O′ を X × Y の位相で pX: (X × Y,O′) → X, pY : (X × Y,O′) → Y がど ち ら も 連 続 で あ る も の と す る. O ≤ O′ で あ る こ と を 示 そ う. O は B = {U ×V U ∈ OX, V ∈ OY} が生成する位相, すなわち, B を含む最弱の位相 であったから, B ⊂ O′ であることを示せばよい. U ∈ OX, V ∈ OY とすると, 仮 定からp−X1(U), p−Y1(V)∈ O′ である. よって
U ×V = (U ×Y)∩(X×V) =p−1X (U)∩p−1Y (V)∈ O′.
2. 一般に和集合の像は像の和集合であることに注意すれば, 開基の元の像が開集合で あることを示せばよいが, pX(U ×V) =U, pY(U ×V) =V であるからあきらか. 3. 連続写像の合成は連続なので⇒はあきらか.
pX ◦f, pY ◦f がどちらも連続であるとする. X ×Y の開集合のf による逆像 が Z の開集合であることを示せばよいが, 一般に和集合の逆像は逆像の和集合 であり, 共通部分の逆像は逆像の共通部分であることに注意すれば, 準基の元の 逆像が開集合であることを示せばよい. U ∈ OX, V ∈ OY とすると, 仮定から (pX ◦f)−1(U),(pY ◦f)−1(V)∈ OZ である. よって
f−1(U ×V) =f−1((U ×Y)∩(X ×V))
=f−1(U ×Y)∩f−1(X ×V)
=f−1(
p−X1(U))
∩f−1(
p−Y1(V))
= (pX ◦f)−1(U)∩(pY ◦f)−1(V)∈ OZ.
exercise 150. 対角線写像∆ : X →X×X は連続である.
exercise 151. pX: X ×Y →Xが閉写像とはならない例を挙げよ.
exercise 152. y0 ∈Y とする. 写像iy0: X →X× {y0}をiy0(x) = (x, y0)により定め る. iy0 は同相写像であることを示せ. ただし,X× {y0}にはX×Y からの相対位相をい れる.
exercise 153. X1, X2, Y1, Y2 を位相空間とする.
1. fi: Xi → Yi を連続写像とする. このとき, (f1×f2) (x1, x2) = (f1(x1), f2(x2)) で与えられる直積空間の間の写像
f1×f2: X1×X2 →Y1×Y2 は連続である.
2. X1とY1, X2とY2が同相であればX1×X2 とY1 ×Y2は同相である.
exercise 154. (0,1) × [0,1) と [0,1] × [0,1) は 同 相 で あ る こ と を 示 せ. た だ し (0,1),[0,1),[0,1]⊂Rは1次元ユークリッド空間の部分空間.
Remark . (0,1)と[0,1]は同相ではない(後の節参照). X×Z とY ×Zが同相であって も, X とY が同相になるわけではない. 別の言い方をすれば, X とY は同相ではないが, X×Z とY ×Z が同相となることもある.
問題集 . 196, 197, 198, 199
Definition 3.2.4. {(Xλ,Oλ)}λ∈Λを位相空間の族とする. 直積集合∏
λ∈ΛXλに, 部分
集合の族 ∪
λ∈Λ
{p−λ1(O) O∈ Oλ
}
が生成する位相(この位相を直積位相 という)をいれた位相空間を, 族{(Xλ,Oλ)}λ∈Λの 直積空間または弱位相による直積空間という. ただしpλ: ∏
Xλ →Xλは標準的射影. 直積集合には普通とくにことわらなければ直積位相をいれる.
Proposition 3.2.5.
B= {∏
λ∈Λ
Aλ
ある有限集合L⊂Λが存在して, λ∈LならばAλ∈ Oλ, λ̸∈LならばAλ=Xλ
}
は直積位相の開基である. Proof. ∪
λ∈Λ
{p−1λ (O) O∈ Oλ
}の元の有限個の共通部分としてあらわされる部分集合 全体がBである.
問題集 . 193, 194 Remark . 直積集合∏
λ∈ΛXλには, Bbox :=
{∏
λ∈Λ
Oλ ∀λ∈Λ : Oλ ∈ Oλ
}
が生成する位相（これを箱位相(box topology) という）をいれることもできる. Λが有 限集合の場合は箱位相と直積位相は一致するが, 一般には箱位相の方が直積位相よりも強 い. 一般には箱位相では問題集194(4),(5)に相当することが成立しない.
Definition 3.2.6. {(Xλ,Oλ)}λ∈Λ を位相空間の族とする. 非交和X = ⨿
λ∈ΛXλ に, 位相
O ={O⊂X ∀λ∈Λ : O∩Xλ∈ Oλ}
= {
O= ⨿
λ∈Λ
Oλ Oλ∈ Oλ
}
をあたえた位相空間(X,O)を族{(Xλ,Oλ)}λ∈Λの位相和という. Theorem 3.2.7. X = ⨿
λ∈ΛXλ を位相和, iλ: Xλ → X を標準的包含写像とする. 位 相和の位相は, 全てのiλが連続となるような最強の位相である.
Proof. Oを位相和の位相とする. あきらかにiλ: (X,Oλ)→(X,O)は連続である. 実際, O ∈ Oとすると, i−1λ (O) =O∩Xλ ∈ Oλ.
O′をX の位相で, 任意のλ∈Λに対しiλ: (X,Oλ)→(X,O′)が連続であるものとす る. O′ ≤ Oであることを示そう. O∈ O′とする. 各λ ∈Λに対し, O∩Xλ=i−λ1(O)∈ Oλであるから, O ∈ Oである.
exercise 155. iλは開写像かつ閉写像である. exercise 156. 各XλはX =⨿
Xλの開かつ閉集合である.
exercise 157. R を １ 次 元 ユ ー ク リ ッ ド 空 間 と し, R の 部 分 空 間 A, B を A = {x∈R x >0}, B = {x∈R x≤0} に よ り 定 め る. こ の と き, 恒 等 写 像 id : A⨿
B→Rは連続であるが, 同相写像ではない. （実は位相和A⨿
B とRは同相で はないこともわかる.）
exercise 158. (X,O)を位相空間とする. 集合として X = ⨿
Xλ と非交和に分かれて いるとし, 各XλにOからいれた相対位相をOλとする. このとき,
O が族{(Xλ,Oλ)}の位相和の位相である⇔ 任意のλに対しXλ が(X,O)の開集合 である.
問題集 . 195