1.9 選択公理
1.9.1 Zorn の補題
Definition 1.9.5. X を順序集合とする.
1. Aが（X の）鎖さ(chain)である
⇔defAはXの全順序部分集合である.（Xの部分集合であり,全順序部分集合になっ ている.）
2. X の任意の鎖が上に有界であるとき, X を帰納的順序集合(inductively ordered set) という
Example 1.9.6. 1. Qに数の大小関係で順序をいれる. 明らかにQは帰納的順序集 合ではない.
Q≤0 ={r ∈Q r ≤0}とおくと, 明らかにQ≤0 は帰納的順序集合である. 2. P(X)は帰納的順序集合である.
exercise 60. 上の例の主張を確かめよ.
選択公理を仮定すると（ZFのもと）次が成り立つことが知られている. この講義では 証明は省略する.
Theorem 1.9.7 (Zornの補題, Zorn’s lemma). 帰納的順序集合は少なくともひとつの 極大元をもつ.
Zornの補題を使う際, 次のことに注意しておくとよい.
Lemma 1.9.8. X を空でない順序集合とする. このとき次は同値である. 1. X は帰納的順序集合である.
2. X の任意の空でない全順序部分集合は上界をもつ.
Proof. 1⇒2はあきらか. 逆を示すには∅ ⊂X が上に有界であることを示せばよい（∅は 全順序部分集合である.）がEx.1.7.18でみたように, X ̸=∅であれば∅ ⊂X は有界であ る.
逆にZornの補題を仮定すると, 選択公理を示すことが出来る. Zornの補題の使い方の よい例であるので証明してみよう.
Theorem 1.9.9. Zornの補題を仮定する. このとき, 任意の全射 f: X → Y は切断を もつ.
Proof. XまたはY が空集合の場合はf = id∅ となるのであきらか. X, Y ともに空でない場合を考える. f: X →Y を写像とする.
S ={(B, g) B ⊂Y, g: B →X, f◦g = 1B}
とおく.
1. S ̸= ∅である. 実際, x∈ X をひとつとりy =f(x) ∈ Y とおく. g: {y} →X を g(y) =xで定めると, 明らかに({y}, g)∈ Sである.
2. (B, g),(B′, g′)∈ S に対して
(B, g)≤(B′, g′)⇔
defB⊂B′ かつ g′|B =g と定めると, あきらかに≤はS に順序を定める.
3. この順序に関してS は帰納的順序集合である. 実際, T ⊂ S を全順序部分集合と する.
T = ∪
(B,g)∈T
B
とおき, t: T → X を, (B, g) ∈ T に対しy ∈ Bであるとき, t(y) = g(y)で定め る. t はwell-definedである. 実際, (B′, g′) ∈ T に対しy ∈ B′ であるとすると, T は全順序集合なので(B, g) ≤ (B′, g′)または (B′, g′) ≤ (B, g)のいずれかが成 り立つ. (B, g) ≤(B′, g′)としてよい. このときy ∈B ⊂ B′であり, g′|B = gな のでg′(y) = g(y). 作り方からf ◦t = 1T なので(T, t) ∈ S であり, また任意の (B, g)∈ T に対しB⊂T かつt|B=gであるから(T, t)はT の上界である. （T の上限であることもすぐわかる.）
4. Zornの補題より, S には極大元が存在する. (Y′, s) ∈ S を極大元とする. f が全 射であればY′ = Y である. 実際, Y′ ̸= Y であるとすると, Y \Y′ ̸= ∅である. y0 ∈Y \Y′ をひとつとるとf が全射なのでf(x) = y0となるx∈ Xが存在する.
˜
s: Y′∪ {y0} →Xを
˜ s(y) =
{
s(y), y∈Y′ x, y=y0
とおけば(Y′, s)<(Y′∪ {y0},˜s)∈ S となり極大性に反する.
Remark . 帰納的順序集合を「任意の全順序部分集合が上限をもつ順序集合」と定義する
流儀もある. 区別するため, この定義をみたすものを「きのうてき順序集合」と書くこと にする.
あきらかに「きのうてき順序集合」は帰納的順序集合であるが, 逆は成り立たない. 例 えば例. 1.9.6のQ≤0 は「きのうてき」ではない. しかし, Zornの補題はどちらの定義を 用いても成り立ち, 以下は同値である.
1. 選択公理.
2. 帰納的順序集合は少なくともひとつの極大元をもつ.
3.「きのうてき順序集合」は少なくともひとつの極大元をもつ.
実際, 2⇒3は「きのうてき」ならば帰納的であることからあきらかであり, Thm. 1.9.9の 証明は, S が途中注意したことから「きのうてき順序集合」となっているので, 3⇒1 の証 明になっている.
Zornの補題の典型的使用例.
Theorem 1.9.10. 選択公理を仮定する.
Rを（乗法に関する単位元をもつ）可換環とする. 任意のイデアルI ⊊ Rに対し, I を 含む極大イデアルが存在する.
特にR̸={0}の場合, Rには極大イデアルが存在する.
Remark . 代数で学んだと思うが, Rの部分集合I がイデアルであるとはI がRのR部 分加群であるということ, つまり
1. x, y ∈I ⇒x+y∈I 2. a∈R, x∈I ⇒ax∈I
をみたすということ. またmが極大イデアルであるとは, 包含関係に関して極大であるよ うな真部分イデアルであるということ, つまり
1. m⊊R
2. m⊊I ⊊RとなるようなイデアルI は存在しない ということ.
Proof. I ⊊Rをイデアルとする. I を含む真部分イデアル全体 S ={
J I ⊂J ⊊R, J はイデアル} に包含関係で順序をいれる. S が帰納的順序集合であることを示そう.
あきらかにI ∈ S だからS ̸= ∅であるから, ∅ ̸=T ⊂ S を全順序部分集合とするとき T が上界をもつことを示せばよい.
K = ∪
J∈T
J とおく. K ∈ S を示す.
• T ̸=∅だからI ⊂K である.
• x, y ∈ K とする. ある J, J′ ∈ T が存在し, x ∈ J, y ∈ J′ である. T は全順序集 合なのでJ ⊂ J′ かJ′ ⊂J のいずれかが成り立つ. J′ ⊂ J としてよい. このとき x, y ∈J であり, J はイデアルなのでx+y∈J ⊂K. a ∈R, x∈K とする. ある J ∈ T が存在しx ∈ J である. J はイデアルであるからax∈ J ⊂ K. よってK はイデアルである.
• 任意の J ∈ T に対し, J ⊊ Rであるから 1 ̸∈ J である. よって1 ̸∈ K となり K ⊊R.
以上からK ∈ Sであり, あきらかにK はT の上界, ゆえSは帰納的順序集合である. Zornの補題よりSには極大元mが存在するが, これが求めるものである.
証明はしないが, 同様な議論で次が示せる. Theorem 1.9.11. 選択公理を仮定する.
kを体とする. k 上のベクトル空間は基底をもつ. 問題集 . 59
1.9.2 整列可能定理
Ex. 1.7.4でみたように, 任意の集合に自明な順序をいれることが出来るが, 選択公理を
仮定すると整列順序をいれることが出来ることがわかる.
選択公理を仮定すると（ZFのもと）次が成り立つことが知られている. この講義では 証明は省略する.
Theorem 1.9.12. 整列可能定理(wellordering theorem) 任意の集合は, うまく順序を 定義してやることで整列集合（Def. 1.8.7）にすることができる.
整列集合では数学的帰納法と同様な議論（超限帰納法(transfinite induction)と呼ばれ る）が使えるため, 選択公理を利用する場面でよく使われる.
実はこれも（ZFのもと）選択公理と同値であることが示せる. Theorem 1.9.13. 整列可能定理を仮定すれば選択公理が成り立つ.
Proof. f: X → Y を全射とする. 仮定よりX に整列順序をいれることが出来るので, Prop. 1.8.10より, f は切断をもつ.