次元のベクトルとその演算

(1)

1 3

次元のベクトルとその演算

1.1 ベクトルとスカラー^¨_§香中p.2^¥_¦

始点を

O,

終点を

P

とする矢印を, ベクトル

−→

OP

という.

A=−→

OP

などとかく.

この矢印のように, 大きさと方向の両方のある量をベクトルという.

大きさだけのある量を, ベクトルに対してスカラーという.

大きさと向きが両方等しければ, (始点が違っても) ベクトルは等しい. つまり, 平行移動して重なるようなベクトルは等しい.

A=−→

OP =−→

QR.

ベクトルの例: 風

(風向きと風力).

スカラーの例: 温度.

記号の使い方

•

ベクトルは

r

や

A

のような傾いた太い字

(または~r

のように) で表わす.

•

スカラーは

r

のような傾いた細い字で表わす.

•

点の名前や単位は

O,P,Q,R, m, kg

のように立った細い字で表す.

1.2 ベクトルの演算^¨_§香中p.3^¥_¦

¨

§

¥ 和達p.21¦

ベクトルの和

一般に, ベクトル

C =A+B

とは,

A

と

B

を

2

辺とする平行四辺形の対角線のベクトル.

ベクトルとスカラーの積

ベクトル

A

とスカラー

c

の積

B=c×A

は, ベクトルであり,

•

大きさは

A

の

|c|

倍.

•

向きは,

c >0

なら同じ向き

c <0

なら逆向き.

c = 0

なら, あとで出て

くるゼロベクトルになる.

ベクトルのスカラー倍ともいう.

A

B A+B

-A A 2A

0

(2)

ベクトルの差

ベクトル

A

とベクトル

B

の差

C =A−B

とは, ベクトルであり,

C =A−B =A+ ((−1)×B) (2.1)

ゼロベクトル

A−A

や, 0

×A

は, ゼロベクトル

0

である.

ゼロベクトルは, 大きさは

0

で, 向きはない.

0×A= 0×B=A−A=B−B=0. (2.2)

ベクトル, スカラーについては, 普通の数であるかのように展開して計算してよい.

例: 2(3A

−B) = −2B+ 6A.

1.3 ベクトルの座標表示^¨_§^香中^p.9^¥_¦

ベクトルを, やっぱり, 絵じゃなく数字で表わしたい!

図のように, 原点

O

で垂直に交わる

x-軸, y-軸を平面に描く. x-軸, y-軸には向きがあり, x-座

標,

y-座標がある. x-軸, y-軸に垂線を下ろして x-座標,y-座標をよみとる.

この

A=



2 3



=



A_x A_y



 x-成分 y-成分

(2.3)

をベクトルの座標表示または成分表示という. 2 を

x

成分, 3 を

y

成分という.

横に

A= (2,3)

のように書くこともある.

x y

O

A=

( )

²₃

+2

-2

-2 +2

P

(3)

成分で書いたベクトルの和とスカラー倍

ベクトル

A=



 A_x Ay



, B=



 B_x By



 (3.4)

とスカラー

c

に対して,

A+B=



 A_x+B_x A_y +B_y



 c×A=



 c×A_x c×A_y



 (3.5)

である.

x y

O A

B

A+B

-A

1.4 3次元の座標系^¨_§和達p.22^¥_¦¨

§

¥ 香中p.13¦

互いに直交する

x,y,z

の

3

つの座標軸を使う.

3

次元のベクトル

A

の始点を原点に置いたとき, 終点の座標を

A

の

x, y, z

成分といい,

Ax, Ay, Az

と書く.

A=





 A_x A_y A_z







x-成分 y-成分 z-成分

(3.6)

ふつうは, 右手を開いたときの親指方向を

x,

人指し指方向を

y,

中指方向を

z

軸の正の方向にとる. (右手座標系と呼ぶ．通常こちらを使う．)

左手を使うと, z軸の向きが逆になる. (左手系と呼ぶ．特に理由がなければ使わない．)

(4)

1.5 基本ベクトル _§^香中^p.14_¦

単位ベクトル

:

大きさが

1

のベクトル.

x,y,z

軸の正の向きの単位ベクトルを基本ベクトルと

いい,

i=





 1 0 0





, j =





 0 1 0





, k=





 0 0 1





 (4.7)

と書く. これらを用いると,

A=





 A_x Ay

A_z





=A_xi+A_yj+A_zk. (4.8)

x, y, z

軸を右親人中指にとるとき, ベクトルの

3

個組

hi,j,ki

は右手系だという.

hi,j,−ki

は右手系じゃない.

1.6 内積(スカラー積) ^¨_§香中p.4^¥_¦

ベクトル

A

の大きさ

(長さ,

絶対値) を

|A|

と書く

(絶対

値と同じ記号).

|A|

はスカラー

(実数).

2

つの

3

次元ベクトル

A,B

に対して, 次の式で計算されるスカラー

A·B

のことを内積という.

A·B =|A| × |B| ×cosθ. (4.9)

ベクトル

A,B,C,

スカラー

c

に対して, 普通の数であるかのように,

(2A+B)·A= 2A·A+A·B

のように展開したりしてよい.

基本ベクトル

i,j,k

は互いに直交していて大きさ

1

なので,

i·i=j ·j =k·k= 1. (4.10)

i·j =j·k=k·i=j·i =k·j =i·k= 0. (4.11)

(5)

内積

A·B

の成分表示

_§香中p.16_¦

A·B =(A_xi+A_yj +A_zk)·(B_xi+B_yj +B_zk)

=(A_xB_xi·i+A_xB_yi·j +A_xB_zi·k) +(A_yB_xj·i+A_yB_yj ·j+A_yB_zj ·k) +(A_zB_xk·i+A_zB_yk·j+A_zB_zk·k)

=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z

(5.12)

仕事

(スカラー)

は, 力

(ベクトル)

と変位

(ベクトル)

の内積.

ベクトルの大きさ

(内積の使い道1)

[b]

三平方の定理を

2

回使うと, ベクトル

A

の絶対値

|A|

は

|A|² =

³q

A²_x+A²_y

´₂

+A²_z = A²_x+A²_y +A²_z =A·A (5.13)

[t]

内積の使い道

2:

ベクトル

A

と

B

のなす角度内積の定義の式

(4.9)

を逆に使うと,

cosθ= √ A·B A·A×

√B·B (5.14)

で, ベクトル

A

と

B

のなす角度

θ

が計算できる.

(例題1) A=

³1 10

´ ,B =

³0 11

´

とする.

A·B,|A|,

および

A,B

のなす角

θ

は?

(6)

1.7 外積(ベクトル積) _§香中p.6_¦

2

つの

3

次元ベクトル

A,B

に対して, 次の式で表わされるベクトル

C =A×B

のことを外積という.

この記号

‘×’

は新しい記号.

(実数のふつうの ‘かける’

とたまたま同じ文字だが意味は異なる).

C =A×B =|A| |B|(sinθ) ˆC (6.15)

ただし, ˆ

C

は,

A

と

B

の両方に垂直な単位ベクトルで,

hA,B,Ciˆ

が右手系をなすようなもの.

別の言い方:

C ⊥ A, C ⊥ B

で,

C

の向きは,

A

から

B

に回る右ねじが進む向き.

大きさは

|C|=|A||B|sinθ=A,B

のはる平行四辺形の面積.

外積

(ベクトル積)

と内積

(スカラー積)

を混同しないよう注意

A×B :

ベクトル

, A·B :

スカラー

(6.16)

A×A=0 , A·A=|A|² (6.17)

A×B =−B×A , A·B =B·A (6.18)

( )

をはずすときはふつうの数であるかのように展開してよい.

計算例

(A+B)×A=A×A+B×A=0−A×B (6.19)

基本ベクトルの間の外積

i×i=0, j×j =0, k×k=0. (6.20) i×j = +k, j×k= +i, k×i = +j, (6.21) j×i=−k, k×j =−i, i×k=−j. (6.22)

i,j,k

が循環的

(cyclic)

に入れ替わってることに注意.

i→j →k→i.

(7)

外積

A×B

の成分表示

_§香中p.16_¦

A×B

=(A_xi+A_yj+A_zk)×(B_xi+B_yj +B_zk)

=(A_xB_xi×i+A_xB_yi×j+A_xB_zi×k) + (A_yB_xj×i+A_yB_yj×j +A_yB_zj ×k) + (A_zB_xk×i+A_zB_yk×j+A_zB_zk×k)

= (A_yB_z−A_zB_y)i+ (A_zB_x−A_xB_z)j+ (A_xB_y −A_yB_x)k.

(7.23)

x, y, z

が循環的に入れ替わってることに注意.

x→y→z →x.

覚え方

A×B= =







¯¯

A_y A_z B_y B_z

¯¯

A_z A_x B_z B_x

¯¯

A_x A_y B_x B_y

¯¯







=







Ay Bz−Az By

A_z B_x−A_x B_z Ax By −Ay Bx







(例題2)

A=





 2 3 0





, B =







−1

−4 +5







に対して, 外積

B×A

を計算しよう.

フレミングの左手の法則やローレンツ力は, 外積で簡単に書ける:

F =I ×B, F =q(E+v×B).

(8)

2

内積と力のバランス

内積の直観的な意味

→

射影力はベクトル

^¨_§香中p.3^¥_¦

F

F F=F +F

1

2 1 2

F F F

F F

n

1 3 2

4

力は向きと大きさを持ち, ベクトルで表される. 大きさの単位はニュートン

N=kg· m/s².

物体に, 2 つの力

F₁

と

F₂

が同時にはたらいているのは, 1 つの力

(

合力

) F =F₁+F₂

がはたらいているのと同じこと.

物体にはたらくすべての力の合力が

F =F₁ +F₂+· · ·F_n =0 (8.1)

のとき, 力はつりあっている

,

あるいはつりあいの状態にあるという. このとき, 止まっていた物体は止まったまま.

ベクトルの和と綱引き

図の場合,

F₁+F₂ =0

のときつりあっている.

力の大きさ

f₁, f₂(>0)

で書くと,

f1 =f2

つまり

f1−f2 = 0 (8.2)

がつりあいの条件.

f f

F F

1

1 2

2

x

f1

と

F1

の関係

f₁ =|F₁|(>0), f₂ = (>0), (8.3)

F₁ = ,F₂ =





 +f₂

0 0





. (8.4)

力

F₁,F₂

はベクトル, 力の大きさ

f₁, f₂

はスカラー.

(9)

(例題3)

マルチ綱引きの

4

チームが,

F1,F2,F3,F4

の力で引いたところ, つりあいの状態になって綱は動かなかった.

F₁ =





 1 3 0





, F₂ =







−2 2 0





, F₃ =





 1

−4 0





 (9.1)

のとき,

F4

を求めよう. いちばん力の大きいチームはどれ?

F F F

F F

n

1 3 2

4

(10)

ベクトルの内積と列車の綱引き

線路上しか動けない列車に綱をつけて綱引き

F₁

を線路に平行なベクトル

F_1k

と垂直なベクトル

F_1⊥

に分解して考える.

F₁ =F_1k+F_1⊥ (10.1)

列車の動きに関係あるのは線路に平行なベクトル

F_1k

だけ. 列車が動かないためには,

F_1k+F_2k =0つまりF_1k =−F_2k (10.2)

であればいい. 両辺の絶対値をとると,

|F₁|cosθ=|F₂|cos(π−φ). (10.3)

この条件は内積を使うともっと簡単に書ける!

u F

F

1

2 θ φ π−φ

A

線路に平行な

(単位ベクトルと限らない)

ベクトルを

A

とする.

ベクトル

F

の, ベクトル

A

の向きの成分は,

F ·u=|F|cosθ

ただし,

u= ¹

|A|A

は

A

と同じ向きの単位ベクトル.

線路上しか動けない列車のつりあいの条件は

F ·u = (F₁+F₂+· · ·F_n)·u = 0 (10.4)

つまり, 合力

F

の, (線路に平行な) ベクトル

A

の向きの成分が

0

になること. 成分

F ·u

は, 合力が

A

の向きにどれだけはたらくかを表す量.

上の力

2

個の場合に, この条件は,

|u|= 1

より,

0 = (F1+F2)·u =F1·u+F2·u=|F1||u|cosθ+|F2||u|cosφ

=|F1|cosθ− |F2|cos(π−φ).

(10.5)

たしかに同じ条件になっている!

【注意】:

F_1k = (F₁·u)u (10.6)

(11)

(例題4)

まっすぐな線路が, ベクトル

A=





 1

−2 0







に平行に走っている.

1.

線路に平行な単位ベクトル

u

を求めよう.

2.

列車に力

F1 =





 2 0 0





,F2 =







−1 1 0







が加わっている. 線路に平行な力

F3

を加えて列

車を動かないようにするには,

F₃

はどのようなベクトルであればいいか考えよう.

3.

力の大きさ

|F₃|

を求めよう.

(答1) |A|=p

1 + (−2)² =√ 5

より

u = 1

√5

³

1, −2,0

´

(11.1) (−1

倍も可)

(答2,3) F₁+F₂ =

³

1, 1,0

´

より

(F₁+F₂)·u=− 1

√5

となる．

従って，F

₃ =Fu

とおくと, 線路に平行な力の成分のつりあいの式

0 = (F₁+F₂+F₃)·u= (F₁+F₂)·u+F u·u =− 1

√5+F (11.2)

より

F =

√5

5

となる．つまり, 力の大きさは

√5

5

であり

F₃ = 1 5





 1

−2 0





. (11.3)

となる．

ポイント

1: A

の向きの単位ベクトルは

u= 1

|A|A.

ポイント

2: fu

の大きさは

|f|.

(12)

力以外にも

‘何とか向きの成分’

は使える

(例題5)

北が

y

軸の正の向き, 東が

x

軸の正の向き, 上が

z

軸の正の向きであるような右手系をとる。

1.

南向きの単位ベクトルを成分表示で書こう。

2.

北西向き

(北と西の中間45^◦

の向き) の単位ベクトルを成分表示で書こう。

3.

北西向きに

3km

進んだ。これは, 北向きにはどれだけ進んだことになる?

4.

北向きに

2km,

次に東向きに

1km

進んだ。これは, 北西向きにはどれだけ進んだことになる?

(答)

1. s=

³

0, −1, 0

´

2. u= 1

√2

³

−1,1, 0

´

3. 3u·

³

0,1, 0

´

= 3

√2 4.

³

1, 2, 0

´

·u= 1

√2

内積

A·B

のイメージ

A

と

B

の協力度みたいなもの

• 2

つのベクトルの向きが近いほど正で大きい. cos 0 = 1

• 2

つのベクトルの向きが反対だと負. cos

π=−1

• 2

つのベクトルの向きが直交してると零. cos

^π₂ = 0. A·B= 0.

•

仕事

(スカラー)

は, 力

(ベクトル)

と変位

(ベクトル)

の内積.

• B·u =B· A

|A|

は,

B

の

A

向き成分.

x y

i

A

Ai u

Au

(Ai) (Au)u

. .

L

i

i,u

は単位ベクトル.

A·i:

ベクトル

A

の

x

成分

(i

向きの成分)

(A·i) i:

ベクトル

A

の

x

軸への射影

.

A·u:

ベクトル

A

の

(有向)

直線

L

成分

(u

向きの成分)

(A·u) u:

ベクトル

A

の直線

L

への射影

.

(13)

3

回転のバランスと外積

,

ベクトル

3

重積

やじろべえ

¨

§

¥ 香中p.5,7¦

右の図のような原点で支えられたやじろべえが回転しな

い

(つりあいの状態にある)

条件は,

|F₁|:|F₂|=|r₂|:|r₁|. (13.1)

じゃあ, 斜めに引っ張る場合は?

x

y z

F

F r ¹ r

1 2

2

1

N

F₁

を,

r₁

に平行, 垂直に分解して得られるベクトルを

F_1k, F_1⊥

とする.

垂直なベクトル

F_1⊥, F_2⊥

がやじろべえの動きに効く.

回転についてのつりあいの条件は

|F_1⊥|:|F_2⊥|=|r₂|:|r₁|. (13.2)

つまり

|F₁|sinθ:|F₂|sinφ=|r₂|:|r₁|. (13.3)

y

x z

F

r r

1 2

2

1 θ

φ

実は, これはベクトルの外積を使うと便利に書ける.

^¨_§香中p.7^¥_¦

n

個の力がはたらいているとき,

N₁ =r₁×F₁, N₂ =r₂×F₂,· · · ,N_n =r_n×F_n (13.4)

とおく. これらを, (原点のまわりの) 力のモーメントという.

単位はニュートンメートル

N·m.

原点のまわりの回転についてのつりあいの条件は, 原点のまわりの力のモーメントの和がゼロになること:

N =N₁+N₂+· · ·N_n =0 (13.5)

上の

n = 2

個の力の場合には,

N =r₁×F₁+r₂×F₂ =0.

ここで, 外積の定義を使う.

(14)

0=|r₁||F₁|(sinθ)(−i) +|r₂||F₂|(sinφ)(+i)

=(−|r₁||F₁|sinθ+|r₂||F₂|sinφ)i

よって, 同じ式

|F₁|sinθ :|F₂|sinφ =|r₂|:|r₁|. (14.1)

が得られた.

やじろべえの回転する向き

N =r₁×F₁ +r₂×F₂

=





 0 2 0





×





 0 0

−1





+





 0

−1 0





×





 0 0

−3







=





 1 0 0





6=0

(14.2)

で, つりあっていないので回転する. でも, どっちに?

x

y z

F

r r

1 2

2

1

回転の向き

•

回転軸は

N

に平行.

•

回転の向き

(図で,

時計回りまたは反時計回り) は,

N

向きに進む右ねじの回る向き.

3

次元やじろべえと外積

x

y z

F F

r

1 2

3

r1

r3

F²

立体的なやじろべえのときも同じ.

N =0

ならつりあってる. (回転しない．)

N 6=0

なら,

•

回転軸は

N

に平行.

•

回転の向き

(図で,

時計回りまたは反時計回り) は,

N

向きに

進む右ねじの回る向き.

· · ·

右ねじの向き

(15)

外積

A×B

のイメージ

A

と

B

のはった網みたいなもの

• 2

本の棒

A,B

を使って網を張るような感じ.

•

網の正対する向きが

C =A×B

の向き. (表裏あり)

•

網の面積, つまり平行

4

辺形の面積が

|C|=|A×B| . 2

本の棒が違う方向を向いてるほうがたくさん魚がとれる.

•

フレミングの左手の法則とか, これで簡単に書ける.

F =I ×B.

スカラー

3

重積

^¨_§香中p.7^¥_¦

B×C

はベクトル. ということは,

A·(B×C)

はスカラーになる. これをスカラー

3

重積という.

下の図から, 絶対値

|A·(B×C)|

は,

A,B,C

を

3

辺とする平行

6

面体の体積

.

体積だから,

A,B,C

を循環的に変えても等しい.

A·(B×C) = B·(C×A) = C·(A×B) =−C·(B×A) . (15.1)

(16)

(例題6-1)

ベクトル

A= (0, 0, 1), B = (1, 1, 1), C = (1, −1, 1)

とする.

1. B,C

を

2

辺とする平行

4

辺形の面積を求めよう.

2. A,B,C

を

3

辺とする平行

6

面体の体積を求めよう.

(答)

1. B×C = (2, 0, −2)

なので，平行

4

辺形の面積は

|B×C| = p

2²+ (−2)² = 2√ 2

となる。

2.

スカラー

3

重積

A·(B×C) =−2

より平行

6

面体の体積は

|A·(B×C)|= 2

となる。

(例題6-2)

原点を中心に回転するやじろべえを考える。

r₁ = (0,2, 1)

の点に力

F₁ = (0, 2, −1)

を,

r2 = (0, −1,0)

の点に力

F2 = (0, −1, −2)

を加える。

右の図

(ベクトルは正確ではありません)

のように

x

軸の

正の向きから見たとき, やじろべえは時計回り, 反時計回りどちらに回るか考えよう。

y

x z

F

r r

1 2

2

1 θ

φ

(答)

N1 =r1×F1 = (−4, 0, 0), N2 =r2×F2 = (2, 0, 0) (16.1)

より，N

₁+N₂ = (−2, 0, 0)

は

x

次元のベクトルとその演算

次元のベクトルとその演算

始点 を

終点 を

とする矢印を, ベクトル

という.

などとかく.

この矢印のように, 大きさと方向の両方のある量を ベクトル という.

大きさだけのある量を, ベクトルに対して スカラー という.

大きさと向きが両方等しければ, (始点 が違っても) ベクトルは等しい. つまり, 平行移動 して重なるようなベクトル は等しい.

ベクトルの例: 風

スカラーの例: 温度.

記号の使い方

ベクトルは

や

のような傾いた太い字

のように) で表わす.

スカラーは

のような傾いた細い字で表わす.

点の名前や単位は

のように立った細い字で表す.

ベクトルの和

一般に, ベクトル

とは,

と

を

辺とす る平行四辺形の対角線のベクトル.

ベクトルとスカラーの積

ベクトル

と スカラー

の積

は, ベクトル であり,

大きさは

の

倍.

向 き は,

なら同じ向き

なら逆向き.

なら, あとで出て

くるゼロベクトルになる.

ベクトルのスカラー倍ともいう.

ベクトルの差

ベクトル

とベクトル

の差

とは, ベクトルであり,

ゼロベクトル

や, 0

は, ゼロベクトル

である.

ゼロベクトルは, 大きさは

で, 向きはない.

ベクトル, スカラーについては, 普通の数であるかのように展開して計算してよい.

例: 2(3A

ベクトルを, やっぱり, 絵じゃなく数字で表わしたい!

図のように, 原点

で垂直に交わる

標,

この

を ベクトルの座標表示 または 成分表示 という. 2 を

成分, 3 を

成分という.

横に

のように書くこともある.

( )

成分で書いた ベクトルの和とスカラー倍

ベクトル

とスカラー

に対して,

である.

互いに直交する

の

つの座標軸を使う.

次元のベクトル

の始点を原点に置いたとき, 終点の 座標を

の

成分といい,

と書く.

ふつうは, 右手を開いたときの親指方向を

人指し指方向を

始点を

終点を

この矢印のように, 大きさと方向の両方のある量をベクトルという.

大きさだけのある量を, ベクトルに対してスカラーという.

大きさと向きが両方等しければ, (始点が違っても) ベクトルは等しい. つまり, 平行移動して重なるようなベクトルは等しい.

辺とする平行四辺形の対角線のベクトル.

とスカラー

は, ベクトルであり,

向きは,

をベクトルの座標表示または成分表示という. 2 を

成分で書いたベクトルの和とスカラー倍

の始点を原点に置いたとき, 終点の座標を

軸の正の方向にとる. (右手座標系と呼ぶ．通常こちらを使う．)

軸の正の向きの単位ベクトルを基本ベクトルと

は右手系だという.

は右手系じゃない.

に対して, 次の式で計算されるスカラー

のことを内積という.

のなす角度内積の定義の式

のことを外積という.