物数I.0
プリント中の
¨
§
¥
高木p.1¦=⇒“高木隆司，「力学(I)」(裳華房)”の p.1
¨
§
¥
香中p.1¦=⇒“香取真理，中野徹，「物理数学の基礎」(サイエンス社)”の p.1 を参照。
¨
§
¥
和達p.1¦=⇒“和達三樹，「物理のための数学」(岩波)”の p.1 を参照。
を参照しています。
1 3 次元のベクトルとその演算
1.1 ベクトルとスカラー ¨§高木p.4¥¦
¨
§
¥ 香中p.2¦
始点 を O, 終点 を P とする矢印を, ベクトル −→
OPという. A=−→
OPなどとかく.
この矢印のように, 大きさと方向の両方のある量を ベクトル という.
大きさだけのある量を, ベクトルに対して スカラー という.
大きさと向きが両方等しければ, (始点 が違っても)ベクトルは等しい. つまり, 平行移動 して重なるようなベクトル は等しい.
A=−→
OP = −→
QR.
ベクトルの例: 風(風向きと風力). スカラーの例: 気圧.
記号の使い方
• ベクトルは r や Aのような傾いた太い字で(また は ~r や A~のように矢印をつけて)表わす.
• スカラーは r のような傾いた細い字で表わす.
• 点の名前や単位は O,P,Q,R, m, kg のように立った 細い字で表す.
戸田盛和，「力学」(物理入門コース1) (岩波, 1982)
1.2 ベクトルの演算 ¨§香中p.3¥¦¨§和達p.21¥¦ ベクトルの和
一般に, ベクトルC =A+B とは, A と B を2辺とす る平行四辺形の対角線のベクトル.
物数I.2
ベクトルとスカラーの積 ベクトルのスカラー倍ともいう.
ベクトル Aと スカラーcの積 B=cAは, ベクトルであり,
• 大きさは Aの |c| 倍.
• 向きは, c >0 なら同じ向き c < 0なら逆向き.
c= 0 なら, あとで出てくるゼロベクトルになる.
A
B A+B
- A A 2A
0
ベクトルの差
ベクトル A とベクトル B の差C =A−B とは, ベクトルであり,
C =A−B =A+ ((−1) B) (2.1)
ゼロベクトル
A−Aや, 0 Aは,ゼロベクトル 0 である.
ゼロベクトルは, 大きさは 0で,向きはない.
0 A= 0 B=A−A=B−B=0. (2.2)
ベクトル, スカラーについては, 普通の数であるかのように展開して計算してよい.
例: 2(3A−B) = −2B+ 6A.
1.3 ベクトルの座標表示 ¨§高木p.5¥¦¨§香中p.9¥¦ ベクトルを,やっぱり, 絵じゃなく数字で表わしたい!
図のように, 原点 O で垂直に交わる x-軸, y-軸を平面に描く. x-軸, y-軸には向きがあり, x-座
標,y-座標がある. x-軸, y-軸に垂線を下ろして x-座標,y-座標をよみとる.
この
A=
2 3
=
Ax Ay
x-成分 y-成分
(2.3)
を ベクトルの座標表示 または 成分表示 という. 2 を x 成分 , 3 を y 成分 という.
横に A= (2,3) のように書くこともある.
x y
O
A=
( )
23+2
-2
-2 +2
P
成分で書いた ベクトルの和とスカラー倍
ベクトル
A=
Ax
Ay
, B=
Bx
By
(3.1)
とスカラー c に対して,
A+B=
Ax+Bx Ay +By
c A=
c Ax c Ay
(3.2)
である. まとめると
x y
O A
B
A+B
-A
α
Ax Ay
+β
Bx By
=
αAx+βBx αAy +βBy
(3.3)
1.4 3次元の座標系 ¨§和達p.22¥¦
¨
§
¥ 香中p.13¦
互いに直交する x,y,z の3つの座標軸を使う.
3次元のベクトル A の始点を原点に置いたとき, 終点の 座標を Aの x, y, z 成分といい, Ax, Ay, Az と書く.
A=
Ax Ay Az
x-成分 y-成分 z-成分
(3.4)
ふつうは, 右手を開いたときの親指方向を x,人指し指方向を y, 中指方向を z 軸の正の方向に とる. ( 右手座標系(右手系) と呼ぶ．通常こちらを使う．)
左手を使うと, z軸の向きが逆になる. (左手系と呼ぶ．特に理由がなければ使わない．)
点Pの座標を(x1, y1, z1)，点Qの座標を(x2, y2, z2)と すると，点Pを始点とし，点Qを終点とするベクトル−→
PQ の成分表示は以下となる：
−→PQ = (
x2−x1, y2−y1, z2−z1 )
(3.5)
物数I.4 ２点間の距離
2点P,Qの間の 距離 はベクトル−→
PQの大きさなので，座標を用いて
2点P,Qの間の距離=|−→
PQ|=√
(x2−x1)2+ (y2−y1)2+ (z2−z1)2 (4.1)
と表される。
位置ベクトル ¨§高木p.4¥¦
¨
§
¥ 香中1章と2章の間¦
3次元空間に物体P があって運動している. 例:飛行機, ボール,蚊,. . . 座標系 xyz と原点O は固定する。
ある瞬間の物体 P の位置は, 始点 を O, 終点 を P とするベクトル−→
OP で指定される。
これを P の 位置ベクトル という.
空間を物体P が時間tとともに,移動していくときP の位置ベクトルは時間の関数なので,r(t) のように書く. たとえば
−→OP =r(t) =
x(t) y(t) z(t)
=
cost+ 2 2 sint+ 2
t/3
. (4.2)
x y z
O
r r
(0)r r
(3 )π(3 / 2)
r r
π1.5 基本ベクトル ¨§香中p.14¥¦
単位ベクトル : 大きさが 1 のベクトル.
x,y,z 軸の正の向きの単位ベクトルを 基本ベクトル と
いい,
i=
1 0 0
, j =
0 1 0
, k=
0 0 1
(5.1)
と書く. これらを用いると,
A=
Ax
Ay Az
=Axi+Ayj+Azk. (5.2)
x, y, z 軸を右親人中指にとるとき, ベクトルの 3 個組
hi,j,ki は 右手系 だという. (hi,j,−ki は左手系にな る.)
1.6 内積(スカラー積) ¨§高木p.6¥¦
¨
§
¥ 香中p.4¦
ベクトル A の大きさ(長さ,絶対値)を|A| と書く(絶対 値と同じ記号). |A| はスカラー(実数).
2つの3次元ベクトルA,B に対して,次の式で計算され るスカラー A·B のことを 内積 という.
A·B =|A| |B| cos(θ), 05θ5π . (5.3)
ベクトル A,B,C,スカラー c に対して, 普通の数であるかのように, (2A+B)·A= 2A·A+A·B のように展開したりしてよい.
基本ベクトル i,j,k は互いに直交していて大きさ1なので,
i·i=j ·j =k·k= 1. (5.4)
i·j =j·k=k·i=j·i =k·j =i·k= 0. (5.5)
物数I.6 内積 A·B の成分表示 ¨§香中p.16¥¦
A·B =(Axi+Ayj +Azk)·(Bxi+Byj +Bzk)
=(AxBxi·i+AxByi·j+AxBzi·k) +(AyBxj ·i+AyByj ·j+AyBzj·k) +(AzBxk·i+AzByk·j +AzBzk·k)
=AxBx+AyBy+AzBz
(6.1)
(参考)仕事(スカラー)は, 力(ベクトル)と変位(ベクトル)の内積.
ベクトルの大きさ(内積の使い道1)
三平方の定理を2回使うと,ベクトルAの大きさ|A|について
|A|2 = (√
A2x+A2y )2
+A2z =A2x+A2y +A2z =A·A (6.2) という関係式が成り立つ．つまり
|A|=
√
A2x+A2y +A2z =√
A·A. (6.3)
内積の使い道2: ベクトル Aと B のなす角度 内積の定義の式 (5.3)を逆に使うと,
cos(θ) = A·B
√A·A√
B·B = AxBx+AyBy +AzBz
√A2x+A2y +A2z√
Bx2+By2+Bz2 (6.4)
で,ベクトル A と B のなす角度 θ が計算できる.
(例) A= (1
10
) ,B=
(0
11
)
とする. A·B,|A|, およびA,B のなす角 θ は?
(答)
A·B= 1×0 + 1 + 0×1 = 1.
|A|=√
A·A=√
12+ 12 + 02 =√
2,|B|=√ 2 cos(θ) = √1
2√ 2 = 12,
(
05θ 5πなので θ=π/3.
)
1.7 外積(ベクトル積) ¨§高木p.126¥¦
¨
§
¥ 香中p.6¦
2つの3次元ベクトルA,Bに対して,次の式で表わされるベクトルC =A×Bのことを 外積 という.
この記号 ‘×’ は新しい記号.
(実数のふつうの ‘かける’ とたまたま同じ文字だが意味は異なる).
C =A×B =|A| |B| sinθCˆ , 05θ 5π (7.1)
ただし, ˆC は, Aと B の両方に垂直な単位ベクトルで, hA,B,Cˆi が右手系をなすようなもの.
別の言い方:
C ⊥ A, C ⊥ B で, C の向きは, A から B に回る右ねじが進む向き.
大きさは|C|=|A||B|sinθ=A,Bのはる平行四辺形の面積.
外積(ベクトル積)と内積(スカラー積)を混同しないよう注意
A×B :ベクトル , A·B :スカラー (7.2)
A×A=0 , A·A=|A|2 (7.3)
A×B =−B×A , A·B =B·A (7.4)
( ) をはずすときはふつうの数であるかのように展開してよい.
計算例(2A+ 3B)×A= 2 A×A+ 3 B×A=0−3A×B (7.5)
基本ベクトルの間の外積
i×i=0, j ×j =0, k×k=0. (7.6) i×j = +k, j ×k= +i, k×i= +j, (7.7) j ×i =−k, k×j =−i, i×k=−j. (7.8)
i,j,k が 循環的 (cyclic)に入れ替わってることに注意. i→j →k→i.
物数I.8 外積 A×B の成分表示 ¨§高木p.127¥¦
¨
§
¥ 香中p.16¦
¨
§
¥ 和達p.26¦
A×B
=(Axi+Ayj+Azk)×(Bxi+Byj+Bzk)
=(AxBxi×i+AxByi×j +AxBzi×k) + (AyBxj ×i+AyByj ×j+AyBzj ×k) + (AzBxk×i+AzByk×j +AzBzk×k)
= (AyBz−AzBy)i+ (AzBx−AxBz)j+ (AxBy−AyBx)k.
(8.1)
x, y, z が循環的に入れ替わってることに注意. x→y→z →x.
覚え方
Ax Ay
Az
×
Bx By
Bz
= =
¯¯¯¯
¯¯
Ay Az By Bz
¯¯¯¯
¯¯
¯¯¯¯
¯¯ Az Ax
Bz Bx
¯¯¯¯
¯¯
¯¯¯¯
¯¯
Ax Ay Bx By
¯¯¯¯
¯¯
=
Ay Bz −Az By Az Bx−Ax Bz Ax By −Ay Bx
【注】 上の式が使えるのは右手系の座標系を用いた場合．
(例)
A=
2 3 0
, B =
−1
−4 +5
に対して, 外積B×Aを計算しよう.
(答)
B×A=
−1
−4 +5
×
2 3 0
,=
−4·0−5·3 5·2−(−1)·0
−1·3−(−4)·2
.=
−15 +10 +5
.
(参考) 角運動量 L = r×p や力のモーメントN = r×F (
¨
§
¥
高木p.127,128¦)，フレミングの左手の法則 F =I×B,やローレンツ力F =q(E+v×B)は, 外積で簡単に書ける．
1.8 内積や外積についての補足
・ 平面の方程式
AとBをある平面に含まれるベクトルとする と，A×Bはこの平面と直交するベクトル,つ まり 法線ベクトル となる．
A r
O B
r
r r
0A B× r r
r0 を平面上のある一つの点を表す位置ベクトル，r を平面上の任意の点を表す位置ベクトルと するとr−r0 は平面内に含まれるベクトルなのでA×B と直交する；
(r−r0)·(
A×B )
= 0 (9.1)
(r−r0)·(A×B)>0 の場合，r で表される点は平面で区切られた空間の2つの領域のうち，
平面に対して A×B の側の領域にある．((r−r0)·(A×B)<0 の場合は逆側にある．) また，平面までの距離は|(r−r0)·n| となる．ただし
n= A×B
|A×B| (9.2)
はA×Bと同じ向きの単位ベクトルで 単位法線ベクトル と呼ばれる．
平面
n r r r − r r
0(r−r0)·n>0
平面
n r
r r − r r
0(r−r0)·n= 0
平面
n r
r r − r r
0(r−r0)·n<0
D=r0·(
A×B )
と書くと平面の方程式は r·(
A×B )
=D (Dは定数) (9.3)
となる．A×B = (a , b , c)，r = (x , y , z) としてこの方程式を成分で書くと以下のように なる：
ax+by+cz=D . (9.4)
物数I.10 内積 A·B のイメージ A と B の協力度みたいなもの
• 2つのベクトルの向きが近いほど正で大きい. cos 0 = 1
• 2つのベクトルの向きが反対だと負. cosπ=−1
• 2つのベクトルの向きが直交してると零. cosπ2 = 0. A·B= 0.
• B·u =B· A
|A| は, B の A向き成分.
x y
i
A
Ai u
Au
(Ai) (Au)u
. .
. .
L
i
i,u は単位ベクトル.
A·i: ベクトル Aの x 成分(i 向きの成分) (A·i) i: ベクトルA の x 軸への 射影 .
A·u: ベクトルA の(有向)直線 L 成分(u 向きの成分) (A·u) u: ベクトル A の直線L への 射影 .
(参考) 仕事(スカラー)は,力(ベクトル)と変位(ベクトル)の内積.
外積 A×B のイメージ A と B のはった網みたいなもの
• 2本の棒A,B を使って網を張るような感じ.
• 網に直交する向きが C =A×B の向き. (表裏あり)
• 網の面積, つまり 平行4辺形の面積 が |C|=|A×B| . 2本の棒が違う方向を向いて るほうがたくさん魚がとれる.
スカラー3重積 ¨§香中p.7¥¦
¨
§
¥ 和達p27¦
B×C はベクトル. ということは, A·(B×C) はスカラーになる. これをスカラー3重積と いう.
下の図から,絶対値 |A·(B×C)| は, A,B,C を3辺とする 平行6面体の体積 .
体 積 だ か ら, A,B,C を 循 環 的 に 変 え て も 等 し い.
A·(B×C) = B·(C×A) = C·(A×B) = −C·(B×A). (11.1) (例)
ベクトルA= (0, 0, 1), B = (1, 1, 1), C = (1, −1, 1)とする.
1. B,C を2辺とする平行4辺形の面積を求めよう.
2. A,B,C を3辺とする平行6面体の体積を求めよう.
(答)
1. B×C = (2,0, −2) なので，平行4辺形の面積は|B×C| = √
22+ (−2)2 = 2√ 2 と なる。
2. スカラー3重積A·(B×C) =−2 より平行6面体の体積は|A·(B×C)|= 2 となる。
(参考) スカラー3重積は3行3列の行列の行列式と関係する：
Ax
Ay
Az
·
Bx
By
Bz
×
Cx
Cy
Cz
=
¯¯¯¯
¯¯¯¯
Ax Bx Cx
Ay By Cy
Az Bz Cz
¯¯¯¯
¯¯¯¯ . (11.2)
物数I.12
2 力のつりあい
力はベクトル ¨§高木p.26¥¦
¨
§
¥ 香中p.3¦
力 は向きと大きさを持ち, ベクトルで表される. 大き さの単位はニュートン [N]=[kg· m/s2].
物体に, 2つの力F1 とF2 が同時にはたらいているのは, 1つの力( 合力 ) F =F1+F2 がはたらいているのと 同じこと.
物体にはたらくすべての力の合力が
F =F1+F2+· · ·Fn=0 (12.1)
のとき, 力はつりあっている ,
あるいは つりあいの状態にある という. このとき,止 まっていた物体は止まったまま.
F
F F=F +F
1
2 1 2
F F F
F F
n
1 3 2
4
2つの力のつりあい 綱引き 右図の場合,
F1+F2 =0 (12.2)
のときつりあっている.
f f
F F
1
1 2
2
x 力の大きさを
f1 =|F1|(>0), f2 =|F2|(>0), (12.3) とすると，
F1 =
(−f1, 0, 0 )
, F2 = (
f2, 0, 0 )
(12.4) なので，つりあいの条件(12.2)は
f1 −f2 = 0 つまり f1 =f2, (12.5)
すなわち，力の大きさが等しいことを意味する．
【注】力 F1,F2 はベクトル,力の大きさ f1, f2 はスカラー.
(例)
マルチ綱引きの4チームが, F1,F2,F3,F4 の力で引いたところ, つりあいの状態になって綱は 動かなかった.
F1 =
1 3 0
, F2 =
−2 2 0
, F3 =
1
−4 0
(13.1)
のとき, F4 を求めよう. いちばん力の大きいチームはどれ?
(答)
F4 =−(F1+F2+F3) =
0
−1 0
(13.2)
となる. したがって
|F1|=√
10, |F2|=√
8, |F3|=√
17, |F4|= 1. (13.3) より力が最も大きいのは F3.
(例)
右図に示すように，質量M [kg]のおもりと質量m1，m2[kg]の おもりが滑車を通してひもでつながれ,つりあっている．cos(θ) と cos(φ) をm1, m2, M で表しなさい．
ただし質量 m [kg]の物体には, 重力 という大きさmg[N]
の力 が 鉛直下向き にはたらく. ¨§高木p.36¥¦
g = 9.8· · ·m/s2 (13.4) は 重力加速度 (の大きさ)とよばれる．
つまり質量 m [kg] の物体には働く重力の大きさは 9.8m [kg·m/s2]=9.8m [N] となる．
m1
m2
M
