1. (i, j) 成分 aij が次のように与えられる 3×2行列 A= [aij] を具体的に書け．
(1)aij = (−1)i+j (2) aij =i+j (3) aij =δji (4) aij =δi,j+2
(5)aij =jδij (6) aij =δij+δi,j+1 (7) aij =δ1j ·δi1 (8) aij = (−1)δij 2. 次の行列の(i, j) 成分 aij をクロネッカーのデルタを用いて表せ．
(1)A =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
(2) A =
1 0 0 0 2 0 0 0 3
(3) A=
1 0 1 0 1 0 1 0 1
3. 次の正方行列 A が対称行列であるように a, b, c を定めよ．
A=
1 2a+ 1 3
b −2 a
c b−2 0
4. 次の正方行列 B が交代行列であるように a, b, c, d を定めよ．
B=
a 1 0
−1 b−3 d+ 4
0 2 c
5. 次の行列の計算を行え．
(1)
[ 1 2
3 4 ]
+
[ 5 6
7 8 ]
(2)
[ 3 −1 2
0 1 −5 ]
−
[ 0 −4 −3
1 2 4
]
(3)
1 2 3
−5
0
−1
−1
(4) 2
[
1 3 2 ]
+ (−3) [
1 1 1 ]
6. 次の行列の計算を行え．
(1)
[ 3 −1 0
0 0 1
]
4 3 2 1 0 −1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
200 −10 3000
−10099 20 53
33
23 30 2
(2)
[ 1 −1 1 1
] [ 1 0
] +
[ 0 1
−1 0
] [ 0 1
]
(3) [
0 1 1 0
]4
(4) [
1 2 ] t[
3 4 ] (5) t
[
4 5 6 ] [
1 2 3 ]
(6)
1 2 1 0 3 4 0 1 0 0 1 3 0 0 0 1
2 2 1 0 2 3 0 1 0 0 3 1 0 0 1 0
7. 以下の行列A, B に対して t(AB), t(BA), tBtA, tAtB を求めよ．
(1) A=
[ 1 −3 4 2
]
, B=
[ −9 2 1 4
]
(2) A=
[ 1 −4 0
4 −2 2 ]
, B=
−3 2 1 5 3 0
(3) A=
3 −5 0 4 −3 1 1 0 −10
, B=
−5 2 −5 3 5 −11
−3 0 2
8. A が m×n 行列のとき
[ Em A O En
]k
を求めよ．
9. 次の行列に対し，An を計算せよ．
(1)A =
0 1 0 0 0 1 0 0 0
(2) A =
0 0 1 1 0 0 0 1 0
(3) A=
a 0 0 0 b 0 0 0 c
(4)A =
[ a b 0 1
]
10. 次の等式をみたすx, y, z, w を求めよ．ただし，ad−bc ̸= 0とする．
[ x y z w
] [ a b c d
]
=
[ 1 0 0 1
]
11. A を正方行列とする．A5 =O であるとき，以下の行列を計算せよ．
(E−A)(E+A+A2+A3+A4)
12. 次の列ベクトル a が列ベクトル b1,b2 の1次結合で表すことができるための a, b の条件を求めよ．
(1) a=
a 2 3
, b1 =
1 2 1
, b2 =
2 3 1
(2) a=
0 a b
, b1 =
1
−1 1
, b2 =
2 1 3
(3) a=
a b 1
, b1 =
1 1 1
, b2 =
2 1 0
13. u1,u2,u3,v1,v2,v3 をn 次列ベクトルとする．
[ v1 v2 v3
] =[
u1 u2 u3
]
1 3 5
−1 4 6 0 2 −7
であるとき，n 次列ベクトル w =v1+ 3v2−4v3 をu1,u2,u3 の1次結合で表
14. 次の連立 1 次方程式を行列で表し，掃き出し法を用いて解け．
(1)
x+y−z = 1 x−y+z = 1
−x+y+z = 1
(2)
a+ 2b−3c=−4 2a+ 4b+c= 13 8a+b−5c=−5
(3)
−y+ 3z = 4
−3x+ 2y+ 4z =−4
−2x−y−2z =−5
(4)
p+ 3q+ 9r= 1 2q−3r= 0 4r = 3
(5)
2x−y+z−w = 4 x−y−z+w = 5
−2x+ 2y+z+ 2w=−4
−x+y−z+ 3w= 3
(6)
s−t+ 2u−4v=−3 2s−2t+ 3u−6v=−4
−s+ 2t−3u+ 6v= 6
−3s+ 3t−4u+ 7v= 4
15. 次の行列の階数を求めよ．また各々を係数行列とする同次連立1次方程式を解け．
(1)
1 2 −3 2 4 1 8 1 −5
(2)
2 −1 −3
−6 3 9
−4 2 6
(3)
0 −1 3
−3 2 4
−2 −1 −2
(4)
3 −5 1
−1 −1 1 2 −4 1
(5)
1 1 −6
−3 1 2 1 −1 2
(6)
1 1 −1
2 0 1
1 −1 2
(7)
1 1 1 2
1 2 −1 3
3 4 1 7
(8)
1 2 −1 1
2 4 −1 4
−2 −4 3 0
3 6 −1 7
(9)
1 −1 −1 1 0
−2 4 3 0 0
−3 6 8 7 1 1 −2 2 7 1
16. 次の連立1次方程式を掃き出し法で解け．また，係数行列と拡大係数行列の階数を 求めよ．
(1)
2x−y−3z =−1
−6x+ 3y+ 9z = 3
−4x+ 2y+ 6z = 2
(2)
x+y−6z = 3
−3x+y+ 2z =−1 x−y+ 2z =−1
(3)
x+y−z = 5 2x+z =−2 x−y+ 2z = 0
(4)
x1+x2−x3−x4 = 0 2x1+x3+x4 = 2 x1−x2+ 2x3 = 6
(5)
x1+ 2x2+ 4x3 = 1 2x1+ 4x2+ 8x3 = 2 3x1+ 6x2+ 12x3 = 3
(6)
x1+ 2x2+x3 = 0 x1−x3 = 1
−x1+x2+ 2x3 = 0
−x1+x2 =−1
(7)
x1−2x2−x3+x4 = 3
−2x1+ 4x2+ 3x3 =−8
−3x1+ 6x2+ 8x3+ 7x4+x5 =−16 x1−2x2+ 2x3+ 7x4+x5 = 0
17. 次の連立 1 次方程式が解を持つための a, b, c の条件を求めよ．
(1)
2 1 3
0 −1 1
1 1 1
x1
x2 x3
=
1 a b
(2)
1 −1 1
1 1 2
2 −2 a
x1
x2 x3
=
2 5 5
(3)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x1 x2 x3
=
a b c
(4)
1 −1 2 0 −1 1
1 0 4
x1 x2 x3
=
a b c
18. 連立 1 次方程式 Ax= b が解 x0 を持つとする．このとき同次連立 1 次連立方程 式Ax=0 の任意の解 x1 に対して，x0+x1 が連立 1 次方程式 Ax=b の解と なることを示せ．
19. 次の行列が正則行列であるか調べ，正則行列であればその逆行列を求めよ．
(1)
2 3 5 1 5 3 0 0 1
(2)
2 −1 0 2 −1 −1 1 0 −1
(3)
5 −2 2 3 −1 2
−2 1 −1
(4)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
(5)
3 −3 −9 1 1 −1 1 −1 −5
(6)
4 3 −5 0 −5 −1 0 0 −1
(7)
1 3 3 3 1 1 2 4 0 3 1 3 0 0 1 0
(8)
1 3 4 −3 1 1 0 −4 0 3 1 3 1 4 1 −1
(9)
1 3 4 −3 1 1 0 −4 0 3 1 3 1 4 1 1
(10)
1 −3 3 3
1 2 0 4
3 3 1 3
4 12 0 0
(11)
13 13 32 13 12 12 23 14
0 3 11 13
20 10 −1 10
(12)
1 0 0 0
1 1 0 0
50 30 −19 0 40 10 100 0
20. 次の等式をみたす2 次正方行列 A を求めよ．
(1)
[ 1 −3
−3 8 ]
A=
[ 1 −3
4 9 ]
(2)
[ 7 −3
14 −6 ]
A=
[ −1 −3
3 3
]
21. 次の等式をみたす3 次正方行列 A を求めよ．
(1)
2 1 4 3 7 8 1 2 −3
A=
1 2 4 3 5 6 8 7 0
(2)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
22. A を正方行列とする．A5 =O であるとき，E +A とE −A の逆行列を求めよ．
23. 以下の行列式を求めよ．
(1)
−3 2 4 5
(2)
−1 3
−1 −2 (3)
cosθ −sinθ sinθ cosθ
(4)
cosθ sinθ sinθ cosθ
(5)
[
a b c d
] [ p q r s
] (6) [
a b c d
] +
[ p q r s
] (7)
a b
c+q d+r
(8)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
(9)
1 −2 3
2 1 2
3 −1 −5
(10)
1 2 3
−2 1 −1 3 2 −5
(11)
x 0 0 α a b β c d
(12)
y γ δ 0 a b 0 c d
(13)
1 2 3 9 8 0 1 2 3
(14)
0 2 6 1 4 12 3 6 18
(15)
x y z
kx ky kz
a b c
(16)
x y z
a+kx b+ky c+kz
a b c
(17)
1 0 0 4 2 0 5 6 3
(18)
−5 3 10 0 8 99 0 0 13
(19)
3 0 1
−3 −9 7
7 8 10
3
(20)
[ −3 2
4 5 ]−1
24. 平面内の 2 つのベクトル a = [
a1
a2 ]
, b = [
b1
b2 ]
に対して，平面上で a と b
が張る平行四辺形の面積が行列式
a1 b1
a2 b2
の絶対値に等しいことを示せ．
25. 次の平面上の4点 A, B, C, Dに対して，四角形 ABCD の面積を求めよ．
(1) A(0,0), B(3,1), C(2,4), D(−1,3) (2) A(0,0), B(2,1), C(6,6), D(2,4) (3) A(0,−1), B(6,1), C(7,3), D(5,5)
26. 以下の行列式を求めよ．
(1)
1 3 −4 0 2 1 −8 −1
3 2 8 0
3 0 0 −1
(2)
0 −1 4 0 2 3 −9 −1
4 1 1 0
5 0 −4 −3
(3)
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
(4)
1 0 3 0
0 0 −2 0
0 1 0 0
0 −4 0 −1
(5)
0 0 5 0
1 1 −2 0
0 1 0 1
0 4 0 −3
(6)
0 0 3 0
0 −2 0 0
6 0 0 0
0 0 0 −7
(7)
4 −3 0 5 −3 3 4 −6 −7 0 2 −1 0 −10 11
2 4 8 3 2
5 5 5 5 −5
(8)
4 0 0 0 0
73 1 0 0 0
42 −1 1 0 0 82 74 66 3 0 59 5 35 21 −2
27. 6 次正方行列A= [aij] が以下のように与えられるとき，その行列式|A| を求めよ．
(1)aij =δi,j +δi,j+1−δi+1,j (2) aij = 6i+j−6 (3) aij = (−2)i−2j
28. 空間内の点 O(0,0,0), A(1,2,3), B(0,3,−4), C(3,−4,−5) を頂点とする平行 6 面体の体積を求めよ．
29. 3 次列ベクトル a =
a1
a2 a3
,b =
b1
b2 b3
に対し a×b =
a2 b2
a3 b3
a3 b3
a1 b1
a1 b1 a2 b2
とし
て定まる 3 次列ベクトル a×b はa とb の外積と呼ばれる．以下を求めよ．
(1)
1 3 5
×
0 3
−1
(2)
1 1 1
×
1
−1 0
(3)
√5 1
−√ 5
×
√5 5
−5
