稠密 , 全疎

Definition 2.10.1. X を位相空間, A⊂X を部分集合とする. AがX で稠密(dense) である ⇔

defA^a=X.

Definition 2.10.2. ある可算部分集合が存在して, それがX で稠密であるとき, Xは可 分(separable) ^{であるという}.

Proposition 2.10.3. A^がX ^で稠密

⇔ ^任意のx ∈Xと, xの任意の近傍U に対し, U ∩A̸=∅

⇔ ^{空でない任意の開集合}Oに対し, O∩A̸=∅.

Proof. 最初の同値はThm. 2.8.6よりあきらか. 2つ目の同値は,

⇒) Oを空でない開集合とする. x ∈Oをひとつとる. Oはxを含む開集合だからxの 近傍. よって仮定からO∩A̸=∅.

⇐) x ∈ X とする. U をxの近傍とすると, x ∈ O ⊂ U となる開集合Oが存在する. x∈OだからO̸=∅. よって仮定よりO∩A̸=∅. したがってU ∩A̸=∅.

exercise 118. 1. 上の最初の同値を説明せよ.

2. A^がX^で稠密⇔ ^任意のx∈X ^と, ^任意のU ∈ U^∗(x)^に対し, U∩A̸=∅. ^ただし U^∗(x)はxの基本近傍系.

exercise 119. x∈XがXの集積点⇔X\{x}^がXで稠密. (cf. Prop.2.9.4, exe.115) Corollary 2.10.4. A, B ⊂ X をX で稠密な部分集合で, B は開集合だとする. このと きA∩BもXで稠密である.

Proof. Oを空でない開集合としたとき, O∩(A∩B)̸=∅であることを示せばよい. 仮定 からBは稠密なので, O∩B ̸=∅. O, Bは開集合だからO∩Bは空でない開集合である. Aは稠密だから(O∩B)∩A̸=∅.

帰納法で容易に次がわかる.

Corollary 2.10.5. A ⊂X をX で稠密な部分集合, O1, . . . , On ⊂ X をX で稠密な開 集合とする. ^このときA∩(∩n

i=1Oi)^もX^{で稠密である}. ^とくに∩n

i=1OiもX ^で稠密で ある.

Example 2.10.6. 1次元ユークリッド空間R^においてQ^{は稠密ゆえ}, R^は可分. Q,Q^{c は}R^{で稠密であるが}Q∩Q^c =∅^{は稠密ではない}.

Example 2.10.7. X を離散位相空間とする. このとき任意のA ⊂X についてA^a =A であるからX が可算集合でなければXは可分ではない. とくにR^{に離散距離をいれたも} のは可分ではない.

Example 2.10.8. n次元ユークリッド空間R^{n の部分集合} Qⁿ ={(x1, . . . , xn) xi ∈Q(∀i)} ⊂Rⁿ は稠密だからR^{n は可分}.

Proof. 任意のx = (x₁, . . . , x_n)∈ R^nと, 任意の ε >0に対し, Lem. 2.1.7より全てのi に対し(xi−ε, xi+ε)∩Q̸=∅. よって

( _n

∏

i=1

(xi−ε, xi+ε) )

∩Qⁿ ̸=∅. よってx∈(Qⁿ)^a. (cf. Ex. 2.6.8.)

Example 2.10.9. Ex. 2.2.9^のR^{∞ の部分集合}A^{を次で定める}.

A={(x₁, . . . , x_k,0,0, . . .) x_i ∈Q(1≤i≤k), k∈N}

すなわちAの元は, はじめの有限個は有理数, 残りは全て0であるような実数列. このと きAは可算集合でありR^{∞ で稠密である}. よってR^∞は可分.

Proof. k ∈N^に対して

Ak ={(x1, . . . , xk,0,0, . . .) xi ∈Q(1≤i≤k)}

とおくと, 集合としてAk∼=Q^{k であり}, A =∪^∞_k=1Akだから, Aは可算集合である. x= (x1, x2, . . . ,)∈R^{∞ とする}. ∀ε >0^に対しUε(x)∩A̸=∅^{であることを示す}. ε >0とする. k ∈N^{を十分大きくとると}

∑∞ i=1

x²_i −

∑k i=1

x²_i < ε² 2 と な る. y1, . . . , yk ∈ Q ^を |yi − xi| < ^√ε

2k と な る よ う に と る. こ の と き y = (y1, . . . , yk,0,0, . . .)∈Aとxの距離は

d(x, y) = vu ut∑^∞

i=1

(xi−yi)² = vu ut∑^k

i=1

(xi−yi)²+

∑∞ i=k+1

x²_i <

√ kε²

2k + ε² 2 =ε.

よってy∈Uε(x)となり, Uε(x)∩A̸=∅. したがってx ∈A^a.

Definition 2.10.10. A, B ⊂X とする. AがBにおいて稠密⇔

defA^a ⊃B.

Example 2.10.11. R^を1次元ユークリッド空間とする.

1. (0,1)⊂(0,1]⊂R^について, (0,1)^a = [0,1]⊃(0,1]だから, (0,1)は(0,1]におい て稠密.

2. Q,Q^c ⊂R^について, Q^a=R ⊃Q^c, Q^ca =R⊃ Q^だから, Q^はQ^{c において}, Q^c はQ^{においてそれぞれ稠密}.

Definition 2.10.12. A ⊂Xとする. Aが全疎(nowhere dense) ⇔

def(A^a)^◦ =∅.

Proposition 2.10.13. Aが全疎⇔ A^eがX で稠密. Proof.

(A^a)^◦ = (A^a)^cac =A^acac = (A^ac)^ac = (A^e)^ac = (A^ea)^c だから,

Aが全疎⇔(A^ea)^c = (A^a)^◦ =∅

⇔A^ea =X

⇔A^eが稠密.

Proposition 2.10.14. A^が全疎⇔^{任意の空でない開集合}O⊂ X ^に対し, O^に含まれ る空でない開集合O^′ ⊂Oで, O^′∩A=∅^{となるものが存在する}.

Proof. Prop. 2.10.13, Prop. 2.10.3より, Aが全疎⇔A^e が稠密⇔^{任意の空でない開集} 合O⊂X に対しO∩A^e ̸=∅^{であることに注意}.

⇒) O^′ =O∩A^e とおくと, 上の注意からO^′は空でない. またA^eは開集合なのでO^′ も開集合で, あきらかにOに含まれる. O^′ ⊂A^e⊂A^cだからO^′∩A=∅.

⇐) O を空でない開集合とする. O∩A^e ̸= ∅^{を示せばよい}. 仮定より, 空でない開集 合O^′ ⊂ OでO^′ ∩A = ∅^{となるものが存在する}. O^′ はA と交わらない開集合だから O^′ ⊂A^e. よって, O∩A^e⊃O^′ ̸=∅.