Var_µ^ν[f(x)] = Var_µ^ν[f(∞)] + Z _∞

x

||σ^∗δ_s||²_Gds よって，(左辺)はx≥0で減少関数となる。以上ですべて示せた。

上の定理の3の結果は，スポットレートが他のフォワードカーブに対して，平均的に最大であ ることを示している。これは，適当な条件の下で{f_t}_t≥0がマルコフの時も成り立つ。このことを

以下の2つのPropositionで示す。ただし，以下出てくるHJMモデルはゼロクーポン債価格がリ

スク中立な確率測度Q上でマルチンゲールとする。また，

exp µ

− Z _x

0

f_t(s)ds

¶

= E

· exp

µ

− Z _x+t

t

r_sds

¶ ¯¯¯F_s

¸

r_s =f_s(0)が成立する。

Proposition 5.13. µは係数がマルコフ型のHJMモデル{f_t}_t≥0に対する不変測度とし，f(x) = R

Ff(x)µ(df) はこの測度に対して，満期までの時間xでの 平均フォワードレート とする。さ

らに,f は連続であると仮定する。このとき， 平均スポットレート が最大である。すなわち，

f(0)≥f(x) ∀x≥0 が成立する。

Proof. ε >0を任意に固定しておく。このとき，

exp µ

− Z _x+ε

0

f₀(s)ds

¶

= E

· exp

µ

− Z _x+ε

0

r_sds

¶ ¯¯¯F₀

¸

= E

· exp

µ

− Z _ε

0

r_sds

¶ E

· exp

µ

− Z _x+ε

ε

r_sds

¶ ¯¯¯F_ε

¸ ¯¯¯F₀

¸

= E

· exp

µ

− Z _ε

0

r_sds

¶ exp

µ

− Z _x

0

f_ε(s)ds

¶ ¯¯¯F₀

¸

≥

Jensen exp µ

−E

·Z _ε

0

r_sds

¯¯

¯F₀

¸

−E

·Z _x

0

f_ε(s)ds

¯¯

¯F₀

¸¶

ここで，e^xは単調増加関数なので，

E

·Z _ε

0

r_sds

¯¯

¯F₀

¸

≥ Z _x+ε

0

f₀(s)ds−E

·Z _x

0

f_ε(s)

¯¯

¯F₀

¸

ここで，{f_t}_t≥0がマルコフ型であることを注意して，両辺をµで積分し，Fubiniの定理を使うと (左辺) =

Z

F

E

·Z _ε

0

f_s(0)ds

¯¯

¯F₀

¸

µ(df) = Z _ε

0

E_f0

·Z

F

δ₀(f_s)µ(df)

¸ ds=

Z _ε

0

E_f0[f(0)]ds=εf(0) であり，

(右辺) = Z

F

µZ _x+ε

0

f₀(s)ds−E

·Z _x

0

f_ε(s)

¯¯

¯F₀

¸¶

µ(df)

=

Z _x+ε

0

Z

F

f₀(s)µ(df)ds− Z _x

0

E_f0

·Z

F

f_ε(s)µ(df)

¸ ds

=

Z _x+ε

0

f(s)ds− Z _x

0

f(s)ds

=

Z _x+ε

x

f(s)ds となる。よって，

f(0)≥ 1 ε

Z _x+ε

x

f(s)ds 仮定から，fは連続なので，ε→0とすると，f(0)≥f(x)。

次のPropositionのために，時間的一様なマルコフ型を定義する。

Definition 5.14. フォワードレート過程{f_t}_t≥0が時間的一様なマルコフ型とは，

f_t=S_tf₀+ Z _t

0

S_t−sα(f_t)ds+ Z _t

0

S_t−sσ(f_t)dW_s (t≥0) で与えられるときにいう。ただし，α(f_t) =F_HJM(σ(f_t)) +λσ(f_t)とする。

Proposition 5.15. {f_t}_t≥0は時間的一様なマルコフ型で，λ= 0でσ ∈ L₍₂₎(G;F)は有界とす る。また，F上の測度µが{f_t}_t≥0の不変測度とする。さらに，

hσ(f)^∗δ_x, σ(f)δ_xi_G≥0 (∀f ∈F, x, y∈R₊) (5.12) と仮定する。このとき，平均フォワードカーブは減少する，すなわち，f(x)≤f(x+t) (∀t≥0) となる。

Proof. HJMモデルを次のように書き直す。

f_t(x) =f₀(t+x) + Z _t

0

hσ(f_u)^∗δ_t−u+x, σ(f_u)I_t−u+xi_Gdu+ Z _t

0

σ(f_u)^∗δ_t−u+xdW_u ここで，両辺を不変測度µで積分すると，

f(x) =f(x+t) + E_µ

·Z _t

0

hσ(f_u)^∗δ_t−u+x, σ(f_u)I_t−u+xi_Gdu

¸

となり，右辺の第2項は

(右辺第2項) = E_µ

·Z _t

0

hσ(f_t−s)^∗δ_s+x, σ(f_t−s)^∗I_s+xi_Gds

¸

= E_µ

·Z _t

0

Z _s+x

0

hσ(f_t−s)^∗δ_s+x, σ(f_t−s)^∗δ_ui_Gduds

¸

≥ 0 (∀s, x, u≥0) (∵(5.12)) ゆえに，f(x)≤f(x+t) (∀t≥0)となる。

Remark 5.16. Theorem5.12.3やProposition5.15の時のように時間的一様のとき，平均フォワー ドレートはイールドを表している。つまりこれらの主張はイールドカーブが右下がり，すなわち

逆イールドカーブ を描くことを意味している。

謝辞

最後となりましたが，本研究を行うにあたり，長期間に渡り，時には優しく時には厳しく,終始 丁寧な御指導,御支援,御助言を頂いた谷口説男教授に深く感謝します。

また，本論文において最も参考にした[5]を私に紹介してくださった岡山大学の河備浩司准教授 に感謝と共に深くお礼申し上げます。

最後になりましたが，同じセミナーの原啓輔君，自主セミナーを一緒にしてくれた塩塚喬君，井 上志摩君，堀内智明君，また1414号室の皆さんに深く感謝します。

参考文献

[1] F, Black. and P, Karasinski, “Bond and option pricing when short rates are lognormal”, Financial Analysis Journal, (1991), 52 - 59

[2] F, Black. and M,, Scholes., “The Pricing od Options and Corporate Liabilities”,Journal of Political Economy ,81(1973), 637 - 654

[3] A, Brace. and M, Musiela., ”A Multifactor Gauss Markov Implementation of Heath, Jarrow and Morton”,Mathmatical Finance,4(1994), 259 - 283

[4] R, Carmona. and M, Tehranchi., “A characterization of hedging portfolios for interest rate contingent claims”,The Annals of Applied Probablity,14(2004), 1267 -1294

[5] R, Carmona. and M, Tehranchi., “Interest Rate Models:an Infinite Dimensional Stochastic Analysis Perspective”,Springer Finance Series, Springer, Berlin, 2006

[6] J, Cox. J. Ingersoll. and S, Ross., “A theory of the term structure of interest rates”,Econo- metrica,53(1985), 385 - 407

[7] Ju, L, Daletskii.,“ Differential equations with functional derivatives and stochastic equations for generalized random processes.”Soviet mathematics - doklady ,7(1966), 220 - 223.

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ドキュメント内 修 士 論 文 無限次元確率解析 と その金利モデルへの応用 (ページ 95-106)