1. 次の行列の積を計算せよ 1 2 3

２００７年線形数学 I 期末試験問題 2007^年8^月10^日(^金)^実施

(^注意)

• 解答は解答用紙に書くこと．

• 解答用紙には学籍番号，氏名を忘れずにかくこと．

• 解答は結果だけでなく，それに至る過程を記述すること．結果のみの解答の場合，その問 の得点は0 ^{点とする．}

1. 次の行列の積を計算せよ 1 2 3

4 5 6 ⎛ ⎜ ⎝

−1 4 2

⎞

⎟ ⎠ 6 −3 −2 1

2. 次の連立方程式を解け．

⎧ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎩

2x + y = 5

−3x − y + z = −8 4x + 3y + 2z = 9

解がただ一つのときにはその解を求めよ．解が無数にあるときは具体的に３つ解を与 えよ．解をもたないときは解なしと答えよ．

3. 次の行列の逆行列を求めよ．

⎛

⎜ ⎝

2 12 8 1 5 4 2 1 6

⎞

⎟ ⎠

4. つぎの行列式を計算せよ．

−1 0 1 2 0 3 1 4

−2 1 0 1

−3 2 1 4 5.

(a) ２次行列式 a b

c d

= 3 であるとき，つぎの行列式を計算せよ．ただし，直接計 算せずに行列式の性質を用いて導け．

4b d + 2b 4a c + 2a

(b) ２次正方行列 A, B が AB =

1 2 3 −4

をみたすとき A は正則であるか？述 べよ．

K.U.

[ 解答例 ] 1.

78 −39 −26 13 168 −84 −56 28

2.

⎛

⎜ ⎝ x y z

⎞

⎟ ⎠ = t

⎛

⎜ ⎝ 1

−2 1

⎞

⎟ ⎠ +

⎛

⎜ ⎝ 3

−1 0

⎞

⎟ ⎠ . 特に t = 0, ±1 に取ると

⎛

⎜ ⎝ 3

−1 0

⎞

⎟ ⎠ ,

⎛

⎜ ⎝ 4

−3 1

⎞

⎟ ⎠ ,

⎛

⎜ ⎝ 2 1

−1

⎞

⎟ ⎠

3.

⎛

⎜ ⎝

13/2 −16 2 1/2 −1 0

−9/4 11/2 −1/2

⎞

⎟ ⎠

4. 2 5. (a)

4b d + 2b 4a c + 2a

=

4b d 4a c

+

4b 2b 4a 2a

= 4 b d

a c + 8

b b a a

= −4 a c

b d

= −4 a b

c d

= −12

それぞれどの性質を用いたか・ ・ ・考えてください．

(b) |AB| =

1 2 3 −4

= −10 = 0. 積の性質 |AB| = |A||B| より |A||B| = 0. よって

|A| = 0 でなければならない．ゆえに A は正則である．

K.U.