高木

プリント中の

¨

§

¥

高木

p.1¦

= ⇒ “高木隆司， 「力学 (I)」(裳華房)”の p.1

¨

§

¥

香中

p.1¦

= ⇒ “香取真理，中野徹， 「物理数学の基礎」(サイエンス社)”の p.1 を参照。

¨

§

¥

和達

p.1¦

= ⇒ “和達三樹， 「物理のための数学」(岩波)”の p.1 を参照。

を参照しています。

物数 I.1

1 3 次元のベクトルとその演算

1.1 ベクトルとスカラー

^¨_§

高木

p.4^¥_¦

¨

§

¥

香中

p.2¦

始点 を O, 終点 を P とする矢印を, ベクトル −→

OP という. A = −→

OP などとかく.

この矢印のように, 大きさと方向の両方のある量を ベクトル という.

大きさだけのある量を, ベクトルに対して スカラー という.

大きさと向きが両方等しければ, (始点 が違っても) ベクトルは等しい. つまり, 平行移動 して重なるようなベクトル は等しい.

A = −→

OP = −→

QR.

ベクトルの例: 風 (風向きと風力). スカラーの例: 気圧.

記号の使い方

• ベクトルは r や A のような傾いた太い字で (また は ~ r や A ~ のように矢印をつけて) 表わす.

• スカラーは r のような傾いた細い字で表わす.

• 点の名前や単位は O,P,Q,R, m, kg のように立った 細い字で表す.

戸田盛和， 「力学」(物理入門コース

1) (岩波, 1982)

1.2 ベクトルの演算

^¨_§

^香中

^p.3¥_¦^¨_§

^和達

^p.21¥_¦

ベクトルの和

一般に, ベクトル C = A + B とは, A と B を 2 辺とす

る平行四辺形の対角線のベクトル.

ベクトルとスカラーの積 ベクトルのスカラー倍ともいう.

ベクトル A と スカラー c の積 B = c A は, ベクトルであり,

• 大きさは A の | c | 倍.

• 向きは, c > 0 なら同じ向き c < 0 なら逆向き.

c = 0 なら, あとで出てくるゼロベクトルになる.

A

B A+B

- A A 2A

0

ベクトルの差

ベクトル A とベクトル B の差 C = A − B とは, ベクトルであり,

C = A − B = A + (( − 1) B) (2.1)

ゼロベクトル

A − A や, 0 A は, ゼロベクトル 0 である.

ゼロベクトルは, 大きさは 0 で, 向きはない.

0 A = 0 B = A − A = B − B = 0. (2.2)

ベクトル, スカラーについては, 普通の数であるかのように展開して計算してよい.

例: 2(3A − B) = − 2B + 6A.

1.3 ベクトルの座標表示

^¨_§

^高木

^p.5¥_¦^¨_§

^香中

^p.9¥_¦

ベクトルを, やっぱり, 絵じゃなく数字で表わしたい!

図のように, 原点 O で垂直に交わる x-軸, y-軸を平面に描く. x-軸, y-軸には向きがあり, x-座

標, y-座標がある. x-軸, y-軸に垂線を下ろして x-座標, y-座標をよみとる.

この

A =



 2 3



 =



 A

_x

A

_y



 x-成分 y-成分

(2.3)

を ベクトルの座標表示 または 成分表示 という. 2 を x 成分 , 3 を y 成分 という.

横に A = (2, 3) のように書くこともある.

x y

O

A = ( ) ² ₃

+2

-2

-2 +2

P

物数 I.3 成分で書いた ベクトルの和とスカラー倍

ベクトル

A =



 A

x

A

_y



 , B =



 B

x

B

_y



 (3.1)

とスカラー c に対して,

A + B =



 A

_x

+ B

_x

A

_y

+ B

_y



 c A =



 c A

_x

c A

_y



 (3.2)

である. まとめると

x y

O A

B

A+B

-A

α



 A

_x

A

_y



 + β



 B

_x

B

_y



 =



 αA

_x

+ βB

_x

αA

_y

+ βB

_y



 (3.3)

1.4 3 次元の座標系

^¨_§

和達

p.22^¥_¦

¨

§

¥

香中

p.13¦

互いに直交する x,y,z の 3 つの座標軸を使う.

3 次元のベクトル A の始点を原点に置いたとき, 終点の 座標を A の x, y, z 成分といい, A

_x

, A

_y

, A

_z

と書く.

A =



 

  A

_x

A

_y

A

_z



 

 

x-成分 y-成分 z-成分

(3.4)

ふつうは, 右手を開いたときの親指方向を x, 人指し指方向を y, 中指方向を z 軸の正の方向に とる. ( 右手座標系 (右手系) と呼ぶ．通常こちらを使う．)

左手を使うと,

z

軸の向きが逆になる. (左手系と呼ぶ．特に理由がなければ使わない．)

点 P の座標を (x

1

, y

1

, z

1

)，点 Q の座標を (x

2

, y

2

, z

2

) と すると，点 P を始点とし，点 Q を終点とするベクトル −→

PQ の成分表示は以下となる：

−→ PQ = (

x

₂

− x

₁

, y

₂

− y

₁

, z

₂

− z

₁

)

(3.5)

1.5 基本ベクトル

^¨_§

香中

p.14^¥_¦

単位ベクトル : 大きさが 1 のベクトル.

x,y,z 軸の正の向きの単位ベクトルを 基本ベクトル と

いい,

i =



 

  1 0 0



 

  , j =



 

  0 1 0



 

  , k =



 

  0 0 1



 

  (4.1)

と書く. これらを用いると,

A =



 

  A

x

A

_y

A

z



 

  = A

_x

i + A

_y

j + A

_z

k. (4.2)

x, y, z 軸を右親人中指にとるとき, ベクトルの 3 個組

h i, j , k i は 右手系 だという. ( h i, j , − k i は左手系にな る.)

1.6 内積 ( スカラー積 )

^¨_§

高木

p.6^¥_¦

¨

§

¥

香中

p.4¦

ベクトル A の大きさ (長さ, 絶対値) を | A | と書く (絶対 値と同じ記号). | A | はスカラー (実数).

2 つの 3 次元ベクトル A, B に対して, 次の式で計算され るスカラー A · B のことを 内積 という.

A · B = | A | | B | cos(θ) , 0 5 θ 5 π . (4.3)

ベクトル A, B, C, スカラー c に対して, 普通の数であるかのように, (2A + B) · A = 2A · A + A · B のように展開したりしてよい.

基本ベクトル i, j, k は互いに直交していて大きさ 1 なので,

i · i = j · j = k · k = 1. (4.4)

i · j = j · k = k · i = j · i = k · j = i · k = 0. (4.5)

物数 I.5 内積 A · B の成分表示

^¨_§

香中

p.16^¥_¦

A · B =(A

_x

i + A

_y

j + A

_z

k) · (B

_x

i + B

_y

j + B

_z

k)

=(A

_x

B

_x

i · i + A

_x

B

_y

i · j + A

_x

B

_z

i · k) +(A

_y

B

_x

j · i + A

_y

B

_y

j · j + A

_y

B

_z

j · k) +(A

_z

B

_x

k · i + A

_z

B

_y

k · j + A

_z

B

_z

k · k)

= A

_x

B

_x

+ A

_y

B

_y

+ A

_z

B

_z

(5.1)

(参考) 仕事

(スカラー)

は, 力

(ベクトル)

と変位

(ベクトル)

の内積.

ベクトルの大きさ (内積の使い道 1)

三平方の定理を 2 回使うと, ベクトル A の大きさ | A | について

| A |

²

= (√

A

²_x

+ A

²_y

)

2

+ A

²_z

= A

²_x

+ A

²_y

+ A

²_z

= A · A (5.2) という関係式が成り立つ．つまり

| A | =

√

A

²_x

+ A

²_y

+ A

²_z

= √

A · A . (5.3)

内積の使い道 2: ベクトル A と B のなす角度 内積の定義の式 (4.3) を逆に使うと,

cos(θ) = A · B

√ A · A √

B · B = A

_x

B

_x

+ A

_y

B

_y

+ A

_z

B

_z

√ A

²_x

+ A

²_y

+ A

²_z

√

B

_x²

+ B

_y²

+ B

_z²

(5.4)

で, ベクトル A と B のなす角度 θ が計算できる.

(例) A = (

₁

10

) , B =

(

₀

11

)

とする. A · B, | A | , および A,B のなす角 θ は?

(答)

A · B = 1 × 0 + 1 + 0 × 1 = 1.

| A | = √

A · A = √

1

²

+ 1

²

+ 0

²

= √

2, | B | = √ 2 cos(θ) =

√¹

2√ 2

=

¹₂

,

(

0 5 θ 5 πなので θ = π/3.

)

1.7 外積 (ベクトル積)

^¨_§

高木

p.126^¥_¦

¨

§

¥

香中

p.6¦

2 つの 3 次元ベクトル A, B に対して, 次の式で表わされるベクトル C = A × B のことを 外積 という.

この記号 ‘ × ’ は新しい記号.

(実数のふつうの ‘かける’ とたまたま同じ文字だが意味は異なる).

C = A × B = | A | | B | sin θ C ˆ (6.1)

ただし, ˆ C は, A と B の両方に垂直な単位ベクトルで, h A, B, C ˆ i が右手系をなすようなもの.

別の言い方:

C ⊥ A, C ⊥ B で, C の向きは, A から B に回る右ねじが進む向き.

大きさは | C | = | A || B | sin θ = A,B のはる平行四辺形の面積.

外積 (ベクトル積) と内積 (スカラー積) を混同しないよう注意

A × B : ベクトル , A · B : スカラー (6.2)

A × A = 0 , A · A = | A |

²

(6.3)

A × B = − B × A , A · B = B · A (6.4)

( ) をはずすときはふつうの数であるかのように展開してよい.

計算例 (2A + 3B) × A = 2 A × A + 3 B × A = 0 − 3 A × B (6.5)

基本ベクトルの間の外積

i × i = 0, j × j = 0, k × k = 0. (6.6) i × j = +k, j × k = +i, k × i = +j , (6.7) j × i = − k, k × j = − i, i × k = − j. (6.8)

i, j , k が 循環的 (cyclic) に入れ替わってることに注意. i → j → k → i.

物数 I.7 外積 A × B の成分表示

^¨_§

高木

p.127^¥_¦

¨

§

¥

香中

p.16¦

¨

§

¥

和達

p.26¦

A × B

=(A

_x

i + A

_y

j + A

_z

k) × (B

_x

i + B

_y

j + B

_z

k)

=(A

_x

B

_x

i × i + A

_x

B

_y

i × j + A

_x

B

_z

i × k) + (A

_y

B

_x

j × i + A

_y

B

_y

j × j + A

_y

B

_z

j × k) + (A

_z

B

_x

k × i + A

_z

B

_y

k × j + A

_z

B

_z

k × k)

= (A

_y

B

_z

− A

_z

B

_y

)i + (A

_z

B

_x

− A

_x

B

_z

)j + (A

_x

B

_y

− A

_y

B

_x

)k.

(7.1)

x, y, z が循環的に入れ替わってることに注意. x → y → z → x.

覚え方



 

  A

_x

A

y

A

_z



 

  ×



 

  B

_x

B

y

B

_z



 

  = =



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¯ ¯¯

¯¯

A

_y

A

_z

B

y

B

z

¯¯ ¯¯

¯¯

¯¯ ¯¯

¯¯ A

z

A

x

B

_z

B

_x

¯¯ ¯¯

¯¯

¯¯ ¯¯

¯¯

A

_x

A

_y

B

_x

B

_y

¯¯ ¯¯

¯¯



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=



 

 

A

_y

B

_z

− A

_z

B

_y

A

_z

B

_x

− A

_x

B

_z

A

_x

B

_y

− A

_y

B

_x



 

 

【注】 上の式が使えるのは右手系の座標系を用いた場合．

(例)

A =



 

  2 3 0



 

  , B =



 

 

− 1

− 4 +5



 

 

に対して, 外積 B × A を計算しよう.

(答)

B × A =



 

 

− 1

− 4 +5



 

  ×



 

  2 3 0



 

  , =



 

 

− 4 · 0 − 5 · 3 5 · 2 − ( − 1) · 0

− 1 · 3 − ( − 4) · 2



 

  . =



 

 

− 15 +10 +5



 

  .

(参考) 角運動量

L = r×p

や力のモーメント

N = r×F (

¨

§

¥

高木

p.127,128¦)，フレミングの左手の法則 F =I×B,

やローレンツ力

F =q(E+v×B)

は, 外積で簡単に書ける．

1.8 内積や外積についての補足

・ 平面の方程式

A と B をある平面に含まれるベクトルとする と，A × B はこの平面と直交するベクトル, つ まり 法線ベクトル となる．

A r

O B

r

r r

0

A B × r r

r

₀

を平面上のある一つの点を表す位置ベクトル，r を平面上の任意の点を表す位置ベクトルと すると r − r

₀

は平面内に含まれるベクトルなので A × B と直交する；

(r − r

₀

) · (

A × B )

= 0 (8.1)

(r − r

₀

) · (A × B) > 0 の場合，r で表される点は平面で区切られた空間の 2 つの領域のうち，

平面に対して A × B の側の領域にある．((r − r

₀

) · (A × B) < 0 の場合は逆側にある．) また，平面までの距離は | (r − r

₀

) · n | となる．ただし

n = A × B

| A × B | (8.2)

は A × B と同じ向きの単位ベクトルで 単位法線ベクトル と呼ばれる．

平面

n r r r − r r

0

(r − r

₀

) · n > 0

平面

n r

r r − r r

0

(r − r

₀

) · n = 0

平面

n r

r r − r r

0

(r − r

₀

) · n < 0

D = r

₀

· (

A × B )

と書くと平面の方程式は r · (

A × B )

= D (D は定数) (8.3)

となる．A × B = (a , b , c)，r = (x , y , z) としてこの方程式を成分で書くと以下のように なる：

ax + by + cz = D . (8.4)

物数 I.9 内積 A · B のイメージ A と B の協力度みたいなもの

• 2 つのベクトルの向きが近いほど正で大きい. cos 0 = 1

• 2 つのベクトルの向きが反対だと負. cos π = − 1

• 2 つのベクトルの向きが直交してると零. cos

^π₂

= 0. A · B = 0.

• B · u = B · A

| A | は, B の A 向き成分.

x y

i

A

A i u

A u

( A i ) ( A u ) u

. .

. .

L

i

i, u は単位ベクトル.

A · i: ベクトル A の x 成分 (i 向きの成分) (A · i) i: ベクトル A の x 軸への 射影 .

A · u: ベクトル A の (有向) 直線 L 成分 (u 向きの成分) (A · u) u: ベクトル A の直線 L への 射影 .

(参考) 仕事

(スカラー)

は, 力

(ベクトル)

と変位

(ベクトル)

の内積.

外積 A × B のイメージ A と B のはった網みたいなもの

• 2 本の棒 A, B を使って網を張るような感じ.

• 網に直交する向きが C = A × B の向き. (表裏あり)

• 網の面積, つまり 平行 4 辺形の面積 が | C | = | A × B | . 2 本の棒が違う方向を向いて

るほうがたくさん魚がとれる.

スカラー 3 重積

^¨_§

香中

p.7^¥_¦

¨

§

¥

和達

p27¦

B × C はベクトル. ということは, A · (B × C) はスカラーになる. これをスカラー 3 重積と いう.

下の図から, 絶対値 | A · (B × C) | は, A,B,C を 3 辺とする 平行 6 面体の体積 .

体 積 だ か ら, A, B, C を 循 環 的 に 変 え て も 等 し い.

A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B) = − C · (B × A) . (10.1) (例)

ベクトル A = (0 , 0 , 1), B = (1 , 1 , 1), C = (1 , − 1 , 1) とする.

1. B, C を 2 辺とする平行 4 辺形の面積を求めよう.

2. A, B, C を 3 辺とする平行 6 面体の体積を求めよう.

(答)

1. B × C = (2 , 0 , − 2) なので，平行 4 辺形の面積は | B × C | = √

2

²

+ ( − 2)

²

= 2 √ 2 と なる。

2. スカラー 3 重積 A · (B × C) = − 2 より平行 6 面体の体積は | A · (B × C) | = 2 となる。

(参考) スカラー

3

重積は

3

行

3

列の行列の行列式と関係する：





 Ax

Ay

Az





·













 Bx

By

Bz





×





 Cx

Cy

Cz















=

¯¯¯¯

¯¯¯¯

Ax Bx Cx

Ay By Cy

Az Bz Cz

¯¯¯¯

¯¯¯¯ . (10.2)

物数 I.11

2 力のつりあい

力はベクトル

^¨_§

高木

p.26^¥_¦

¨

§

¥

香中

p.3¦

力 は向きと大きさを持ち, ベクトルで表される. 大き さの単位はニュートン [N]=[kg · m/s

²

].

物体に, 2 つの力 F

₁

と F

₂

が同時にはたらいているのは, 1 つの力 ( 合力 ) F = F

₁

+ F

₂

がはたらいているのと 同じこと.

物体にはたらくすべての力の合力が

F = F

₁

+ F

₂

+ · · · F

_n

= 0 (11.1)

のとき, 力はつりあっている ,

あるいは つりあいの状態にある という. このとき, 止 まっていた物体は止まったまま.

F

F F=F +F

1

2 1 2

F F F

F F

n

1 3 2

4

2 つの力のつりあい 綱引き 右図の場合,

F

₁

+ F

₂

= 0 (11.2)

のときつりあっている.

f f

F F

1

1 2

2

x 力の大きさを

f

₁

= | F

₁

| (> 0), f

₂

= | F

₂

| (> 0), (11.3) とすると，

F

₁

=

( − f

₁

, 0 , 0 )

, F

₂

= (

f

₂

, 0 , 0 )

(11.4) なので，つりあいの条件 (11.2) は

f

1

− f

2

= 0 つまり f

1

= f

2

, (11.5)

すなわち，力の大きさが等しいことを意味する．

【注】力 F

1

, F

2

はベクトル, 力の大きさ f

1

, f

2

はスカラー.

(例)

マルチ綱引きの 4 チームが, F

₁

, F

₂

, F

₃

, F

₄

の力で引いたところ, つりあいの状態になって綱は 動かなかった.

F

₁

=



 

  1 3 0



 

  , F

₂

=



 

 

− 2 2 0



 

  , F

₃

=



 

  1

− 4 0



 

  (12.1)

のとき, F

₄

を求めよう. いちばん力の大きいチームはどれ?

(答)

F

₄

= − (F

₁

+ F

₂

+ F

₃

) =



 

  0

− 1 0



 

  (12.2)

となる. したがって

| F

₁

| = √

10 , | F

₂

| = √

8 , | F

₃

| = √

17 , | F

₄

| = 1 . (12.3) より力が最も大きいのは F

₃

.

(例)

右図に示すように，質量 M [kg] のおもりと質量 m

₁

， m

₂

[kg] の おもりが滑車を通してひもでつながれ, つりあっている． cos(θ) と cos(φ) を m

₁

, m

₂

, M で表しなさい．

ただし質量 m [kg] の物体には, 重力 という大きさ mg[N]

の力 が 鉛直下向き にはたらく.

^¨_§

高木

p.36^¥_¦

g = 9.8 · · · m/s

²

(12.4) は 重力加速度 (の大きさ) とよばれる．

つまり質量 m [kg] の物体には働く重力の大きさは 9.8m [kg · m/s

²

]=9.8m [N] となる．

m

1

m

2

M

θ φ

物数 I.13

.

sin²(θ) + cos²(θ) = 1

(答)

右図のように座標系をとる． (z 軸は紙面に垂直に上向き． ) それぞれの糸の向きに働く力を F

₁

，F

2

および F

₃

とす ると

F

₁

= m

₁

g

( − sin(θ) , cos(θ) , 0 )

(13.1) F

₂

= m

₂

g

(

sin(φ) , cos(φ) , 0 )

(13.2) F

₃

= M g

(

0 , − 1 , 0 )

(13.3) となる．

θ φ

x y

F r

1

F r

2

F r

3

力のつりあいの条件 F

₁

+ F

₂

+ F

₃

= 0 より

− m

₁

sin(θ) + m

₂

sin(φ) = 0 (13.4)

m

₁

cos(θ) + m

₂

cos(φ) − M = 0 (13.5)

が得られる．

cos(θ) と cos(φ) を求めるので，式 (13.4) を 2 乗した式

m

²₁

(1 − cos

²

(θ)) = m

²₂

(1 − cos

²

(φ)) (13.6) と式 (13.5) を考える．式 (13.5) より得られる

m

₁

cos(θ) = M − m

₂

cos(φ) (13.7)

を式 (13.6) に代入して m

²₁

− (

M

²

− 2M m

₂

cos(φ) + m

²₂

cos

²

(φ) )

= m

²₂

− m

²₂

cos

²

(φ) (13.8) より

cos(φ) = M

²

+ m

²₂

− m

²₁

2M m

₂

(13.9)

が得られる．これを式 (13.7) に代入して

cos(θ) = M

²

+ m

²₁

− m

²₂

2M m

₁

(13.10)

が得られる．

例えば，m

1

= 1

2 M , m

2

= M の場合，

cos(θ) = 1

4 , cos(φ) = 7

8 (13.11)

が得られる．(θ ∼ = 76° , φ ∼ = 29°となる．)

直線上に束縛された物体にはたらく力のつりあい

^¨_§

高木

p.17^¥_¦

線路上しか動けない列車に綱をつけて綱引き

F

₁

を線路に 平行 なベクトル F

_1k

と 垂直 なベクトル F

_1⊥

に分解して考える:

F

₁

= F

_1k

+ F

_1⊥

. (14.1)

列車の動きに関係あるのは線路に 平行なベクトル F

_1k

だ け. 列車が動かないためには,

F

_1k

+ F

_2k

= 0 つまり F

_1k

= − F

_2k

(14.2) であればいい. 両辺の絶対値をとると,

| F

₁

| cos(θ) = | F

₂

| cos(π − φ). (14.3) この条件は内積を使うともっと簡単に書ける!

u F

F

1

2 θ φ π−φ

A

線路に平行な (単位ベクトルと限らない) ベクトルを A とする. 力 F

₁

の, ベクトル A の向き の成分は,

F

₁

· u = | F

₁

| cos(θ) (14.4)

となる．ただし，

u = 1

| A | A (14.5)

は A と同じ向きの単位ベクトル. 同様に，合力 F のベクトル A の向きの成分は, F · u なの で，直線上しか動けない物体にはたらく力のつりあいの条件は

F · u = (F

₁

+ F

₂

+ · · · F

_n

) · u = 0 (14.6)

となる．つまり, 合力 F の, (直線に平行な) ベクトル A の向きの成分が 0 になること. 成分 F · u は, 合力が A の向きにどれだけはたらくかを表す量.

【注】

F

_1k

= (F

₁

· u) u (14.7)

物数 I.15

.

cos(π−φ) =−cos(φ)

上の力 2 個の場合に, この条件 (14.6) は, | u | = 1 より,

0 = (F

₁

+ F

₂

) · u =F

₁

· u + F

₂

· u = | F

₁

|| u | cos θ + | F

₂

|| u | cos φ

= | F

₁

| cos θ − | F

₂

| cos(π − φ).

(15.1)

となり，たしかに条件 (14.3) と同じになっている．

(例)

まっすぐな線路が, ベクトル A = (1 , − 2 , 0) に平行に走っている.

1. 線路に平行な単位ベクトル u を求めよう.

2. 列車に力 F

₁

= (2 , 0 , 0) , F

₂

= ( − 1 , 1 , 0) が加わっている. 線路に平行な力 F

₃

を加 えて列車を動かないようにするには, F

3

はどのようなベクトルであればいいか考えよう.

3. 力の大きさ | F

₃

| を求めよう.

(答 1) | A | = √

1 + ( − 2)

²

= √ 5 より

u = 1

√ 5 (

1 , − 2 , 0 )

(15.2) (u の − 1 倍も可)

(答 2,3) F

₁

+ F

₂

= (

1 , 1 , 0 )

より (F

₁

+ F

₂

) · u = − 1

√ 5 となる．

従って，F

3

= F u とおくと, 線路に平行な力の成分のつりあいの式 0 = (F

₁

+ F

₂

+ F

₃

) · u = (F

₁

+ F

₂

) · u + F u · u = − 1

√ 5 + F (15.3)

より F =

√ 5

5 となる．つまり, 力の大きさは

√ 5

5 であり

F

₃

= 1 5 (

1 , − 2 , 0 )

(15.4) となる．

ポイント 1: A の向きの単位ベクトルは u = 1

| A | A.

ポイント 2: f u の大きさは | f | .

平面上に束縛された物体にはたらく力のつりあい

同様に，平面上に束縛された物体に平面外から合力 F がはたらく場合，物体が静止するのは，

平面内の全てのベクトル A について F · A = 0 が成り立つとき．

いま， 平面内の独立な 2 つのベクトルを a，b とすると ，平面内の全てのベクトルは A = αa + βb と表されるので，平面上しか動けない物体にはたらく力のつりあいの条件は

F · a = 0 , F · b = 0 (16.1)

となる．この条件は，F が平面に直交するベクトル a × b と同じ向き，あるいは逆向きである ことを意味するので，F と a × b の外積がゼロベクトルになるという条件にも表せる (外積の 式 (6.1) で θ = 0 あるいは θ = π の場合)：

F × ( a × b

)

= 0 . (16.2)

(参考) 式

(16.2)

は左辺のベクトルの

3

つの成分が全て

0

という条件を表すので，式

(16.1)

が表す

2

つの条件

より条件の数が多いように見えるが，実は

(16.2)

で独立な条件は

2

つだけになる．

A= (

A_x, A_y, A_z )

, B= (

B_x, B_y, B_z )

(16.3)

とすると，外積がゼロベクトルになるといる条件

A×B= (

A_yB_z−A_zB_y, A_zB_x−A_xB_z, A_xB_y−A_yB_x )

= (0,0,0) (16.4)

は，成分で表すと

A_yB_z = A_zB_y (16.5)

AzBx = AxBz (16.6)

AxBy = AyBx (16.7)

となるが

AxBy (16.5)

= Ax

AyBz

Az

=AxBz

Ay

Az (16.6)

= =AzBx

Ay

Az

=BxAy (16.8)

なので，(16.5) と

(16.6)

から

(16.7)

が出てくる．

物数 I.17

3 回転に対する力のつりあい

力のモーメント

^¨_§

高木

p.124^¥_¦

やじろべえ

^¨_§

香中

p.5,7^¥_¦

右の図のような原点で支えられたやじろべえが回転しな

い (つりあいの状態にある) 条件は,

| F

₁

| : | F

₂

| = | r

₂

| : | r

₁

| . (17.1)

じゃあ, 斜めに引っ張る場合は? x

y z

F

F r

¹

r

1 2

2

2

1

N N

F

1

を, r

1

に 平行, 垂直 に分解して得られるベクトルを F

_1k

, F

_1⊥

とする.

垂直な ベクトル F

_1⊥

, F

_2⊥

がやじろべえの動きに効く.

回転についてのつりあいの条件は

| F

1⊥

| : | F

2⊥

| = | r

2

| : | r

1

| . (17.2)

つまり | F

1

| sin θ : | F

2

| sin φ = | r

2

| : | r

1

| . (17.3)

y

x z

θ

φ F r

₁

F r

2

r r

1

r r

2

F

₁P

r

F r

1_⊥

F

2P

r

F

2⊥

r

実は, これはベクトルの外積を使うと便利に書ける.

^¨_§

香中

p.7^¥_¦

n 個の力 F

₁

, F

₂

, · · · , F

_n

が位置 r

₁

, r

₂

, · · · , r

_n

にはたらいているとき,

N

₁

= r

₁

× F

₁

, N

₂

= r

₂

× F

₂

, · · · , N

_n

= r

_n

× F

_n

(17.4) とおく. これらを, (原点のまわりの) 力のモーメント という.

単位はニュートンメートル [N · m].

原点のまわりの回転についてのつりあいの条件は, 原点のまわりの力のモーメントの和がゼ ロになること:

N = N

₁

+ N

₂

+ · · · N

_n

= 0 (17.5)

【注】このとき，原点 (回転の中心) からやじろべえには − (F

₁

+ F

₂

+ · · · + F

_n

) の力がはたら

いているので，やじろべえにはたらく合力は 0 となっている．

上の n = 2 個の力の場合には,

N = r

₁

× F

₁

+ r

₂

× F

₂

= 0.

ここで, 外積の定義を使う.

0 = | r

₁

|| F

₁

| (sin θ)( − i) + | r

₂

|| F

₂

| (sin φ)(+i)

=( −| r

₁

|| F

₁

| sin θ + | r

₂

|| F

₂

| sin φ)i . よって, (17.3) と同じ式

| F

₁

| sin θ : | F

₂

| sin φ = | r

₂

| : | r

₁

| . (18.1) が得られた.

やじろべえの回転する向き N =r

₁

× F

₁

+ r

₂

× F

₂

=



 

  0 2 0



 

  ×



 

  0 0

− 1



 

  +



 

  0

− 1 0



 

  ×



 

  0 0

− 3



 

 

=



 

  1 0 0



 

  6 = 0

(18.2)

で, つりあっていないので回転する. でも, どっちに?

x

y z

F

F

r r

1 2

2

1

回転の向き

・ 回転軸は N に平行.

・ 回転の向き (図で, 時計回りまたは反時計回り) は, N 向きに進む 右ねじ の回る向き.

3 次元やじろべえと外積

x

y z

F F

r

1 2

3

r

1

r

3

F

²

立体的なやじろべえのときも同じ.

N = 0 ならつりあってる. (回転しない．) N 6 = 0 なら,

・ 回転軸は N に平行.

・ 回転の向き (図で, 時計回りまたは反時計回り) は, N

向きに進む右ねじの回る向き. · · · 右ねじの向き

物数 I.19 (例)

原点を中心に回転するやじろべえを考える。

r

₁

= (0 , 2 , 1) の点に力 F

₁

= (0 , 2 , − 1) を,

r

₂

= (0 , − 1 , 0) の点に力 F

₂

= (0 , − 1 , − 2) を加える。

右の図 (ベクトルは正確ではありません) のように x 軸の

正の向きから見たとき, やじろべえは時計回り, 反時計回 りどちらに回るか考えよう。

y x

z

F

F

r r

1 2

2

1 θ

φ

(答)

N

₁

= r

₁

× F

₁

= ( − 4 , 0 , 0) , N

₂

= r

₂

× F

₂

= (2 , 0 , 0) (19.1) より，N

1

+ N

₂

= ( − 2 , 0 , 0) は x 軸の負の向きとなる。従ってやじろべえは時計回りに回る。

(例)

図 1 に示すように，長さ L の棒の一端 O を自由に回転できるように固定する．棒の中点 A に は質量 m のおもりをつるす。(このおもりで，棒の質量を代表する．)

棒の他端 B に結ばれたひもを点 C にある滑車を通して大きさ f (> 0) の力 F で引っ張ると，

棒が水平面から θ 傾いてつりあった．ただし，点 C は点 O から水平方向に L 離れた，高さ 2L の位置にある．

図 2 に示すように点 O を座標系の原点として z 軸を鉛直上向きにとる．また，棒と滑車が y-z 平面内にあるように y 軸を水平方向にとる．x 軸は点 O から紙の表側に向かっている．このと き次の問に答えなさい．ただし，棒とひもの質量は無視できるとし，重力加速度の大きさを g とする．

ᵟ ᵠ

ᵡ

ᵭ

L

2 L

m

L

F

r

図 1

ᵟ ᵠ

ᵡ

ᵭ

F2

F 1

y z

x

図 2