博 士 （ 理 学 ） 大 山 義 仁
学 位 論 文 題 名
DynamlCSOftraVelingpulSeS
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inheterogeneouSmediaofjumptype
（ ジ ャ ン プ 型 空 間 非 一 様 性 媒 質 に お け る 進 行 パ ル ス ダ イ ナ ミ ッ ク ス ）
学 位 論 文 内 容 の 要 旨
自然界のパターンは実験室の中の化学反応系から宇宙の大規模構造に至まで様々な規模で 形成されている．そのため，物理学，化学，生物学，工学など至る所でパターン形成に関 する研究が進められている．パターン形成の一般的な仕組みを解明することは重要であり，
さらにそれを応用することが求められている，自然界のパターン形成の記述には反応拡散 方程式がしぱしぱ用いられる．様々なモデル方程式が提案されており，そうした方程式の 時空間パターンの解析が数多くなされている．一次元パルスの挙動や二次元スポットの振 る舞いなどが数学を用いた解析によって明らかにされつっある．
これまでの研究では，モデル方程式の拡散係数やカ学パラメータが空間一様である，すな わち空間一様性媒質の研究が大部分であった．しかし，現実の現象においては拡散係数や カ学パラメータが空間非一様になっていることが想像される．そこで本研究では，空間非 一様性媒質が時空間パターン形成にどのような影響を与えるかに注目した．反応拡散系に 現れ る 一 次元 進行パ ルスが空 間非一様 な媒質 上でどの ように 振る舞う かを考 察した．
本研究で扱う反応拡散系モデルは，一次元パルスの性質が比較的よく知られている空間ー 次元のGray‑Scott モデルを用いた，同モデルでは安定な進行パルス，安定な定常パルス，
分裂するパルスが存在することが知られている．空間非一様媒質として，最も単純な場合で あるジャンプ型とパンプ型を採用した．ジャンプ型は，方程式のカ学パラメータの値があ る 一点で急激に変化しているものであり，バンプ型はカ学パラメータの値が2 点で急激に 変化しているものである．空間非一様性媒質は進行パルスの伝搬スピードに影響を与える．
上記の設定のもと安定な進行パルスが存在するパラメータ領域において数値実験を行ない，
ジ ャンプの 高さを変化させることによルパルスは3 つのクラスに分かれることを明らかに し た ． ジャ ン プ の高 さ が 低い と き は ，進 行 パ ルス は ジ ャン プ を乗り 越えて 進行する
(Penetration)こ と が でき る ． ジャ ンプ の高さが 高くな ると，進 行パル スは分裂 する
(Splitting)．さらにジャンプの高さが高くなると，進行パルスはギャップに対して反射す
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る(Rebound) ，反対にジャンプの高さを低くすると，Penetration のみ観察することができ る．ジャンプの高さを低くしすぎると進行パルス領域から分裂パルス領域となってしまう ため注意が必要である，
数値実験によって観察されたダイナミックスが各種パラメータの変化とどのように対応し ているかを，Saddle‑node 分岐とpitchfork 分岐が同時に起きる複合分岐点近傍の解析を行 なった．モデル方程式は偏微分方程式で表現されていているため，解の性質を直接調べる ことが困難である．そこで，複合分岐点近傍において，定常パルス解，pitchfork 分岐に関 連した固有関数，Saddle ‑node 分岐に関連した固有関数を用いて，進行パルス解を近似す ることにより，もとの偏微分方程式を有限次元力学系へ縮約した．この縮約から導出され た常微分方程式は，空間非一様性媒質に関して一般形で表現されているため，様々な空間 非一様性媒質に適用可能なものとなっている．
最後に，本研究ではカ学パラメータの値が空間非一様性を持ったGray −Scott モデルを用い て，1 次元パルスの振る舞いがどのようになるかを数値計算により明らかにし，そのダイナ ミックスを有限次元力学系に縮約し解析を行なった，以上のことから，このダイナミックス を明らかにした，
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学位論文審査の要旨
学位論文題名
DynamlCSOftraVelingpulSeS ●
． type
lnheterogeneouSmediaofjump
（ジャンプ型空間非一様性媒質における進行パルスダイナミックス）
自 然 界 のぺ タ ー ン は 実験 室 の 中 の 化 学反 応 系か ら宇宙 の大規 模構造 に至ま で様 々な規 模で形 成され てい る．そ の ため，物理蝋ちイピ義生物らと 工学など至る彦PBペターン罷繊に関する研萌訪ミ進められて¥(ヽる．′くターン形戒6）一 般 的 な 仕 組 み を解 明 す る こ とは 重 要 で あ り， さら にそれ を応 用する ことが 求めら れて いる． 自然界 のパタ ーン形 成 の 記 述 に は 反 応拡 散 方 程j効ミ しぱし ぱ用い られる ．それ らの 有する 時空間 パター ンの 解听が 数多く なされ ている ． こ れ ま で の 研 究で は モ デン1′ カ程窺 硼繍噸 激やキ ネティ ック パラメ ータが 空間― 様で ある， すなわ ち空間 →闇弛 ． 媒 質 に お け る 研究 が 大 部 分 であ っ た ． し かし ，現 実の現 象に おいて はそれ らが空 間非 一様に なって いるこ とが普 通 で あ り 、 そ れ が実 際 に パ タ ーン ダ イ ナ ミ クス にど のよう な影 響を与 えるか につい ては まだま だ未開 拓であ った。 そ こ で 本 研 究 で は空 間 非 ， 様 性媒 質 が 時 空 間パ ター ンダイ ナミ クス、 とりわ け空間 局在 パター ン、例 えぱ′ ルレス の j臓眦 こどの ような影響を与えるカ斗こ注目し、さらにこれを有限渉：元ダイナミクスに帰着することにより、方程多ヤコ 種頃によらない普遍的性質を取り出すことを主目的としたものである。
櫑 紋 で 扱 う 劇 滋 散 系 モ デ ′Mミ 一 次 カ ヤ レ ス 蹴 頃 が 比 較 的 よ く 知 ら れ て い る 空 間 一 炊 元 のGray‑Scottモ デ ル を用 いてい る．同 モデ′ レで は安定 な進行 パルス ，安定 な定 常/.11／ ス，分裂するパルスが存在することが知られて い る． 空間非 一様蘋 頃とし ては ，最も 単純な 場合で あるジ ャン プ型と バンブ 型を採 用し ている ．ジャ ンプ型 は，方 程 式のあるノくラメータの値カミHeaviside関数のように、ある一一´愾で急激に変化して｀ヽるものであり，バンブ型旧ンくラ メ ー タ の 値 が ある 有 限 区 間 で異 な る 値 を とる 場合 を想定 して いる． 空間非 一様性 媒質 は進行 パルス の伝般 スピー ド に大きく影響を与えることが知られてVヽる，
ヒ 記 の 設定 の も と 安 定な 進 行 パ ル ス が存 在 する パラメ ータ領 域にお いて数 値実 験を行 ない， ジャン プの 高さを 変 化 さ せ る こ と によ ル パ ル ス の振 る 舞 い は3つ の ク ラ ス に分 か れ る こ とを明 らかに した ．ジャ ンプの 高さが 低いと き にL進 行パ′ レス はジャ ンプを 乗り越 えて 進行す る(Penel二ration)ことが できる，ジャンプの高さが高くなると，進行 パ ル ス は 分 裂 する(SI）litting)． さ らに ジ ャ ン プ の高 き が 高 く なる と， 進行パ ルスは ギャッ プに対 して 反射す る (Rebound)． これ ら 数 値 実 験に よ っ て 観 察さ れ た ダ イ ナミ ッ ク ス が 各種パ ラメー タの 変化と どのよ うに対 応し てい る か を 理 論 的 に考 察 す るた めにパ ルスがSaddlc‑nodc分岐 と血chf0血分岐 が同時 に起き る複 合分岐 帯近傍 にある とし て 、そ れがジ ャンブ 型の非 一蘭 生に出 会った ときの 振る舞 いを パルス 相互作 用の理 論を 用いて 鱇斤を 行なっ ている ． モ デ ン1カ 程式 は 偏 微 分方 程式 で表現 されて いてい るため ，解 の性質 を直接 調ぺる こと が困難 である ため、 なんら か ー136―
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査
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主
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の 縮 約 技 鸛 ま 不 可 欠 と な る ． こ こ で は 後 合 分 岐 ー 鳥 目 旁 に お い て ， 定 常 ′ ルレ ス 解 ，pitchfork分 岐 に関 連 し た 固 有 関 数 Saddle‑node分 岐 に 関 連 し た 固 有 関 数 を 用 い て ， 進 行 ′ 弋 ル ス 解 を 近 似 す る こ と に よ り ， も と の 偏 微 分 方 程 式 を 有 限 次 元 不 変 多 様 体 の 運 動 に 帰 着 す る こ と が 可 能 と な り 、 そ の 上 の 流 れ と し て 有 限 次 元 力 学 系 を 具 体 的 に 得 る こ と が 可 i能 と な っ て い る ． こ の 縮 約 か ら 導 出 さ れ た 常 微 分 方 程 う 錨 え 空 間 非 一 様 性 媒 煎 こ 関 し て ―ii尭 攻 蝋 さ れ て い る た め ， 周 期 型 、 ラ ン ダ ム 型 を は じ め 様 々 な 空 間 非 一 様 性 媒 質 に 適 用 可 能 な も の と な っ て い る ． 以 上 よ り 、 著 者 は パ ルC天 の 非 ト 埔 纈 に お け る 運 動 に つ い て 、 特 異 点 近 く に お い て ノ ル レ ス ダ イ ナ ミ ク ス の 手 法 に よ り 有 限 次 元 ダ イ ナ ミ ク ス に 帰 着 す る こ と に 成 功 し た 。 さ ら に そ の 帰 着 さ れ た 有 限 次 元 ダ イ ナ ミ ク ス は 方 程 式 の 種 類 に よ ら な ぃ 普 遍 的 構 造 を 有 し て い る こ と 、 す な わ ち 通 過 、 分 裂 、 反 射 の 振 る 舞 い を 引 き 起 こ す 隠 れ た 数 学 的 強 溝 を 明 ら か に し た 気 に お い て 、 非 一 様 な 媒 質 に お け る パ タ ー ン ダ イ ナ ミ ク ス の 進 展 に 寄 与 す る と こ ろ 大 な る も の が あ る ．
よ っ て 蓉 者 は 北 海 道 大 学 博 士 ぽ ） の 学 位 を 授 与 さ れ る 資 格 あ る も の と 認 め る ．
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