1 3

1 3 次元のベクトルとその演算

1.1

ベクトルとスカラー

香中

始点 を

終点 を

とする矢印を, ベクトル

OP

という.

OP

などとかく.

この矢印のように, 大きさと方向の両方のある量を ベクトル という.

大きさだけのある量を, ベクトルに対して スカラー という.

大きさと向きが両方等しければ, (始点 が違っても) ベクトルは等しい. つまり, 平行移動 して重なるようなベクトル は等しい.

A=−→

OP =−→

QR.

ベクトルの例: 風

スカラーの例: 温度.

記号の使い方

•

ベクトルは

や

のような傾いた太い字で

や

のように矢印をつけて) 表 わす.

•

スカラーは

のような傾いた細い字で表わす.

•

点の名前や単位は

のように立った細い字で表す.

1.2

ベクトルの演算

^香中

^和達

ベクトルの和

一般に, ベクトル

とは,

と

を

辺とす る平行四辺形の対角線のベクトル.

ベクトルとスカラーの積

ベクトル

と スカラー

の積

は, ベクトル であり,

•

大きさは

の

倍.

•

向 き は,

なら同じ向き

c <0

なら逆向き.

なら, あとで出て

くるゼロベクトルになる.

ベクトルのスカラー倍ともいう.

A

B A+B

- A A 2A

0

ベクトルの差

ベクトル

とベクトル

の差

とは, ベクトルであり,

C =A−B =A+ ((−1)×B) (2.1)

ゼロベクトル

A−A

や, 0

は, ゼロベクトル

である.

ゼロベクトルは, 大きさは

で, 向きはない.

0×A= 0×B=A−A=B−B=0. (2.2)

ベクトル, スカラーについては, 普通の数であるかのように展開して計算してよい.

例: 2(3A

1.3

ベクトルの座標表示

香中

ベクトルを, やっぱり, 絵じゃなく数字で表わしたい!

図のように, 原点

で垂直に交わる

標,

この

A=



2 3



=



A_x A_y



 x-成分 y-成分

(2.3)

を ベクトルの座標表示 または 成分表示 という. 2 を

成分, 3 を

成分という.

横に

のように書くこともある.

x y

O

A=

( )

+2

-2

-2 +2

P

成分で書いた ベクトルの和とスカラー倍

ベクトル

A=



 Ax

A_y



, B=



 Bx

B_y



 (3.4)

とスカラー

に対して,

A+B=



 A_x+B_x A_y +B_y



 c×A=



 c×A_x c×A_y



 (3.5)

である.

x y

O A

B

A+B

-A

1.4 3

次元の座標系

^和達

^香中

互いに直交する

の

つの座標軸を使う.

3

次元のベクトル

の始点を原点に置いたとき, 終点の 座標を

の

成分といい,

と書く.

A=





 A_x A_y A_z







x-成分 y-成分 z-成分

(3.6)

ふつうは, 右手を開いたときの親指方向を

人指し指方向を

中指方向を

軸の正の方向に とる. (右手座標系と呼ぶ．通常こちらを使う．)

左手を使うと,

軸の向きが逆になる. (左手系と呼ぶ．特に理由がなければ使わない．)

1.5

基本ベクトル

香中

単位ベクトル

大きさが

のベクトル.

x,y,z

軸の正の向きの単位ベクトルを 基本ベクトル と

いい,

i=





 1 0 0





, j =





 0 1 0





, k=





 0 0 1





 (4.7)

と書く. これらを用いると,

A=





 Ax

A_y Az





=A_xi+A_yj+A_zk. (4.8)

x, y, z

軸を右親人中指にとるとき, ベクトルの

個組

hi,j,ki

は 右手系 だという.

は右手系じゃ ない.

1.6

内積

スカラー積

香中

ベクトル

の大きさ

絶対値) を

と書く

値と同じ記号).

はスカラー

2

つの

次元ベクトル

に対して, 次の式で計算され るスカラー

のことを 内積 という.

A·B =|A| × |B| ×cosθ. (4.9)

ベクトル

スカラー

に対して, 普通の数であるかのように,

のように展開したりしてよい.

基本ベクトル

は互いに直交していて大きさ

なので,

i·i=j ·j =k·k= 1. (4.10)

i·j =j·k=k·i=j·i =k·j =i·k= 0. (4.11)

内積

の成分表示

香中

A·B =(A_xi+A_yj +A_zk)·(B_xi+B_yj +B_zk)

=(A_xB_xi·i+A_xB_yi·j +A_xB_zi·k) +(A_yB_xj·i+A_yB_yj ·j+A_yB_zj ·k) +(A_zB_xk·i+A_zB_yk·j+A_zB_zk·k)

=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z

(5.12)

仕事

は, 力

と変位

の内積.

ベクトルの大きさ

[b]

三平方の定理を

回使うと, ベクトル

の絶対値

は

|A|² = (√

A²_x+A²_y )2

+A²_z = A²_x+A²_y +A²_z =A·A (5.13)

[t]

内積の使い道

ベクトル

と

のなす角度 内積の定義の式

を逆に使うと,

cosθ= √ A·B A·A×√

B·B (5.14)

で, ベクトル

と

のなす角度

が計算できる.

(例題1) A= (₁

1 0

) ,B =

(₀

1 1

)

とする.

および

のなす角

は?

A·B= 1×0 + 1 + 0×1 = 1.

|A|=√

A·A=√

1²+ 1²+ 0² =√

2,|B|=√ 2 cosθ = √¹

2√ 2 = ¹₂,

(

05θ 5πなので θ =π/3.

)

1.7

外積

香中

2

つの

次元ベクトル

に対して, 次の式で表わされるベクトル

のことを 外積 という.

この記号

は新しい記号.

(実数のふつうの ‘かける’

とたまたま同じ文字だが意味は異なる).

C =A×B =|A| |B|(sinθ) ˆC (6.15)

ただし, ˆ

は,

と

の両方に垂直な単位ベクトルで,

が右手系をなすようなもの.

別の言い方:

C ⊥ A, C ⊥ B

で,

の向きは,

から

に回る右ねじが進む向き.

大きさは

のはる平行四辺形の面積.

外積

と内積

を混同しないよう注意

A×B :

ベクトル

スカラー

A×A=0 , A·A=|A|² (6.17)

A×B =−B×A , A·B =B·A (6.18)

( )

をはずすときはふつうの数であるかのように展開してよい.

計算例

基本ベクトルの間の外積

i×i=0, j ×j =0, k×k=0. (6.20) i×j = +k, j×k= +i, k×i = +j, (6.21) j×i=−k, k×j =−i, i×k=−j. (6.22)

i,j,k

が 循環的

に入れ替わってることに注意.

外積

の成分表示

香中

A×B

=(A_xi+A_yj+A_zk)×(B_xi+B_yj +B_zk)

=(A_xB_xi×i+A_xB_yi×j+A_xB_zi×k) + (A_yB_xj×i+A_yB_yj×j +A_yB_zj ×k) + (A_zB_xk×i+A_zB_yk×j+A_zB_zk×k)

= (A_yB_z−A_zB_y)i+ (A_zB_x−A_xB_z)j+ (A_xB_y −A_yB_x)k.

(7.23)

x, y, z

が循環的に入れ替わってることに注意.

覚え方

A×B= =























¯¯¯¯

¯¯ A_y A_z B_y B_z

¯¯¯¯

¯¯

¯¯¯¯

¯¯

A_z A_x B_z B_x

¯¯¯¯

¯¯

¯¯¯¯

¯¯ A_x A_y B_x B_y

¯¯¯¯

¯¯























=







A_y B_z−A_z B_y Az Bx−Ax Bz

A_x B_y −A_y B_x







(例題2)

A=





 2 3 0





, B =







−1

−4 +5







に対して, 外積

を計算しよう.

B×A=







−1

−4 +5





×





 2 3 0





,=







−4·0−5·3 5·2−(−1)·0

−1·3−(−4)·2





.=







−15 +10 +5





.

フレミングの左手の法則やローレンツ力は, 外積で簡単に書ける:

F =I ×B, F =q(E+v×B).

2 内積と力のバランス

内積の直観的な意味

射影 力はベクトル

香中

力 は向きと大きさを持ち, ベクトルで表される. 大き さの単位はニュートン

物体に, 2 つの力

と

が同時にはたらいているのは,

つの力

合力

がはたらいているのと 同じこと.

物体にはたらくすべての力の合力が

F =F₁+F₂+· · ·F_n=0 (8.1)

のとき, 力は つりあっている

あるいは つりあいの状態にある という. このとき, 止 まっていた物体は止まったまま.

F

F F=F +F

1

2 1 2

F F F

F F

n

1 3 2

4

ベクトルの和と綱引き

図の場合,

のときつりあっている.

力の大きさ

で書くと,

f₁ =f₂

つまり

がつりあいの条件.

f f

F F

1

1 2

2

x

f₁

と

の関係

f₁ =|F₁|(>0), f₂ =|F₂|(>0), (8.3)

F₁ =







−f₁ 0 0





, ^,F₂ =





 +f₂

0 0





. (8.4)

力

はベクトル, 力の大きさ

はスカラー.

(例題3)

マルチ綱引きの

チームが,

の力で引いたところ, つりあいの状態になって綱は 動かなかった.

F₁ =





 1 3 0





, F₂ =







−2 2 0





, F₃ =





 1

−4 0





 (9.1)

のとき,

を求めよう. いちばん力の大きいチームはどれ?

F4 =−(F1+F2+F3) =





 0

−1 0





 (9.2)

となる. したがって

|F1|=√

10, |F2|=√

8, |F3|=√

17, |F4|= 1. (9.3)

より力が最も大きいのは

ベクトルの内積と列車の綱引き

線路上しか動けない列車に綱をつけて綱引き

F₁

を線路に 平行 なベクトル

と 垂直 なベクトル

に分解して考える.

F₁ =F_1k+F_1⊥ (10.1)

列車の動きに関係あるのは線路に 平行なベクトル

だ け. 列車が動かないためには,

F_1k+F_2k =0つまりF1k =−F_2k (10.2)

であればいい. 両辺の絶対値をとると,

|F₁|cosθ=|F₂|cos(π−φ). (10.3)

この条件は内積を使うともっと簡単に書ける!

u F

F

1

2 θ φ π−φ

A

線路に平行な

ベクトルを

とする.

ベクトル

の, ベクトル

の向きの成分は,

ただし,

|A|A

は

と同じ向きの単位ベクトル.

線路上しか動けない列車のつりあいの条件は

F ·u = (F₁+F₂+· · ·F_n)·u = 0 (10.4)

つまり, 合力

の, (線路に平行な) ベクトル

の向きの成分が

になること. 成分

は, 合力が

の向きにどれだけはたらくかを表す量.

上の力

個の場合に, この条件は,

より,

0 = (F₁+F₂)·u =F₁·u+F₂·u=|F₁||u|cosθ+|F₂||u|cosφ

=|F₁|cosθ− |F₂|cos(π−φ).

(10.5)

たしかに同じ条件になっている!

【注意】:

F_1k = (F₁·u)u (10.6)

(例題4)

まっすぐな線路が, ベクトル





 1

−2 0







に平行に走っている.

1.

線路に平行な単位ベクトル

を求めよう.

2.

列車に力





 2 0 0





,F₂ =







−1 1 0







が加わっている. 線路に平行な力

を加えて列

車を動かないようにするには,

はどのようなベクトルであればいいか考えよう.

3.

力の大きさ

を求めよう.

(答1) |A|=√

1 + (−2)² =√ 5

より

u = 1

√5 (

1, −2,0 )

(11.1) (−1

倍も可)

(答2,3) F₁+F₂ = (

1, 1,0 )

より

√5

となる．

従って，F

とおくと, 線路に平行な力の成分のつりあいの式

√5+F (11.2)

より

√5

5

となる．つまり, 力の大きさは

√5

5

であり

F₃ = 1 5





 1

−2 0





. (11.3)

となる．

ポイント

の向きの単位ベクトルは

|A|A.

ポイント

の大きさは

力以外にも

は使える

北が

軸の正の向き, 東が

軸の正の向き, 上が

軸の正の向きであるような右手系をとる。

1.

南向きの単位ベクトルを成分表示で書こう。

2.

北西向き

の向き) の単位ベクトルを成分表示で書こう。

3.

北西向きに

進んだ。 これは, 北向きにはどれだけ進んだことになる?

4.

北向きに

次に東向きに

進んだ。これは, 北西向きにはどれだけ進んだことに なる?

(答)

1. s= (

0, −1, 0 )

2. u= 1

√2

(−1,1, 0 ) 3. 3u·(

0,1, 0 )

= 3

√2 4.

(

1, 2, 0

)·u= 1

√2

内積

のイメージ

と

の協力度みたいなもの

• 2

つのベクトルの向きが近いほど正で大きい. cos 0 = 1

• 2

つのベクトルの向きが反対だと負. cos

• 2

つのベクトルの向きが直交してると零. cos

•

仕事

は, 力

と変位

の内積.

• B·u =B· A

|A|

は,

の

向き成分.

x y

i

A

Ai u

Au

(Ai) (Au)u

. .

. .

L

i

i,u

は単位ベクトル.

A·i:

ベクトル

の

成分

向きの成分)

ベクトル

の

軸への 射影

A·u:

ベクトル

の

直線

成分

向きの成分)

ベクトル

の直線

への 射影

3 回転のバランスと外積 , ベクトル 3 重積

やじろべえ

香中

右の図のような原点で支えられたやじろべえが回転しな

い

条件は,

|F₁|:|F₂|=|r₂|:|r₁|. (13.1)

じゃあ, 斜めに引っ張る場合は?

y z

F

F r ¹ r

1 2

2

2

1

N N

F₁

を,

に 平行, 垂直 に分解して得られるベクトルを

とする.

垂直な ベクトル

がやじろべえの動きに効く.

回転についてのつりあいの条件は

|F_1⊥|:|F_2⊥|=|r₂|:|r₁|. (13.2)

つまり

y

x z

θ

φ

F r

F r

r r

r r

F

r

F

r

F r

F r

実は, これはベクトルの外積を使うと便利に書ける.

香中

n

個の力

が位置

にはたらいているとき,

N₁ =r₁×F₁, N₂ =r₂×F₂,· · · ,N_n =r_n×F_n (13.4)

とおく. これらを, (原点のまわりの) 力のモーメント という.

単位はニュートンメートル

原点のまわりの回転についてのつりあいの条件は, 原点のまわりの力のモーメントの 和がゼロになること:

N =N₁+N₂+· · ·N_n =0 (13.5)

【注】このとき，原点

からやじろべえには

の力がはたら

いているので，やじろべえにはたらく合力は

となっている．