1. (i, j) 成分 aij が次のように与えられる 3×2行列 A= [aij] を具体的に書け．
(1) aij = (−1)i+j (2) aij =i+j (3) aij =δij (4) aij =δj,4−i ただし，δij はクロネッカーのデルタと呼ばれる記号で，次のように定義される．
δij = {
1 (i=j) 0 (i̸=j)
2. 正方行列 A がtA=A を満たすとき，A を対称行列という．次の行列が対称行列 であるように a, b, c を定めよ．
(1)
1 2c+ 1 3
a −2 c
b a−2 0
(2)
2 b−2 1
a 3 c
b−2 a+ 1 5
3. 正方行列A が tA =−A を満たすとき，A を交代行列という．次の行列が交代行 列であるように a, b, c, d を定めよ．
(1)
0 2c+ 1 3 a b−2 c c d−2 0
(2)
0 a+ 1 −1 b 3−b d 1 c−1 c
4. 次の行列の計算を行え．
(1)
[ 1 2 3 4
] +
[ 5 6 7 8
]
(2) 2
[ 3 −1 2 0 1 −5
]
−3
[ 0 −4 −3
1 2 4
]
(3) 3
1 2 3
−5
0
−1
−1
(4) 2 [
1 3 2 ]
+ (−3) [
1 1 1 ]
5. n→ ∞ のとき，次の数列は収束するか．収束するならばその極限値を求めよ．
(1) an = 3n+ 5
5−n (2) an = sinn
n (3) an =√
1−(−1)n (4) an =n (√
1 + 1 n −1
)
6. 次の極限値を求めよ．
(1) lim
n→∞
1 + 2 + 3 +· · ·+n
n2 (2) lim
n→∞
12+ 22+ 32+· · ·+n2 n3
7. an = (
1− 1 n
)n
とするとき， lim
n→∞an を求めよ．
8. 次の極限値を求めよ（ただし，±∞ もあり得る）．
(1) lim
x→∞
2x4+x3−6
6x4+ 3x2+x (2) lim
x→∞
x3+ 2x+ 1 x2−1 (3) lim
x→∞
x2+ 2x+ 1
x3−1 (4) lim
x→−1−0
x3 x+ 1 (5) lim
x→∞
√x(√
x+ 1−√ x)
(6) lim
x→0
√x+ 4−2 x
9. lim
x→∞
( 1 + 1
x )x
=e であることを用いて次の極限値を求めよ．
(1) lim
x→−∞
( 1 + 1
x )x
(2) lim
x→0(1 +x)x1 (3) lim
x→0
log(1 +x)
x (4) lim
x→0
ex−1 x
10. 次の極限値を求めよ．必要なら lim
x→0
sinx
x = 1 を用いてよい．
(1) lim
x→+0
sinx
√x (2) lim
x→0
1−cos 2x
x2 (3) lim
x→0
sin 3x sin 2x (4) lim
x→π2
sin(cosx)
cosx (5) lim
x→0
tanx
x (6) lim
x→0
e2x−1 e3x−1
11. 次の行列の計算を行え．
(1)
[ 2 −1 2 1 5 −2
]
2 3 −2 0 −2 7
1 1 3
(2)
1 2 3 3 2 1 0 0 2
−1 2
4 1
1 −9
(3)
2
−1 4
[
3 1 −2 ]
(4) [
3 1 −2 ]
2
−1 4
(5)
[ 1 2 3 4
] [ 5 6 7 8
]
(6)
[ 5 6 7 8
] [ 1 2 3 4
]
(7)
0 1 2 0 0 1 0 0 0
3
(8)
1 2 1 0 3 4 0 1 0 0 1 3 0 0 0 1
2 2 1 0 2 3 0 1 0 0 3 1 0 0 1 0
12. 次の行列の計算を行え．
(1) [
1 2 3 ]
0 5 9
3 −2 8
−1 8 1
−2 [
1 2 3 ]
−1 0 1
3 2 3
−4 2 −1
(2)
[ 2 −1 2 1 5 −2
]
1 2 3 3 2 1 0 0 2
−1 2
4 1
1 −9
[ 1 0 0 1
]
13. 平面ベクトル a=
1 2
と b=
12 −√23
√3 2
1 2
1 2
のなす角を求めよ．
14. A を (1,3) 成分と (2,4) 成分と (3,1) 成分と (4,2) 成分が 1 で他の成分は全て 0 であるような 4 次正方行列とする．A5 を求めよ．
15. 以下の逆三角関数表を埋めよ．
x −1 −√23 −√12 −12 0 12 √1
2
√3
2 1
sin−1x cos−1x
x −√
3 −1 −√13 0 √1
3 1 √
3 tan−1x
16. 次の基本的な関数とその導関数の表を埋めよ．
f(x) xn sinx cosx tanx ex logx sin−1x cos−1x tan−1x f′(x)
17. 次の関数の導関数を求めよ．
(1) (3x−1)20 (2) sin2x (3) cos3 x 2 (4) 2x
(5) (1
3 )x
(6) log5x
(7) 1 1 +x2
(8) exsinx (9) sin(x2) (10) log|log|x|| (11) √
1 + sinx (12) logtanx 2
(13) sin−1 x3 (14) cos−1 x4 (15) tan−1 x5 (16) √
x2+ 2 (17) log|x+√
x2+ 2| (18) x√
9−x2+ 9 sin−1 x 3 (19) tan−1
( 1
√3tanx 2
)
(20) log
√1−cosx 1 + cosx
18. 次の連立1次方程式を解け．
(1)
x+ 2y−z = 2
−x+ 3z = 8 y−2z =−4
(2)
a+b−c= 1 2a+b+ 3c= 4
−a+ 2b−4c=−2
(3)
2s+t+ 3u= 1
−t+ 2u= 2 s−u=−2
(4)
2α+ 3β = 4 α−β+γ = 1 3α+β−3γ =−2
(5)
2p+ 3q−r =−3
−p+ 2q+ 2r= 1 p+q−r =−2
(6)
ξ+ 2ζ = 1 2ξ+η+ζ = 0 η+ζ = 0
(7)
x1−2x2+ 2x3−x4 = 2 4x2−x3+x4 =−4
3x1+ 5x2+ 5x3+ 4x4 = 1 3x1+ 4x2+ 3x3−2x4 =−2
(8)
y1+y2+y3+y4+y5 = 28 y1+y2+y3 = 25
2y1+ 4y2+ 6y3+ 8y4+ 10y5 = 164 8y4+ 10y5 = 28
2y1+ 6y3+ 10y5 = 144
19. 10%の食塩水と15%の食塩水を混ぜあわせて13%の食塩水を200g作りたい．そ れぞれ何gずつ混ぜればよいか．
20. たけし君は彼のお父さんが 28 歳，お母さんが 25 歳のときに生まれました．現在 のたけし君とお父さんとお母さんの年齢を足し合わせると 209 になります．たけ し君，お父さん，お母さんは今それぞれ何歳でしょう．
21. ツルとカメとアリとタコとイカが合わせて28匹いる．その内，ツルとカメとアリ が合わせて25匹いる．全員の足の数を合わせると164本で，タコとイカの足の数 が合わせて28本，ツルとアリとイカの足の数が合わせて144本であるとき，それ ぞれ何匹ずついるか．ただし，ツルの足は2本，カメの足は4本，アリの足は6 本，タコの足は8本，イカの足は10本であるとする．
22. 次の極限値を求めよ．
(1) lim
x→0
log(1 +x)
x (2) lim
x→π2
esinx−e log sinx (3) lim
x→0
(1 +x)1x −e
x (4) lim
x→0
ex−esinx x3 (5) lim
x→∞
sinx+x
x (6) lim
x→+0xlogx (7) lim
x→+0xx (8) lim
x→∞x1x (9) lim
x→+0x1x (10) lim
x →∞(logx) log (
1 + 1 x
)
23. 次の関数のグラフの概形を描け．
(1) y= sin−1x+ cos−1x (−1≤x≤1) (2) y=
( 1 + 1
x )x
(x∈(−∞,−1)∪(0,∞))
24. 次の関数が(−∞,∞) で連続であるとき，a の値を求めよ．
(1) f(x) =
{ a (x= 0)
sinx
x (x̸= 0) (2) f(x) =
{ a (x= 0)
|x|x (x̸= 0) 25. 以下の(−∞,∞) 上定義された関数 f の x= 0 における微分係数を求めよ．
f(x) =
{ 0 (x= 0) x2sin1x (x̸= 0) 26. 次の関数の3 階導関数を求めよ．
(1) (2x+ 3)3 (2) √
2x+ 3 (3) cosxcos 2x
(4) x
(1−x)2 (5) x2sinx (6) exsinx
27. 次の行列の階数を求め，各々を係数行列とする同次形の連立1次方程式を解け．
(1)
1 2 −3
2 4 1
8 1 −5
(2)
2 −1 −3
−6 3 9
−4 2 6
(3)
3 −5 1
−1 −1 1 2 −4 1
(4)
1 1 1 2
1 2 −1 3
3 4 1 7
28. 次の行列を拡大係数行列とする連立1次方程式を解け．
(1)
1 2 1 1 2 3 1 0 1 2 2 0
(2)
1 2 1 0 2 3 1 1 1 2 2 0
(3)
1 2 1 0 2 3 1 0 1 2 2 1
(4)
1 2 −3 −4
−2 −4 6 8 3 6 −9 −12
(5)
1 0 3 2
2 1 1 3
−5 −4 5 5
(6)
1 −2 −1 1 0 3
−2 4 3 0 0 −8
−3 6 8 7 1 −16
1 −2 2 7 1 0
29. 3つの溶液 A, B, C が混ざり合った混合溶液 X, Y, Z がある．それぞれの混合溶 液における溶液A, B, C の混合比率（質量比）は，溶液 X は 1 : 4 : 2で，溶液 Y は1 : 2 : 3 で，溶液 Zは 3 : 2 : 1 である．これら3つの混合溶液 X, Y, Zを混ぜ 合わせて A, B, C の混合比率が 1 : 2 : 2 の混合溶液を作りたい．溶液 X, Y, Z を それぞれどのような比率でまぜ合わせればよいか．ただし，各々の溶液を混ぜても 化学反応等による質量欠損は起きないものとする．
30. 次の関数のマクローリン展開を求めよ．特にxn の係数を n で表わせ．
(1) sinx (2) cosx (3) tanx
(4) ex (5) log(1 +x) (6) 1
1−x 31. 次の関数のマクローリン展開を 3 次の項まで求めよ．
(1) (2x+ 3)3 (2) √
2x+ 3 (3) cosxcos 2x
(4) x
(1−x)2 (5) x2sinx (6) exsinx (7) sin−1x (8) cos−1x (9) tan−1x
32. √
1 +x のマクローリン展開を用いて √
1.01 の近似値を求めよ．またその近似値 の誤差を評価せよ．
33. ex のマクローリン展開を用いてe の小数第4位まで正確な近似値を求めよ．
34. 関数 f(x) に対して
fn,a(x) =
∑n k=0
f(k)(a)
n! (x−a)k
をf(x)のx=aのまわりのn次テイラー多項式と呼ぶ．すなわち，f(x)のx =a のまわりのテイラー展開を n 次の項で打ち切った多項式が fn,a(x) である．次の 関数 f(x) の x= 0 のまわりの 3 次テイラー多項式 f3,0(x) を求め，y = f3,0(x) のグラフを描け．
(1) f(x) = sinx (2) f(x) = cosx (3) f(x) = tanx (4) f(x) =ex (5) f(x) = log(1 +x) (6) f(x) = 1
1−x 35. 次の関数 f(x) のx = 1のまわりのテイラー展開を求めよ．
(1) f(x) =x5−3x4+x3−2x2−5x+ 1 (2) f(x) = logx
36. 次の行列の行列式を求めよ．
(1)
[ cosθ −sinθ sinθ cosθ
]
(2)
[ a b
c d
] [ p q
r s ]
(3)
[ a b
c d ]
+
[ p q
r s ]
(4)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
(5)
1 2 3 9 8 0 1 2 3
(6)
0 2 6
1 4 12 3 6 18
(7)
1 −2 3
2 1 2
3 −1 −5
(8)
1 2 3
−2 1 −1 3 2 −5
(9)
3 0 1
−3 −9 7
7 8 10
3
(10)
1 0 0 4 2 0 5 6 3
(11)
−5 3 10 0 8 99 0 0 13
(12)
1 2 1 2 3 1 1 2 2
−1
(13)
1 3 −4 0 2 1 −8 −1
3 2 8 0
3 0 0 −1
(14)
0 −1 4 0
2 3 −9 −1
4 1 1 0
5 0 −4 −3
(15)
0 0 3 0
0 −2 0 0
6 0 0 0
0 0 0 −7
(16)
4 −3 0 5 −3
3 4 −6 −7 0
2 −1 0 −10 11
2 4 8 3 2
5 5 5 5 −5
37. 平面上の4 点 O(0,0), A(a, b), B(a+c, b+d), C(c, d) が平行四辺形を成すとき，
その平行四辺形 OABCの面積を求めよ．
38. 平面上の 4 点 A(0,−1), B(6,1), C(7,3), D(5,5) に対して四角形 ABCD の面積 を求めよ．
39. 次の多変数関数 f の偏導関数を全て求めよ．
(1) f(x, y) =x2y−4xy+ 3y−1 (2) f(x, y) = 2x3−3x2+ 6xy2−3y2 (3) f(x, y) =x2+y2−2x−2 logy (4) f(x, y) =xy(x2+y2−1)
(5) f(x, y, z) = 3x2+ 6xz+y2+ 4yz+ 7z2
(6) f(x1, x2, x3, x4) =−4x1x2−2x2x3+ 2x3x4+x4x1
40. n変数関数 f(x1, . . . , xn) に対して
fx1(a1, . . . , an) =fx2(a1, . . . , an) =· · ·=fxn(a1, . . . , an) = 0
を満たす点(a1, . . . , an) を f の停留点という．次の関数の停留点を全て求めよ．
(1) f(x, y) =x2y−4xy+ 3y−1 (2) f(x, y) = 2x3−3x2+ 6xy2−3y2 (3) f(x, y) =x2+y2−2x−2 logy (4) f(x, y) =xy(x2+y2−1)
(5) f(x, y, z) = 3x2+ 6xz+y2+ 4yz+ 7z2
(6) f(x1, x2, x3, x4) =−4x1x2−2x2x3+ 2x3x4+x4x1
41. 2 変数関数 f(x, y) に対して，H(x, y) =
fxx fxy
fyx fyy
= fxxfyy −fxyfyx を
f(x, y) のヘシアン(Hessian)という．次の関数のヘシアンを求めよ．
(1) f(x, y) =x2y−4xy+ 3y−1 (2) f(x, y) = 2x3−3x2+ 6xy2−3y2 (3) f(x, y) =x2+y2−2x−2 logy (4) f(x, y) =xy(x2+y2−1)
42. 次の関数 f(x, y) の極値を全て求めよ．
(1) f(x, y) =x2y−4xy+ 3y−1 (2) f(x, y) = 2x3−3x2+ 6xy2−3y2 (3) f(x, y) =x2+y2−2x−2 logy (4) f(x, y) =xy(x2+y2−1)
(5) f(x, y) =x2−xy+y2−4x−y+ 2 (6) f(x, y) =x3+y3−9xy+ 1
(7) f(x, y) =xy+ 1 x + 1
y (8) f(x, y) =x2−2xy+y3
(9) f(x, y) =xy(ℓ−x−y) （ℓ は正の定数で，x >0, y >0 とする．）
43. 次の条件付き極値問題を解け．
(1) 点(x, y) がx2+y2 = 1 上を動くとき x2+ 4xy+ 6y2 の極値を全て求めよ．
(2) 点(x, y) がxy = 1 上を動くとき x2+ 4y2 の極値を全て求めよ．
(3) 点(x, y) がx+ 2y= 1 上を動くとき x2+y2 の極値を全て求めよ．
(4) 点(x, y) がx2+y2 = 4 (y >0) 上を動くとき xy3 の極値を全て求めよ．
(5) 点(x, y) が x2
4 +y2 = 1 上を動くとき，xy の極値を全て求めよ．
44. 次の曲面 z =f(x, y) の点 (a, b, f(a, b)) における接平面の方程式を求めよ．
(1) z =xy, (a, b) = (1,2)
(2) z =x2−2xy+ 3y3, (a, b) = (2,1) (3) z =√
1−x2−y2, (a, b) =(1
2,12)
45. n 次正方行列 An = [aij] の (i, j) 成分が aij = −2δij +δ|i−j|,1 で 与えられると き，Anの行列式を求めよ．
46. n次正方行列 Dn = [dij] の(i, j) 成分が dij =
1 (i, j)∈ {(1,3),(3,1)} 0 (i, j)∈ {(1,2),(2,1)}
−2δij+δ|i−j|,1 (i, j)∈ {/ (1,2),(2,1),(1,3),(3,1)} で与えられるとき，Dn の行列式を求めよ．ただし，n≥4 とする．
47. 横軸をx軸，縦軸を y軸とする座標平面上に 13 個の点P0, . . . ,P12 が図のように 配置されている．ただし，P0 は原点であり，縦横の目盛り幅は共に長さ 1である．
(1) 図中の塗りつぶされた領域（R の部分）の面積を求めよ．
(2) 各点 Pi の座標を (xi, yi) とおき，
[ ξi ηi
]
=
[ 3 1
−2 1
] [ xi yi
]
に よ り 新 た に 13 個 の 点 Q0(ξ0, η0), . . . ,Q12(ξ12, η12) を 定 め る ．九 角 形 Q0Q1· · ·Q8 と四角形 Q9Q10Q11Q12 とで囲まれる領域の面積を求めよ．
