1. 行列の計算を練習しよう．
(1)
[ 1 2 3 4
] +
[ 5 6 7 8
]
(2) 2
3 −1 0 1 1 −4
−3
0 −4
1 2
−5 0
(3) 3
1 2 3
−5
0
−1
−1
(4) 2 [
1 3 2 ]
+ (−3) [
1 1 1 ]
(5)
[ 1 2 3 6 5 4
]
7 0 −1 8 −1 4
9 1 0
(6)
−1 −2 −3
2 2 2
2 0 0
−3 2
5 1
6 −4
(7)
2 3 5
[
7 11 13 ]
(8) [
2 5 7 ]
1 1 2
(9)
[ 1 3 2 4
] [ 5 7 6 8
]
(10)
[ 5 7 6 8
] [ 1 3 2 4
]
(11)
1 2 3 −4 5 0 3 −9 0 3 1 4 7 −3 0 4 2 −9 −3 2
−5 0 0 1 2
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
(12)
1 −2 2
−1 0 5
−1 1 1
−5 4 −10
−4 3 −7
−1 1 −2
2. 行列の計算を練習しよう．
(1) [
1 2 3 ]
0 5 9
3 −2 8
−1 8 1
−2 [
1 2 3 ]
−1 0 1
3 2 3
−4 2 −1
(2) [
2 −1 2 1 5 −2
]
1 2 3 3 2 1 0 0 2
−1 2
4 1
1 −9
[
1 0 0 1
]
(3)
0 1 2 0 0 1 0 0 0
3
(4)
1 2 1 0 3 4 0 1 0 0 1 3 0 0 0 1
2 2 1 0 2 3 0 1 0 0 3 1 0 0 1 0
(5) 行列の等式 [
1 2 −1
3 6 9
] O=
[ 0 0 0 0 0 0 0 0
]
の左辺の零行列 O の型を答えよ．
(6) 行列の等式
1 3 2 4 3 3
0=0
の左辺の零ベクトル 0 の型と右辺の零ベクトル 0 の型をそれぞれ答えよ．
3. 次の関数の導関数を求めよ．
(1) x3+ 3x2−2x−5 (2) x5−3x3+ 1
2x2 −18
(3) (3x−1)5 (4) (x3−2)−4
(5) √5
x (6) 1
√4
x2−1
(7) sin 4x (8) cos(1−5x)
(9) sin2x (10) cos6x
(11) 1
sin2x (12) 1
tan2x (13) (sin 2x) (cos 3x) (14) x3cos 2x
(15) sinx
x (16) cosx
x2
(17) x2sin 1
x (18) cos√
1 +x3
(19) tan3(2x−1) (20) √
sin 3x
(21) e4x (22) e−x2
(23) e√x (24) esinx
(25) log(3x+ 2) (26) x+ logx
(27) xex (28) extanx
(29) xlogx−x (30) e−xlogx
(31) logx+√
x2+ 1 (32) log 1 + tanx 1−tanx
定理 (ロピタルの定理). 関数f(x), g(x)が x=a を含む開区間で x=a を除いて 微分可能で，x = a の近くで g′(x) ̸= 0 とする（ x = a で微分可能であってもよ く，g′(a) = 0 でもよい）．このとき
• lim
x→af(x) = lim
x→ag(x) = 0 かつ lim
x→a
f′(x)
g′(x) が存在する．
• lim
x→af(x) =∞, lim
x→ag(x) =∞ かつ lim
x→a
f′(x)
g′(x) が存在する．
のいずれかが成り立つならば以下が成り立つ．
xlim→a
f(x)
g(x) = lim
x→a
f′(x) g′(x).
また，片側極限（x→a+ 0やx→a−0）の場合，さらにはx → ∞やx→ −∞
の場合も同様の結果が成り立つ．
4. 次の極限値を求めよ．
(1) lim
x→∞
ex
x (2) lim
x→1
√3
x−1 x−1 (3) lim
x→0
ex−cosx
sinx (4) lim
x→∞
x2 ex
(5) lim
x→0
1−cos2x
x2 (6) lim
x→π2
esinx−e log sinx (7) lim
x→1
logx
1−x (8) lim
x→0
ex−esinx x3
(9) lim
x→+0xlogx (10) lim
x→∞
sinx+x x
5. 次の連立1次方程式の拡大係数行列を書き出し，それを簡約化することで対応する 連立1次方程式を解こう．方程式の解は，例えば
x y z
=
1 2 3
のように列ベクトルの形で書き表そう．
(1)
x+ 2y−z = 2
−x+ 3z = 8 y−2z =−4
(2)
a+b−c= 1 2a+b+ 3c= 4
−a+ 2b−4c=−2
(3)
2α+ 3β = 4 α−β+γ = 1 3α+β−3γ =−2
(4)
ξ+ 2ζ = 1 2ξ+η+ζ = 0 η+ζ = 0
(5)
x1−2x2+ 2x3−x4 = 2 4x2−x3+x4 =−4
3x1+ 5x2+ 5x3+ 4x4 = 1 3x1+ 4x2+ 3x3−2x4 =−2
(6)
y1+y2+y3+y4+y5 = 28 y1+y2+y3 = 25
2y1+ 4y2+ 6y3+ 8y4+ 10y5 = 164 8y4+ 10y5 = 28
2y1+ 6y3+ 10y5 = 144
6. たけし君は彼のお父さんが 28 歳，お母さんが 25 歳のときに生まれました．現在 のたけし君とお父さんとお母さんの年齢を足し合わせると 209 になります．たけ し君，お父さん，お母さんは今それぞれ何歳でしょう．ただし，いずれも年齢はそ の年の誕生日を迎えた後のものとする．
7. ツルとカメとアリとタコとイカが合わせて28匹いる．その内，ツルとカメとアリ が合わせて25匹いる．全員の足の数を合わせると164本で，タコとイカの足の数 が合わせて28本，ツルとアリとイカの足の数が合わせて144本であるとき，それ ぞれ何匹ずついるでしょう．ただし，ツルの足は2本，カメの足は4本，アリの足 は6本，タコの足は8本，イカの足は10本であるとする．
8. 次の連立1次方程式の拡大係数行列を書き出し，それを簡約化することで対応する 連立１次方程式を解こう．方程式の解は，例えば
x y z
=c1
1 2 3
+c2
3 4 5
(c1, c2 は任意定数)
のように列ベクトルの和の形で書き表わそう．
(1)
x1+x3−x4 = 1 x2+ 2x4 = 3
(2) x+y+z = 0
(3)
x+ 2y−3z = 7 2x+ 4y+z = 7 3x+ 6y−2z = 14
(4)
2a−b−3c= 1
−6a+ 3b+ 9c=−3
−4a+ 2b+ 6c=−2
(5)
3s−5t+u= 0
−s−t+u= 0 2s−4t+u= 0
(6)
α+β+γ = 2 α+ 2β−γ = 3 3α+ 4β+ 2γ = 7
(7)
♡+ 3♢= 2 2♡+♣+♢= 3
−5♡ −4♣+ 5♢= 5
(8)
λ+ 2µ−3ν−4ξ = 1
−2λ−4µ+ 6ν+ 8ξ =−2 3λ+ 6µ−9ν−12ξ = 3
次の連立１次方程式を解こう．前問と同様に解は列ベクトルの和の形で表そう．
(1)
[ 0 1 0 0
] [ x y
]
= [ 0
0 ]
(2)
1 0 1 0 0 3 0 0 0
x y z
=
1 3 0
9. 3つの溶液 A, B, C が混ざり合った混合溶液 X, Y, Z がある．それぞれの混合溶 液における溶液A, B, C の混合比率（質量比）は，溶液 X は 1 : 4 : 2で，溶液 Y は1 : 2 : 3 で，溶液 Zは 3 : 2 : 1 である．これら3つの混合溶液 X, Y, Zを混ぜ 合わせて A, B, C の混合比率が 1 : 2 : 2 の混合溶液を作りたい．溶液 X, Y, Z を それぞれどのような比率でまぜ合わせればよいか．ただし，各々の溶液を混ぜても 化学反応等による質量欠損は起きないものとする．
10. 次の行列式を求めよ．
(1)
1 −2
3 5
(2)
1 2 2 4
(3)
3 −2
0 2
(4)
cosθ −sinθ sinθ cosθ
(5)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
(6)
1 2 3 9 8 0 1 2 4
(7)
0 2 6
1 4 12 3 6 10
(8)
1 −2 3
2 1 2
3 −1 −5
(9)
1 2 3
−2 1 −1 3 2 −5
(10)
3 0 1
3 0 1
7 8 10
(11)
1 0 0 4 2 0 5 6 3
(12)
−5 3 10 0 8 99 0 0 13
11. 次の行列式を求めよ．
(1)
2 −4 −5 3
−6 13 14 1 1 −2 −2 −8
2 −5 0 5
(2)
0 −3 −6 15
−2 5 14 4 1 −3 −2 5 15 10 10 −5
(3)
5 4 7 9
−1 3 9 −2 1 −3 −8 1
5 4 2 11
(4)
1 −1 2 1 2 −1 1 2
−1 1 2 1
2 1 1 1
(5)
3 1 3 5 6 2 2 6
−3 1 0 1 3 1 1 6
(6)
−1 −4 3 4 1 2 −3 −2
7 9 4 2
−9 7 −3 6
(7)
0 0 0 0 3
0 2 0 0 5
0 13 −2 0 −4
0 −6 1 2 2
8 1 2 3 4
(8)
1 −1 −1 1 −1
1 −1 1 1 1
1 1 −1 1 −1
−1 1 1 1 1 1 1 1 −1 −1
(9)
1 0 0 1 1
0 1 0 1 2
0 0 1 −1 0
2 1 3 1 0
1 1 −2 0 0
(10)
3 5 1 2 −1
2 6 0 9 1
0 0 7 1 2
0 0 3 2 5
0 0 0 0 −6
(11)
3 5 1 2 1 2 6 0 9 3 3 6 7 1 2 2 7 0 0 0
(12)
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
12. a を含む開区間上で Cn 級な関数 f に対して
∑n k=0
f(k)(a)
k! (x−a)n =f(a) +f′(a)(x−a) +f′′(a)
2! (x−a)2+· · ·+f(n)(a)
n! (x−a)n を f の x=a のまわりでの n 次テイラー多項式と呼ぶ．
(1) √3
x+ 1 のx = 0 のまわりでの 3 次テイラー多項式を求めよう．
(2) ex−e−x
2 のx = 0 のまわりでの 3 次テイラー多項式を求めよう．
(3) ex+e−x
2 のx = 0 のまわりでの 4 次テイラー展開多項式を求めよう．
(4) ex−e−x
ex+e−x のx = log 2 のまわりでの 3 次テイラー展開多項式を求めよう．
13. 次の多変数関数 f の偏導関数を全て求めよ．
(1) f(x, y) =x2y−4xy+ 3y−1 (2) f(x, y) = 2x3−3x2+ 6xy2−3y2 (3) f(x, y) =x2+y2−2x−2 logy (4) f(x, y) =xy(x2+y2−1)
(5) f(x, y, z) = 3x2+ 6xz+y2+ 4yz+ 7z2
(6) f(x1, x2, x3, x4) =−4x1x2−2x2x3+ 2x3x4+x4x1
14. 領域 D⊂Rn 上定義された n 変数関数f(x1, . . . , xn)に対して
fx1(a1, . . . , an) =fx2(a1, . . . , an) =· · ·=fxn(a1, . . . , an) = 0
を満たす点(a1, . . . , an)∈D をf の停留点という．前問 (1)〜(6)の各関数の停留 点を全て求めよ．
15. 多変数関数f(x1, x2, . . . , xn) に対して f の2 階偏導関数fxixj を(i, j) 成分とす るn 次正方行列を f のヘッセ (Hesse) 行列といい，その行列式
H(x1, . . . , xn) =
fx1x1 fx1x2 · · · fx1xj · · · fx1xn fx2x1 fx2x2 · · · fx2xj · · · fx2xn
... ... . .. ... . .. ... fxix1 fxix2 · · · fxixj · · · fxixn
... ... . .. ... . .. ... fxnx1 fxnx2 · · · fxnxj · · · fxnxn
を f のヘシアン (Hessian) という．前々問 (1)〜(6) の各関数のヘシアンを求 めよ．
「関数 f(x, y) の極値を求めよ」という問題には次の定理が有用である．
定理. 領域 D ⊂ R2 上定義された C2 級の 2 変数関数 f が点 (a, b) ∈ D におい て極値をとるとき，fx(a, b) = fy(a, b) = 0 が成り立つ．逆に，点 (a, b) ∈ D が fx(a, b) =fy(a, b) = 0 を満たすとき，以下が成り立つ．
• H(a, b)>0 かつ fxx(a, b)>0 ならば f(a, b) は極小値である．
• H(a, b)>0 かつ fxx(a, b)<0 ならば f(a, b) は極大値である．
• H(a, b)<0 ならば f(a, b) は極値でない．
ただし，ここで H は f のヘシアンである．
16. 次の関数 f(x, y) の極値を全て求めよ．
(1) f(x, y) =x2y−4xy+ 3y−1
(2) f(x, y) = 2x3−3x2+ 6xy2−3y2
(3) f(x, y) =x2+y2−2x−2 logy
(4) f(x, y) =xy(x2+y2−1)
(5) f(x, y) =x2−xy+y2−4x−y+ 2
(6) f(x, y) =x3+y3−9xy+ 1
(7) f(x, y) =xy+ 1 x + 1
y
(8) f(x, y) =x2−2xy+y3
