閉包 , 触点

Definition 2.8.1. Xを位相空間, A⊂X を部分集合とする. Aを含むXの閉集合すべ ての共通部分をAの閉包(closure) といい, A^aまたはAで表す.

A^a= ∩

F⊃A F:closed

F

(X は 閉 集 合 な の で, A を 含 む 閉 集 合 は 少 な く と も ひ と つ は 存 在 す る こ と に 注 意.) Thm. 2.5.2 F3 により, A^a は閉集合である. また A を含む (包含関係に関して) 最小 の閉集合である. (あきらかに A^a ⊃ A であり, F ⊃ Aが閉集合であればF ⊃ A^a であ る.)

exercise 104. A⊂B ⇒A^a ⊂B^a. exercise 105. A: closed ⇔A=A^a.

定義を見るとわかるように内部と閉包には関係がある. Theorem 2.8.2. A^ac =A^c◦.

Proof. A^a ⊃AゆえA^ac ⊂A^c. A^ac は開集合でA^cに含まれるのでA^ac ⊂A^c◦.

一方,A^c ⊃A^c◦ゆえA ⊂A^c◦c. A^c◦cは閉集合でAを含んでいるのでA^a ⊂A^c◦c. よっ てA^ac ⊃A^c◦.

なお, 定義の式を直接変形してもわかる. Corollary 2.8.3. A^◦c =A^ca.

Proof. 上の定理をA^c に適用すればよい. Corollary 2.8.4. A^a=A^ec =A^◦⊔A^f.

Proof. A^ac =A^co =A^eで,X =A^◦⊔A^f⊔A^eであったから,A^a=A^ec =A^◦⊔A^f. Definition 2.8.5. A⊂X を部分集合, x∈X とする.

xがAの触点(adherent point) である⇔

def xの任意の近傍U に対し, U ∩A ̸=∅. 定義よりあきらかに, x がA の触点であることと, xがA^c の内点ではないことは同値 である.

気分としては（距離空間の場合は次の練習問題から分かるように実際にそうであるが）, xがAの触点であるというのは,xのいくらでも近くにAの点があるということ.

exercise 106. U^∗(x)をxの基本近傍系とする. このとき xがAの触点⇔ ∀U ∈ U^∗(x) :U ∩A̸=∅.

Theorem 2.8.6. Aの閉包A^aはAの触点全体のなす集合である. A^a={

x∈X xはAの触点} . すなわち, x∈A^a ⇔xの任意の近傍U に対し, U ∩A̸=∅. Proof.

x∈A^a⇔x ∈A^c◦c

⇔x ̸∈A^c◦

⇔x^はA^{cの内点ではない}

⇔xはAの触点.

Corollary 2.8.7. 1^{次元ユークリッド空間}Rの空でない有界閉集合は最大元, ^最小元を もつ.

Proof. A ⊂Rを空でない有界閉集合とする. Aは空でない有界集合だから上限が存在す

る. s = supAとおく. Prop. 1.7.28より, 任意のε >0に対し(s−ε, s]∩A ̸=∅^である からsはAの触点ゆえs∈A^a. Aは閉集合だからA^a=Aである. よってs∈Aとなり, s = maxA. 最小元についても同様.

Corollary 2.8.8. X が距離空間のとき, x ∈A^a ⇔d(x, A) = 0.

Proof. X を距離空間とする. {U_ε(x)}_ε>0 ^がx の基本近傍系であることに注意すれば, Thm. 2.8.6, exe 106より,

x∈A^a ⇔ ∀ε >0 : Uε(x)∩A ̸=∅

⇔ ∀ε >0,∃a∈A :d(x, a)< ε

⇔ inf

a∈Ad(x, a) = 0.

Example 2.8.9. n次元ユークリッド空間Rⁿでは開球の閉包は閉球であり, 境界は球面 である, すなわちU_r(x)^a = B_r(x), U_r(x)^f = S_r(x). (ただしr >0.)

Proof. ^{例えば上の}Thm. 2.8.6^を使えば, Ex. 2.7.4^{と同様にして}Ur(x)^a = Br(x)^がわ

かる. 詳細は練習問題. U_r(x)^f = U_r(x)^a \U_r(x)^◦ = B_r(x)\U_r(x) より U_r(x)^f = Sr(x).

exercise 107. n = 2のとき, 上の等式Ur(x)^a = Br(x)を示せ. また, 距離空間におい て一般にUr(x)^a= Br(x)は成り立つか?

Example 2.8.10. 1次元ユークリッド空間R^{の部分集合}Q^について, Q^f =Q^a =R^で ある. 実際, Lem. 2.1.7およびThm. 2.7.11からQ^f =R^がわかる. 詳細は練習問題. exercise 108. 上の等式Q^f =Q^a=R^を示せ.

Theorem 2.8.11. A, B ⊂X を部分集合とするとき次が成り立つ. A1) A^a⊃A.

A2) (A∪B)^a =A^a∪B^a. A3) (A^a)^a =A^a.

A4) X^a =X, ∅^a =∅.

Proof. Thms. 2.7.7, 2.8.2を使えば

(A∪B)^a = (A∪B)^c◦c = (A^c∩B^c)^◦c = (A^c◦∩B^c◦)^c =A^c◦c∪B^c◦c =A^a∪B^a 等として示せる. もちろん別の方法もある.

Remark . 共通部分については, (A∩B)^a ⊂ A^a∩B^aが成り立つが等号は一般には成立 しない.

1 次元ユークリッド空間 R ^{の部分集合} A = [−1,0), B = (0,1] を考えると, A^a = [−1,0], B^a= [0,1]であるから,A^a∩B^a ={0}^だが(A∩B)^a =∅^a =∅.

もっと極端な例としては, Q, Q^c ⊂R^{を考えると}, ^{先にみたように}Q^f =Q^a =R. ^よっ てQ^cf =Q^f =R^だからQ^ca =R. したがってQ^a∩Q^ca =R. 一方(Q∩Q^c)^a =∅. exercise 109. 上の例の(0,1]^a = [0,1]を示せ.

exercise 110. (A∩B)^a ⊂A^a∩B^aを示せ. Theorem 2.8.12. X を集合とする.

写像(−)^a: P(X) → P(X)がThm. 2.8.11のA1〜A4 をみたすとする. このとき, 部 分集合A⊂X に対し,

Aが閉集合である⇔

defA =A^a

と定めることによりX に位相が入り, A^aはこの位相に関するAの閉包である.

また, 位相空間の閉包からこのようにして定めた位相はもとの位相と一致する.

問題集 . 80(1)-(5)（閉包を求めよ.）,157（閉包を求めよ.）なお,問題集ではAの閉包を Aと書いている.

（2015年度はパス）