1 3
次元のベクトルとその演算
1.1
ベクトルとスカラー
¨§香中
p.2¥¦始点 を
O,終点 を
Pとする矢印を, ベクトル
−→OP
という.
A=−→OP
などとかく.
この矢印のように, 大きさと方向の両方のある量を ベクトル という.
大きさだけのある量を, ベクトルに対して スカラー という.
大きさと向きが両方等しければ, (始点 が違っても) ベクトルは等しい. つまり, 平行移動 して重なるようなベクトル は等しい.
A=−→
OP =−→
QR.
ベクトルの例: 風
(風向きと風力).スカラーの例: 気圧.
記号の使い方
•
ベクトルは
rや
Aのような傾いた太い字で
(または
~rや
A~のように矢印をつけて) 表わす.
•
スカラーは
rのような傾いた細い字で表わす.
•
点の名前や単位は
O,P,Q,R, m, kgのように立った 細い字で表す.
戸田盛和, 「力学」(物理入門コース
1) (岩波, 1982)1.2
ベクトルの演算
¨§香中
p.3¥¦¨§和達
p.21¥¦ベクトルの和
一般に, ベクトル
C =A+Bとは,
Aと
Bを
2辺とす
る平行四辺形の対角線のベクトル.
ベクトルとスカラーの積 ベクトルのスカラー倍ともいう.
ベクトル
Aと スカラー
cの積
B = c×Aは, ベクトルで あり,
•
大きさは
Aの
|c|倍.
•
向きは,
c >0なら同じ向き
c < 0なら逆向き.
c= 0
なら, あとで出てくるゼロベクトルになる.
A
B A+B
-A A 2A
0
ベクトルの差
ベクトル
Aとベクトル
Bの差
C =A−Bとは, ベクトルであり,
C =A−B =A+ ((−1)×B) (2.1)
ゼロベクトル
A−A
や, 0
×Aは, ゼロベクトル
0である.
ゼロベクトルは, 大きさは
0で, 向きはない.
0×A= 0×B=A−A=B−B=0. (2.2)
ベクトル, スカラーについては, 普通の数であるかのように展開して計算してよい.
例: 2(3A
−B) = −2B+ 6A.1.3
ベクトルの座標表示
¨§香中
p.9¥¦ベクトルを, やっぱり, 絵じゃなく数字で表わしたい!
図のように, 原点
Oで垂直に交わる
x-軸, y-軸を平面に描く. x-軸, y-軸には向きがあり, x-座標,
y-座標がある. x-軸, y-軸に垂線を下ろして x-座標,y-座標をよみとる.この
A=
2 3
=
Ax Ay
x-成分 y-成分
(2.3)
を ベクトルの座標表示 または 成分表示 という. 2 を
x成分
, 3を
y成分 という.
横に
A= (2,3)のように書くこともある.
x y
O
A=
( )
23+2
-2
-2 +2
P
成分で書いた ベクトルの和とスカラー倍
ベクトル
A=
Ax
Ay
, B=
Bx
By
(3.1)
とスカラー
cに対して,
A+B =
Ax+Bx Ay +By
c×A=
c×Ax c×Ay
(3.2)
である. まとめると
x y
O A
B
A+B
-A
α
Ax Ay
+β
Bx By
=
αAx+βBx αAy +βBy
(3.3)
1.4 3
次元の座標系
¨§和達
p.22¥¦¨
§
¥
香中
p.13¦互いに直交する
x,y,zの
3つの座標軸を使う.
3
次元のベクトル
Aの始点を原点に置いたとき, 終点の 座標を
Aの
x, y, z成分といい,
Ax, Ay, Azと書く.
A=
Ax Ay Az
x-成分 y-成分 z-成分
(3.4)
ふつうは, 右手を開いたときの親指方向を
x,人指し指方向を
y,中指方向を
z軸の正の方向に とる. ( 右手座標系
(右手系)と呼ぶ.通常こちらを使う.)
左手を使うと,
z軸の向きが逆になる. (左手系と呼ぶ.特に理由がなければ使わない.)
1.5
基本ベクトル
¨§香中
p.14¥¦単位ベクトル
:大きさが
1のベクトル.
x,y,z
軸の正の向きの単位ベクトルを 基本ベクトル と
いい,
i=
1 0 0
, j =
0 1 0
, k=
0 0 1
(4.1)
と書く. これらを用いると,
A=
Ax
Ay Az
=Axi+Ayj+Azk. (4.2)
x, y, z
軸を右親人中指にとるとき, ベクトルの
3個組
hi,j,ki
は 右手系 だという. (
hi,j,−kiは左手系にな る.)
1.6
内積
(スカラー積
) ¨§香中
p.4¥¦ベクトル
Aの大きさ
(長さ,絶対値) を
|A|と書く
(絶対値と同じ記号).
|A|はスカラー
(実数).2
つの
3次元ベクトル
A,Bに対して, 次の式で計算され るスカラー
A·Bのことを 内積 という.
A·B =|A| |B| cosθ . (4.3)
ベクトル
A,B,C,スカラー
cに対して, 普通の数であるかのように,
(2A+B)·A= 2A·A+A·Bのように展開したりしてよい.
基本ベクトル
i,j,kは互いに直交していて大きさ
1なので,
i·i=j ·j =k·k= 1. (4.4)
i·j =j·k=k·i=j·i =k·j =i·k= 0. (4.5)
内積
A·Bの成分表示
¨§香中
p.16¥¦A·B =(Axi+Ayj +Azk)·(Bxi+Byj +Bzk)
=(AxBxi·i+AxByi·j+AxBzi·k) +(AyBxj ·i+AyByj ·j+AyBzj·k) +(AzBxk·i+AzByk·j +AzBzk·k)
=AxBx+AyBy+AzBz
(5.1)
(参考)
仕事
(スカラー)は, 力
(ベクトル)と変位
(ベクトル)の内積.
ベクトルの大きさ
(内積の使い道1)三平方の定理を
2回使うと, ベクトル
Aの絶対値
|A|は
|A|2 = (√
A2x+A2y )2
+A2z =A2x+A2y +A2z =A·A (5.2)
内積の使い道
2:ベクトル
Aと
Bのなす角度 内積の定義の式
(4.3)を逆に使うと,
cosθ= A·B
√A·A×√
B·B (5.3)
で, ベクトル
Aと
Bのなす角度
θが計算できる.
(例題1) A= (1
10
) ,B =
(0
11
)
とする.
A·B,|A|,および
A,Bのなす角
θは?
(答)
A·B= 1×0 + 1 + 0×1 = 1.
|A|=√
A·A=√
12+ 12 + 02 =√
2,|B|=√ 2 cosθ= √21√2 = 12,
(
05θ5πなので θ =π/3.
)
1.7
外積
(ベクトル積) ¨§香中
p.6¥¦2
つの
3次元ベクトル
A,Bに対して, 次の式で表わされるベクトル
C =A×Bのことを 外積 という.
この記号
‘×’は新しい記号.
(実数のふつうの ‘かける’
とたまたま同じ文字だが意味は異なる).
C =A×B =|A| |B| sinθCˆ (6.1)
ただし, ˆ
Cは,
Aと
Bの両方に垂直な単位ベクトルで,
hA,B,Cˆiが右手系をなすようなもの.
別の言い方:
C ⊥ A, C ⊥ B
で,
Cの向きは,
Aから
Bに回る右ねじが進む向き.
大きさは
|C|=|A||B|sinθ=A,Bのはる平行四辺形の面積.
外積
(ベクトル積)と内積
(スカラー積)を混同しないよう注意
A×B :
ベクトル
, A·B :スカラー
(6.2)A×A=0 , A·A=|A|2 (6.3)
A×B =−B×A , A·B =B·A (6.4)
( )
をはずすときはふつうの数であるかのように展開してよい.
計算例
(2A+ 3B)×A= 2 A×A+ 3 B×A=0−3A×B (6.5)基本ベクトルの間の外積
i×i=0, j ×j =0, k×k=0. (6.6) i×j = +k, j ×k= +i, k×i= +j, (6.7) j ×i =−k, k×j =−i, i×k=−j. (6.8)
i,j,k
が 循環的
(cyclic)に入れ替わってることに注意.
i→j →k→i.外積
A×Bの成分表示
¨§香中
p.16¥¦¨
§
¥
和達
p.26¦A×B
=(Axi+Ayj+Azk)×(Bxi+Byj+Bzk)
=(AxBxi×i+AxByi×j +AxBzi×k) + (AyBxj ×i+AyByj ×j+AyBzj ×k) + (AzBxk×i+AzByk×j +AzBzk×k)
= (AyBz−AzBy)i+ (AzBx−AxBz)j+ (AxBy−AyBx)k.
(7.1)
x, y, z
が循環的に入れ替わってることに注意.
x→y→z →x.覚え方
Ax Ay
Az
×
Bx By
Bz
= =
¯¯¯¯
¯¯
Ay Az By Bz
¯¯¯¯
¯¯
¯¯¯¯
¯¯ Az Ax
Bz Bx
¯¯¯¯
¯¯
¯¯¯¯
¯¯
Ax Ay Bx By
¯¯¯¯
¯¯
=
Ay Bz −Az By Az Bx−Ax Bz Ax By −Ay Bx
【注】 上の式が使えるのは右手系の座標系を用いた場合.
(例題2)
A=
2 3 0
, B =
−1
−4 +5
に対して, 外積
B×Aを計算しよう.
(答)
B×A=
−1
−4 +5
×
2 3 0
,=
−4·0−5·3 5·2−(−1)·0
−1·3−(−4)·2
.=
−15 +10 +5
.
(参考)
フレミングの左手の法則やローレンツ力は, 外積で簡単に書ける:
F =I×B,F =q(E+v×B).
・ 平面の方程式
A
と
Bをある平面に含まれるベクトルとする と,A
×Bはこの平面と直交するベクトル, つ まり 法線ベクトル となる.
A r
O B
r
rr0
A B× r r
r0
を平面上のある一つの点を表す位置ベクトル,r を平面上の任意の点を表す位置ベクトルと すると
r−r0は平面内に含まれるベクトルなので
A×Bと直交する;
(r−r0)·(
A×B )
= 0 (8.1)
(r−r0)·(A×B)>0
の場合,r で表される点は平面で区切られた空間の
2つの領域のうち,
平面に対して
A×Bの側の領域にある.((r
−r0)·(A×B)<0の場合は逆側にある.) また,平面までの距離は
|(r−r0)·n|となる.ただし
n= A×B
|A×B| (8.2)
は
A×Bと同じ向きの単位ベクトルで 単位法線ベクトル と呼ばれる.
平面
nr rr−rr0
(r−r0)·n>0
平面
nr
rr−rr0
(r−r0)·n= 0
平面
nr
rr−rr0
(r−r0)·n<0
D=r0·(
A×B )
と書くと平面の方程式は
r·(A×B )
=D (D
は定数)
(8.3)となる.A
×B = (a , b , c),r = (x , y , z)としてこの方程式を成分で書くと以下のように なる:
ax+by+cz=D . (8.4)
2
内積と力のバランス
内積の直観的な意味
→射影 力はベクトル
¨§香中
p.3¥¦力 は向きと大きさを持ち, ベクトルで表される. 大き さの単位はニュートン
N=kg· m/s2.物体に, 2 つの力
F1と
F2が同時にはたらいているのは,
1つの力
(合力
) F =F1+F2がはたらいているのと 同じこと.
物体にはたらくすべての力の合力が
F =F1+F2+· · ·Fn=0 (9.1)
のとき, 力は つりあっている
,あるいは つりあいの状態にある という. このとき, 止 まっていた物体は止まったまま.
F
F F=F +F
1
2 1 2
F F F
F F
n
1 3 2
4
ベクトルの和と綱引き
図の場合,
F1+F2 =0のときつりあっている.
力の大きさ
f1, f2(>0)で書くと,
f1 =f2
つまり
f1−f2 = 0 (9.2)がつりあいの条件.
f f
F F
1
1 2
2
x
f1
と
F1の関係
f1 =|F1|(>0), f2 =|F2|(>0), (9.3)
F1 =
−f1 0 0
, ,F2 =
+f2
0 0
. (9.4)
力
F1,F2はベクトル, 力の大きさ
f1, f2はスカラー.
(例題3)
マルチ綱引きの
4チームが,
F1,F2,F3,F4の力で引いたところ, つりあいの状態になって綱は 動かなかった.
F1 =
1 3 0
, F2 =
−2 2 0
, F3 =
1
−4 0
(10.1)
のとき,
F4を求めよう. いちばん力の大きいチームはどれ?
(答)
F4 =−(F1+F2+F3) =
0
−1 0
(10.2)
となる. したがって
|F1|=√
10, |F2|=√
8, |F3|=√
17, |F4|= 1. (10.3)
より力が最も大きいのは
F3.ベクトルの内積と列車の綱引き
線路上しか動けない列車に綱をつけて綱引き
F1
を線路に 平行 なベクトル
F1kと 垂直 なベクトル
F1⊥に分解して考える.
F1 =F1k+F1⊥ (11.1)
列車の動きに関係あるのは線路に 平行なベクトル
F1kだ け. 列車が動かないためには,
F1k+F2k =0つまりF1k =−F2k (11.2)
であればいい. 両辺の絶対値をとると,
|F1|cosθ=|F2|cos(π−φ). (11.3)
この条件は内積を使うともっと簡単に書ける!
u F
F
1
2 θ φ π−φ
A
線路に平行な
(単位ベクトルと限らない)ベクトルを
Aとする.
ベクトル
Fの, ベクトル
Aの向きの成分は,
F ·u=|F|cosθただし,
u= 1|A|A
は
Aと同じ向きの単位ベクトル.
線路上しか動けない列車のつりあいの条件は
F ·u = (F1+F2+· · ·Fn)·u = 0 (11.4)
つまり, 合力
Fの, (線路に平行な) ベクトル
Aの向きの成分が
0になること. 成分
F ·uは, 合力が
Aの向きにどれだけはたらくかを表す量.
上の力
2個の場合に, この条件は,
|u|= 1より,
0 = (F1+F2)·u =F1·u+F2·u=|F1||u|cosθ+|F2||u|cosφ
=|F1|cosθ− |F2|cos(π−φ).
(11.5)
たしかに同じ条件になっている!
【注意】:
F1k = (F1·u)u (11.6)
(例題4)
まっすぐな線路が, ベクトル
A=
1
−2 0
に平行に走っている.
1.
線路に平行な単位ベクトル
uを求めよう.
2.
列車に力
F1 =
2 0 0
,F2 =
−1 1 0
が加わっている. 線路に平行な力
F3を加えて列
車を動かないようにするには,
F3はどのようなベクトルであればいいか考えよう.
3.
力の大きさ
|F3|を求めよう.
(答1) |A|=√
1 + (−2)2 =√ 5
より
u = 1
√5 (
1, −2,0 )
(12.1) (−1
倍も可)
(答2,3) F1+F2 = (
1, 1,0 )
より
(F1+F2)·u=− 1√5
となる.
従って,F
3 =Fuとおくと, 線路に平行な力の成分のつりあいの式
0 = (F1+F2+F3)·u= (F1+F2)·u+F u·u =− 1√5+F (12.2)
より
F =√5
5
となる.つまり, 力の大きさは
√5
5
であり
F3 = 1 5
1
−2 0
. (12.3)
となる.
ポイント
1: Aの向きの単位ベクトルは
u= 1|A|A.
ポイント
2: fuの大きさは
|f|.力以外にも
‘何とか向きの成分’は使える
(例題5)北が
y軸の正の向き, 東が
x軸の正の向き, 上が
z軸の正の向きであるような右手系をとる。
1.
南向きの単位ベクトルを成分表示で書こう。
2.
北西向き
(北と西の中間45◦の向き) の単位ベクトルを成分表示で書こう。
3.
北西向きに
3km進んだ。 これは, 北向きにはどれだけ進んだことになる?
4.
北向きに
2km,次に東向きに
1km進んだ。これは, 北西向きにはどれだけ進んだことに なる?
(答)
1. s= (
0, −1, 0 )
2. u= 1
√2
(−1,1, 0 ) 3. 3u·(
0,1, 0 )
= 3
√2 4.
(
1, 2, 0
)·u= 1
√2
内積
A·Bのイメージ
Aと
Bの協力度みたいなもの
• 2
つのベクトルの向きが近いほど正で大きい. cos 0 = 1
• 2
つのベクトルの向きが反対だと負. cos
π=−1• 2
つのベクトルの向きが直交してると零. cos
π2 = 0. A·B= 0.•
仕事
(スカラー)は, 力
(ベクトル)と変位
(ベクトル)の内積.
• B·u =B· A
|A|
は,
Bの
A向き成分.
x y
i
A
Ai u
Au
(Ai) (Au)u
. .
. .
L
i
i,u
は単位ベクトル.
A·i:
ベクトル
Aの
x成分
(i向きの成分)
(A·i) i:ベクトル
Aの
x軸への 射影
.A·u: