4 抽象 HJM モデル
この章を通じて，特に断らない限り，(Ω,F,P)を完備確率空間とし，{Wt}をd次元の標準Wiener 過程，{Ft}をWiener過程からなるフィルトレーションとし,右連続でF0はFのP-零集合をすべ て含むと仮定する。また，F =F∞:=∨t∈R+Ftとする。また，Musielaの記号に従うとする。す なわち,現時点をt，満期をTとしたとき，現時点から満期までの時間をx=T −tとし，債券価 格をPt(x) :=P(t, t+x)，フォワードレートをft(x) :=f(t, t+x) (t, x≥0)とする。
4.1 HJM発展方程式
この章での目標は下のHJMモデルを解析することである。
dft(x) = ( ∂
∂xft(x) +αt(x))dt+ X∞ i=1
σit(x)dWti (4.1) ここで無裁定条件より，
αt(x) = X∞
i=1
σti(x) Z x
0
σti(u)du (0≤t≤T) (4.2) である。
ここでは関数空間F上に値をとるFt-可測な確率ベクトルとして，フォワードカーブx→ft(x) を考えたい。また，Wiener過程としては，実可分Hilbert空間G上で定義された柱状Wiener過程 を考える。また，Gの双対空間をG∗とし，GとG∗を同一視する。(4.1)を解析するために，フォ ワードカーブに対する状態空間Fを選ぶ必要がある。この章を通して，Fに必要に応じて，随時 仮定を付け加えていくことにする。まず最初に次のことを仮定しておく。
Assumption 4.1. 1. F を可分Hilbert 空間とし，その元をR-値連続関数で，定義域 χ は [0, xmax]もしくはR+である。また，x∈χに対して，汎関数δx(f) =f(x)はwell-defined で，F∗の元とする。
2. {St}t≥0はF 上で強連続で，(Stf)(x) =f(t+x)となる半群とする。また，{St}t≥0の生成 作用素をAとする。このとき，一般にAは有界であるとは限らない。
3. FHJMはD(6=φ)⊂ L(2)(G;F)からFへの可測写像で，FHJM(σ)(x) :=hσ∗δx, σ∗IxiG (各 σ∈ L(2)(G;F))とする。ただし，Gは実可分Hilbert空間とし，Ix(f) :=Rx
0 f(s)dsとする。
これらの仮定にいくつか注意を与えておく。
まずはF ⊂ L1loc(χ)6 でなければならない。これは，P(t, T) = exp (−RT−s
0 ft(s)ds)が意味を持 たないといけないためである。しかし，一般に金利の期間構造が動くところではフォワードカー ブは満期までの時間xの関数として，滑らかである。よって，Assumption4.1.1は意味を持ち，明 らかにF ⊂ L1loc(χ)である。
また，次のことが分かる。
Proposition 4.2. Ix(f) =Rx
0 f(s)dsは，各x∈χに対して，F 上連続である。
6L1loc:=n
{ft}t∈[0,∞)
˛˛
˛ft(ω)はF-値{Ft}-適合な確率過程で,F × B([0,∞))-可測,RT
0 ||ft||dt <∞ ∀T >0o
Proof. ¯
¯¯
¯ Z x
0
f(s)ds
¯¯
¯¯≤x sup
s∈[0,x]
|f(s)| ≤x sup
s∈[0,x]
||δs||F∗||f||F
ここで，δx∈F∗より，sups∈[0,x]|δs(f)|<∞である。Banach-Steinhausの定理7より， ||f||F ≤ 1, δx ∈ F∗ ならば，∃M < ∞ s.t. ||δx|| ≤ M となる。よって，f ∈ F, δx ∈ F∗ ならば，
|δxf| ≤M||f||F となり，sups∈[0,x]||δs||F∗ ≤M となる。
ゆえに， ¯
¯¯
¯ Z x
0
f(s)ds
¯¯
¯¯≤ ∃C
となり，IxはF 上連続となる。
Assumption4.1.より，スポットレートrt = ft(0) = δ0(ft)が，well-defined である。スポット レートが定義されたら，無リスク預金は通常の数理ファイナンスの議論と同じように，
Bt= exp µZ t
0
rsds
¶
と定義される。またこれを基本財として，割引債券価格を Pet(x) = Pt(x)
Bt = exp µ
− Z t
0
rsds− Z x
0
ft(y)dy
¶
(4.3) と定義する。
また，Assumption4.1.3について，Assumption4.1.1.よりF の元は連続なので，任意のσ ∈ L(2)(G;F)に対して，x→FHJM(σ)(x)は連続である。しかし，σ→FHJM(σ)は必ずしもFの元 ではなくσ ∈Dでなければならない。Assumption4.1.3.はたいていチェックするのは難しい。そ のため，具体例を扱う中で使いやすい十分条件を後に与える。
Assumption 4.3. FがAssumption4.1.1.とAssumption4.1.2.を満たしているとする。
さらに，∃F0 ⊂F が存在して，２項演算子?を(f ? g)(x) =f(x)Rx
0 g(s)ds:F0×F0 →F と し，f, g ∈F0に対して，
||f ? g||F ≤C||f||F||g||F (4.4) とする。ただし，C >0は定数である。
Proposition 4.4. F がAssumption4.3.を満たしているとする。このとき写像FHJMは局所Lip-
schitz条件を満たす。すなわち，
||FHJM(σ1)−FHJM(σ2)||F ≤C||σ1+σ2||L(2)(G;F)||σ1−σ2||L(2)(G;F) (∀σ1, σ2∈ L(2)(G;F0)) とする。特にFHJMはD=L(2)(G;F0)からF への写像として可測である。
Proof.
||f ? f −g ? g||= 1
2||(f −g)?(f+g) + (f+g)?(f−g)|| ≤C||f −g||||f+g|| (4.5)
7Xを完備距離空間，Y を位相空間とし，ΓをXからY への連続線形写像全体とし，さらにΓ(x) ={Λx|Λ∈Γ}
はY 上有界とする。このときΓは同程度連続となる。 証明は[29]を参照。
である。次に，{gi}i∈Nを完全正規直交系とする。このとき，σ∈ L(2)(G;F0)に対して FHJM(σ)(·) = hσ∗δ·, σ∗I·iG
Parseval= X
n
hσ∗δ·, gniGhgn, σ∗I·iG
= X
n
hδ·, σgniFhgn, σI·iF
= X
n
σgn(·) Z ·
0
σgn(s)ds
= X
n
(σgn)?(σgn) となる。よって，
||FHJM(σ1)−FHJM(σ2)||F ≤
三角不等式
X∞ n=1
||(σ1gn)?(σ1gn)−(σ2gn)?(σ2gn)||F
≤
(4.5) C
X∞ n=1
||(σ1−σ2)gn||F||(σ1+σ2)gn||F
≤
Schwarz C||σ1−σ2||L(2)(G;F)||σ1+σ2||L(2)(G;F) ここで，A ∈ L(2)(G;F)に対して，||A||2L
(2)(G;F) = P
n∈N||Agn||2F であることに注意してお く。また，FHJM(σ) = P
n∈N(σgn)?(σgn)は仮定よりD→ Fとして可測である。さらに，σ → (σgi)?(σgi)(∀i∈N)はL(2)(G;F0)→Fとして可測である。よって，FHJM(σ)はL(2)(G;F0)→F として可測である。
スポットレートをft(0)で定義するのと同じ方法で，ロングレートはχの右端の点での値として 定義する。つまり，χ= [0, xmax]のとき，lt=ft(xmax)，χ=R+のときは，lt=ft(∞)とする。
そのため，χ=R+のとき，任意のf ∈Fに対して，f(∞) = limx→∞f(x)が存在するかを確認し なければならない。