Proof. 三角不等式より, 任意のa, x∈X に対し
−d(x, a)≤d(x0, x)−d(x0, a)≤d(x, a) (2.1) すなわち|d(x0, x)−d(x0, a)| ≤ d(x, a)であることがわかる. よって, 任意のε >0に対 し, δ =εとおくと, d(x, a)< δならば,
|dx0(x)−dx0(a)|=|d(x0, x)−d(x0, a)| ≤d(x, a)< δ =ε.
exercise 143. 不等式(2.1)を示せ.
Theorem 2.14.4. X, Y を距離空間とする. このとき
f: X → Y が a ∈ X で 連 続 ⇔ 点 a ∈ X に 収 束 す る 任 意 の 点 列 {xn} に 対 し
nlim→∞f(xn) =f(a).
つまり, f が連続であるということは, lim
n→∞ を中にいれることが出来る, すなわち
nlim→∞f(xn) =f (
nlim→∞xn
)
となるということである.
Proof. ⇒)f がa∈X で連続であり, 点列{xn}がaに収束するとする. f(a)の任意の近 傍V に対し,aの近傍U でf(U)⊂V となるものが存在する. このU に対し,あるN ∈N が存在し, n≥ N ならばxn ∈ U となる. したがってn≥N ならばf(xn) ∈f(U) ⊂V である. よってf(xn)→f(a).
⇐) Proposition 2.13.6 より ∀A ⊂ X : a ∈ Aa ⇒ f(a) ∈ f(A)a を示せばよい. A ⊂X,a ∈Aaとする. X は距離空間だから, Theorem.2.11.4.2より, Aの点列{an}で
nlim→∞an =aとなるものがある. 仮定より, lim
n→∞f(an) = f(a)である. {f(an)}はf(A) の点列だから, Theorem. 2.11.4.1より, f(a)∈f(A)a.
Remark . 証明を見るとわかるように, ⇒は任意の位相空間でよい. ⇐は, 点a∈X が可 算基本近傍系をもてばよい.
exercise 144. f(x, y) =x+y,g(x, y) =xyで与えられるユークリッド空間の間の写像 f, g: R2 →Rは連続である.
exercise 145. R,Rm,Rn をユークリッド空間, X を位相空間とし, pi: Rn →Rを第 i 成分への射影, すなわちpi(x1, . . . , xn) =xiで与えられる写像とする. 次を示せ.
1. pi は連続である.
2. f: X →Rnが連続⇔ すべてのiに対しpi◦f: X →Rが連続.
3. m≥n, 1 ≤i1 < i2 < · · ·< in ≤mとする. p(x1, . . . , xm) = (xi1, . . . , xin)で与 えられる写像p: Rm→Rn は連続.
4. B ⊂ Rn を部分空間, f: X → Bを写像とする. f がRnの座標を使って f(x) = (f1(x), . . . , fn(x))と表されるとき, f が連続⇔各fi: X →Rが連続.
問題集 . 85(2) 99 106
Example 2.14.5. (X, dX) を距離空間, (Y, dY)を有界, すなわち δ(Y) < ∞, である 距離空間とする. X からY への写像全体をF(X, Y), 連続写像全体をC(X, Y)で表す. f, g ∈F(X, Y)に対し, 実数d(f, g)を
d(f, g) = sup
x∈X
dY(f(x), g(x))
により定める(Y は有界だからd(f, g)<∞)と, dはF(X, Y)上の距離関数である. {fn} を F(X, Y) の点列, すなわち X から Y への写像の列とする. {fn} が上で定 めた距離に関して f ∈ F(X, Y) に収束するとき, {fn} は f に一様収束 (uniformly convergent) するという.
連続写像の列{fn}が写像fに一様収束するならば,f は連続である. よってCor2.11.5 より, この距離の定める位相に関してC(X, Y)はF(X, Y)の閉集合である.
Proof. 連続写像の列{fn}が写像f に一様収束するとき, f は連続であることを示す. a ∈X を任意の点とする. a ∈X でf が連続であること, すなわち, 任意のε >0に対 し, aのある近傍U が存在して, x ∈ U ならばdY(f(x), f(a)) < εとなることを示せば よい.
ε >0とする. {fn}はf に一様収束するので, あるN ∈Nが存在して, n≥N ならば d(fn, f)< ε/3となる. よって, 任意のx∈X に対しdY(fN(x), f(x))< ε/3である. fN は連続であるからaのある近傍U が存在して, x∈U ならばdY(fN(x), fN(a))< ε/3と なる. このU について, x∈U ならば
dY(f(x), f(a))≤dY(f(x), fN(x)) +dY(fN(x), fN(a)) +dY(fN(a), f(a))< ε.
exercise 146. 上のdがF(X, Y)上の距離関数であることを示せ. Definition 2.14.6. (X, dX), (Y, dY)を距離空間とする.
写像f: X → Y が一様連続(uniformly continuous) である⇔
def
任意のε > 0に対し, あるδ >0が存在して, dX(x, x′)< δならばdY(f(x), f(x′))< εとなる.
Remark . εに対しδがX の点によらずにとれる.
明かに一様連続ならば連続である.
exercise 147. 一様連続ならば連続であることを示せ.
Example 2.14.7. f: R → R を f(x) = x2 で 定 め る と, f は 一 様 連 続 で は な い. (Ex 2.14.2参照.)
Proof. 任意のδ >0に対し, x= 1/δとすると, |(x+δ/2))−x|=δ/2< δであるが,
|f(x+δ/2)−f(x)|= (
x+ δ 2
)2
−x2
=δx+ δ2 4
> δx= 1.
Example 2.14.8. X ⊃ A ̸= ∅とする. dA(x) = d(x, A)で定まる関数dA: X →Rは 一様連続である. とくにEx.2.14.3の関数dx0 は一様連続である.
Proof. 任意のx, y ∈ X と, 任意の a ∈ A に対しd(x, y) +d(y, a) ≥ d(x, a) ≥ d(x, A), すなわち d(x, y) +d(y, a) ≥ d(x, A) だから, d(x, y) +d(y, A) ≥ d(x, A)が成り立つ. よって d(x, y) ≥ d(x, A)−d(y, A). xとyを入れ換えてd(x, A)−d(y, A) ≥ −d(x, y).
よって
|dA(x)−dA(y)|=|d(x, A)−d(y, A)| ≤d(x, y).
問題集 . 97 103(1)(2)