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数学特論Ａ 第４回http://my.reset.jp/˜gok/math/advanced/ 1
行列の計算
1
型と転置1.1
型実数を長方形に並べたものを行列と言った訳ですが、その縦の長さ（縦に幾つ数字が 並んでいるか）が
m
、横の長さがn
であるとき、この行列は(m, n)-
型、或は、m × n
型であると云います。縦に
m
個
a 11 a 12 · · · a 1n
a 21 a 22 · · · a 2n
.. . .. . . .. .. . a
m1a
m2· · · a
mn
| {z }
横に
n
個: (m, n)-
型一般に行列
M
において、上からi
番目、左からj
番目の成分をM
の(i, j)-
成分と言 い、多くの場合m
ijと書きます（そのためには行列を表す記号は常に大文字を使う必 要があります。行列がA
ならその成分はa
ijです）。1.2
転置行列の転置（
transpose
）は、(1, 1)
成分、(2, 2)
成分、・・・（非正方行列でこれらが ない場合は、想像で補って考える）を通る 対角線 で折り返せば良い：ここで言う対角線は行列（長方形）の対角線そのものではないので注意が必要です。
良く使う型のものでは、
t
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
=
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
,
t
a 1
a 2
a 3
= ≥
a 1 a 2 a 3
¥ ,
t≥
a 1 a 2 a 3
¥
=
a 1
a 2
a 3
.
であり、一般に、
(m, n)-
型の行列を転置すると(n, m)-
型になります。A =
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
において、=
a 11
a 21
a 31
, =
a 12
a 22
a 32
, =
a 13
a 23
a 33
と書く事にすれば、
(3, 3)-
型の正方行列A
は３次元ヴェクター（ヴェクターと言ったら、常 に縦ヴェクターを意味する事に注意）を３つ左右に並べたものと解釈する事が出来て：A =
a 11
a 21
a 31
a 12
a 22
a 32
a 13
a 23
a 33
= ( )
と（便宜上）書く事があります。このとき
A
の転置はt
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
=
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
=
≥
a 11 a 21 a 31
¥
≥
a 12 a 22 a 32
¥
≥
a 13 a 23 a 33
¥
=
t t t
と云う風に３次元横ヴェクターを３つ上下に並べたものと解釈する事も出来て、
t
A =
t( ) =
t t t
とも書けます。
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2
積行列の掛け算の基本は次の式、これに尽きます：
≥
a b ¥ √ ξ
√
!
= aξ + b√ .
あとはこれを左右・上下に拡張して考えます：
√ a b c d
! √ ξ
√
!
=
√ a b c d
! √ ξ
√
!
=
≥
a b ¥ √ ξ
√
!
≥
c d ¥ √ ξ
√
!
=
√ aξ + b√
cξ + d√
! ,
≥ a b
¥ √ ξ ω
√ µ
!
= ≥ a b
¥ √ ξ ω
√ µ
!
=
√ ≥ a b
¥ √ ξ
√
! ≥ a b
¥ √ ω µ
!!
= ≥
aξ + b√ aω + bµ
¥ ,
√ a b c d
! √ ξ ω
√ µ
!
=
√ a b c d
! √ ξ ω
√ µ
!
=
√√ a b c d
! √ ξ
√
! √ a b c d
! √ ω µ
!!
=
≥ a b
¥ √ ξ
√
! ≥ a b
¥ √ ω µ
!
≥
c d ¥ √ ξ
√
! ≥
c d ¥ √ ω µ
!
=
√ aξ + b√ aω + bµ cξ + d√ cω + dµ
! .
2.1
積と転置の関係行列の積を転置すると順番が入れ替わるので注意が必要です：
t
(AB) =
tB
tA .
簡単な場合に成分計算して確かめてみて下さい（演習問題参考）。
3
ヴェクターの内積(3, 1)-
型の行列と３次元ヴェクターを同一視する事にします。そうして転置記号を使 うとヴェクターの内積も行列の積だと思える事になります：t
a 1
a 2
a 3
ξ 1
ξ 2
ξ 3
= ≥
a 1 a 2 a 3
¥
ξ 1
ξ 2
ξ 3
= a 1 ξ 1 + a 2 ξ 2 + a 3 ξ 3 =
a 1
a 2
a 3
·
ξ 1
ξ 2
ξ 3
.
内積は任意の次元のヴェクターに対して定義する事が出来ます。２つのヴェクター
,
（もちろん同じ次元である必要はありますが）に対して· =
t となります。事実
3.1 (
内積の性質)
【対称性】：
· = · .
【双線形性】：定数倍、足し算は分配法則によって展開出来ます。
(l + m ) · = l( · ) + m( · ), · (l + m ) = l( · ) + m( · )
【回転対称性】：
R
を回転行列とすると、(R ) · (R ) = · .
【幾何学的な意味】：ヴェクター
,
の挟む角をθ (0 ≤ θ ≤ π)
とすると、· = | || | cos θ.
4
３次元ヴェクターの外積× =
a 1
a 2
a 3
×
b 1
b 2
b 3
=
Ø Ø Ø Ø Ø
a 2 b 2
a 3 b 3
Ø Ø Ø Ø Ø
− Ø Ø Ø Ø Ø
a 1 b 1
a 3 b 3
Ø Ø Ø Ø Ø Ø
Ø Ø Ø Ø
a 1 b 1
a 2 b 2
Ø Ø Ø Ø Ø
=
a 2 b 3 − a 3 b 2
a 3 b 1 − a 1 b 3
a 1 b 2 − a 2 b 1
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内積とは違って外積は ３次元のヴェクターに対してしか 定義する事が出来ません。事実
4.1 (
外積の性質)
【反対称性】：
× = − ( × )
従って、特に× = .
【双線形性】：定数倍・足し算は分配法則によって展開出来ます。
(l + m ) × = l( × ) + m( × ), × (l + m ) = l( × ) + m( × ).
【回転対称性】：
R
を３次元の回転行列とすると、(R ) × (R ) = R( × ).
【幾何学的な意味 向き】：
×
は 、 の双方に 直交 します：( × ) · = 0, ( × ) · = 0.
【幾何学的な意味 大きさ】：ヴェクター
,
の挟む角をθ (0 ≤ θ ≤ π)
とすると、| × | = | || | sin θ.
4.1
内積と外積の関係( + ) · { ( + ) × }
を計算すると· ( × ) = · ( × )
が分かります：0 = ( + ) · { ( + ) × }
= · { × } + · { × } + · { × } + · { × }
= · { × } + · { × } .
同様に幾つか計算すれば次が得られるでしょう：事実
4.2
任意の３次元ヴェクター, ,
に対して次が成り立ちます：· ( × ) = · ( × ) = · ( × ).
4.2
因数分解公式と双曲的内積良く知られた因数分解式：
(aX + bY ) 2 + (aY − bX) 2 = (a 2 + b 2 )(X 2 + Y 2 )
も、次のように見ると違った景色が見えてきます（演習問題参照）：Ωµ a
b
∂
· µ X
Y
∂æ
2+ Ωµ a
b
∂
· µ − Y
X
∂æ
2= Ø Ø Ø Ø
µ a b
∂ØØ Ø Ø
2
Ø Ø Ø Ø
µ X Y
∂ØØ Ø Ø
2
cos
2θ + Ø Ø Ø Ø
µ a b
∂ØØ Ø Ø
2
Ø Ø Ø Ø
µ − Y X
∂ØØ Ø Ø
2
cos
2≥ θ + π
2
¥
= Ø Ø Ø Ø
µ a b
∂ØØ Ø Ø
2
Ø Ø Ø Ø
µ X Y
∂ØØ Ø Ø
2
cos
2θ + Ø Ø Ø Ø
µ a b
∂ØØ Ø Ø
2
Ø Ø Ø Ø
µ X Y
∂ØØ Ø Ø
2
sin
2θ
= Ø Ø Ø Ø Ø Ø
a b 0
·
X Y 0
Ø Ø Ø Ø Ø Ø
2
+ Ø Ø Ø Ø Ø Ø
a b 0
×
X Y
0
Ø Ø Ø Ø Ø Ø
2
実際、任意の３次元ヴェクター
,
に対して次式が成り立ちます：| · | 2 + | × | 2 = | | 2 | | 2 .
あるいは
a 2 + b 2 = c 2 , X 2 + Y 2 = Z 2
と考えて変形すれば次の式になりますから(aX + bY ) 2 + (aY − bX) 2 = (cZ) 2
Pythagorean
方程式の解との関連が見えてきます。更に計算すると次が分かるでしょう：事実
4.3 a 2 + b 2 = c 2 , X 2 + Y 2 = Z 2
ならば次が成り立ちます：(aX) 2 + (bZ − cY ) 2 = (bY − cZ) 2 , (aZ − cX) 2 + (bY ) 2 = (aX − cZ) 2 , (aX + bY ) 2 + (aY − bX) 2 = (cZ) 2 .
内積は
· = ( , )
と云う風に記号( ∗ , ∗ )
で表すこともありますが、２次元の 双 曲内積h∗ , ∗i
を*√ a b
! ,
√ X Y
!+
= aX − bY
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と定めることにすれば、a 2 + b 2 = c 2 , X 2 + Y 2 = Z 2
のとき双曲線上の点の双曲線関数による表示を使って
c = a cosh α, b = a sinh α, Z = X cosh β, Y = X sinh β
と置けばøµ c
b
∂ ,
µ c b
∂¿
= a
2, øµ Z
Y
∂ ,
µ Z Y
∂¿
= X
2 であってøµ c
b
∂ ,
µ Z Y
∂¿
=
øµ a cosh α a sinh α
∂ ,
µ X cosh β X sinh β
∂¿
= aX(cosh α cosh β − sinh α sinh β)
= aX cosh(α − β)
= søµ c
b
∂ ,
µ c b
∂¿søµ Z Y
∂ ,
µ Z Y
∂¿
cosh(α − β)
となって、普通の内積の場合：µµ a b
∂ ,
µ X Y
∂∂
= sµµ a
b
∂ ,
µ a b
∂∂sµµ X Y
∂ ,
µ X Y
∂∂
cos(α − β)
とほぼ同じ議論が出来る事が分かります。物理学では特に相対論において時空４次元の 双曲空間を扱うことがあります。
Exercise
基本演習
1
次の各行列の型を答え、更に転置した行列を求めて下さい：（
1
）≥
1 2 3 ¥
（
2
）
1 2 2 3 3 4
（3
）√ 1 2 3 4
!
基本演習
2
行列
a b c d e f g h i
の(2, 3)-
成分、(3, 1)-
成分は何ですか。基本演習
3 =
t≥
a 1 a 2 a 3
¥
, =
t≥
b 1 b 2 b 3
¥
と置いて、× = − ( × )
を計算により確かめて下さい。基本演習
4
２次正方行列A, B
についてt(AB) =
tB
tA
である事を証明して下さい。基本演習
5
次の行列の計算を実行し気付いた事を述べて下さい：（ 1 ） °
− 1 2 ¢ µ 4 3
∂
（ 2 ） µ 4
3
∂ °
− 1 2 ¢ （ 3 ） °
− 1 2 ¢ µ 4 0 3 2
∂
（ 4 ） µ 4 0
3 2
∂ °
− 1 2 ¢
（ 5 ） µ 4
3
∂ µ − 1 2 5 1
∂
（ 6 ） µ − 1 2
5 1
∂ µ 4 3
∂
（ 7 ） µ − 1 2
5 1
∂ µ 4 0 3 2
∂
（ 8 ） µ 4 0
3 2
∂ µ − 1 2 5 1
∂
（ 9 ）
µ 2 4
− 1 − 2
∂
2（ 10 ）
µ 2 − 1
− 4 2
∂ µ 1 2 2 4
∂
（ 11 ） µ a b
c d
∂
2− (a + d) µ a b
c d
∂
+ (ad − bc) µ 1 0
0 1
∂
（ 12 ）
t
1 3
− 5
a b c
（ 13 ）
t
µ
1 2 3 4 5 6
∂
（ 14 ）
1 2 3
·
4 5 6
×
7 8 9
（ 15 ）
1 0 0
×
0 1 0
（ 16 ）
1 0 0
·
0 1 0
（ 17 ） °
x y z ¢
x y z
基本演習
6
tM = M
を満たす行列を対称行列と言います。正方行列A
に対して、B = A
tA, C = A +
tA
はいずれも対称行列である事を示して下さい。基本演習
7
２次正方行列M
はtM M = E
を満たすとき直交行列であると云いま す。M = ≥ ¥
が直交行列である時にヴェクター
,
について何が言えますか。発展演習
8
３次元ヴェクター, ,
は同一平面上には無いものとします。（１）
×
の大きさは、,
を２辺とする平行四辺形の面積である事を示して 下さい（特に,
がxy-
平面上にあると仮定して計算してみて下さい）。（２）また、
×
の大きさは、この２つのヴェクターのはさむ角を0 < θ < π
とすると、| × | = | || | sin θ
である事を示して下さい。（３）
| · ( × ) |
は、, ,
を３辺とする平行六面体の体積である事を示して 下さい（特に,
がxy-
平面上にあると仮定して計算してみて下さい）。発展演習
9
（１）直線y = 3x
に関する折り返しと云う一次変換の表現行列M
を 求め、tM M = E
を満たしている（直交行列である）事を示して下さい。（２）
