三次元弾性問題における体積力法の汎用化に関する 研究

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Kyushu University Institutional Repository

三次元弾性問題における体積力法の汎用化に関する 研究

森, 和也

https://doi.org/10.11501/3063832

出版情報：Kyushu University, 1992, 博士（工学）, 論文博士 バージョン：

権利関係：

三 次 元 弾 性 問 題 に お け る

体 積 力 法 の 汎 用 化 に 関 す る 研 究

平 成 4 年

森 和 也

YEi 

目 次

頁

第 1 ^二与^a'‑主 序 論

1・ 1 まえカ〈き

1・2 本 論 文 の 目 的 と 内 容

第 2  章 体 積 力 法 の 基 本 原 理 7 

2 ・1 ま え が き 7 

2 ・2 解 析 理 論 8 

2 ・2 ・1 基 本 解 8 

2 ・2 ・2 解 の 重 ね 合 わ せ 8 

2 ・2 ・3 体 積 力 法 に お け る 離 散 化 数 値 解 析 1 1 

2 ・2 ・4 基 本 密 度 関 数 13 

2 ・3 結 び 18 

第 3  章 体 積 力 法 の 汎 用 化 の 基 本 原 理 19 

3 . 1  _{ま え が き} 19 

3 ・2 解 析 理 論 22 

3 ・3 計 算結 果 お よ び 考 察 25 

3・3 ・1 周 期 集 中 力 に よ る 応 力 分 布 25  3・3 ・2 円 孔 ま た は だ 円 孔 を 有 す る 無 限 板 の 引 張 り に 25 

お け る 応 力 集 中 係 数

3・3 ・3 縁 き 裂 を 有 す る 半 無 限 板 の 応 力 拡 大 係 数 25  3・3 ・4 半 だ 円 表 面 き 裂 を 有 す る 半 無 限 体 の 応 力 拡 大 30 

係 数

3.  4  結 び 37 

第 4 章 内 圧 を 受 け る 円 筒 の 内 面 に 存 在 す る 半 だ 円 表 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数

ま え が き

38 

4・1 38 

1I  ‑

4 ・2 解 析 理 論 40 

4 ・3 計 算 結 果 お よ び 考 察 44 

4・3 ・1 計 算 結 果 の 精 度 の 検 討 44 

4・3 ・2 無 次 元 化 し た 応 力 拡 大 係 数Fl' Fl.  46  4・3 ・3 半 無 限 体 に 存 在 す る 表 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 53 

と の 比 較

4・3 ・4 有 限 厚 さ の 板 に 存 在 す る 半 だ 円 表 面 き 裂 の 応 53  力 拡 大 係 数 と の 比 較

4 ・3 ・5 他 の 研 究 者 の 結 果 と の 比 較 4 ・3 ・6 応 力 拡 大 係 数 の 近 似 式 4 ・4 結 び

a n T n h u n

叫dF同

U F h d n h u

第 5  ^{ニ尾t己正} 引 張 り ま た は 曲 げ を 受 け る 円 筒 の 外 面 に 存 在 す る 70  半 だ 円 表 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数

5・1 ま え が き 70 

5・2 解 析 理 論 72 

5・2・1 内 外 円 筒 面 の 未 知 数 72 

5 ・2・2 き 裂 面 の 未 知 数 72 

5 ・2・3 境 界 条 件 と 応 力 拡 大 係 数 74 

5・3 計 算 結 果 お よ び 考 察 75 

5・3 ・1 計 算 結 果 の 精 度 の 検 討 75 

5・3 ・2 丸 棒 の 引 張 り に お け る

FT

75 

5・3 ・3 丸 棒 の 曲 げ に お け る

F 1

75 

5・3 ・4 円 筒 の 引 張 り に お け る

FT

78 

5・3 ・5 円 筒 の 曲 げ に お け る

F1

78 

5・3 ・6 応 力 拡 大 係 数 の 近 似 式 78 

5 ・4 結 び 94 

第 6 章 引 猿 り ま た は 曲 げ を 受 け る 丸 棒 に 存 在 す る だ 円 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数

95 

6 ・1 6 ・2 6 ・3

6・3 ・1 6・3 ・2 6 . 3 ・3 6・3 ・4 6・3 ・5

6 ・4

第 7  章

7・1 7・2 7・3

7・3・1 7・3・2 7・3・3

7 ・3 ・ 4

ま え が き 解 析 理 論

計 算 結 果 お よ び 考 察

計 算 結 果 の 精 度 の 検 討

丸 棒 の 引 張 り に お け る FTA'

F T B  

丸 棒 の 曲 げ に お け る

F1A' F 1 B  

応 力 拡 大 係 数 の 近 似 式

だ 円 形 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 を 求 め る 具 体 的 方 法

結 び

三 点 曲 げ ま た は 四 点 曲 げ を 受 け る 曲 げ 試 験 片 に 存 在 す る 半 だ 円 表 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数

ま え が き 解 析 理 論

計算 結 果 お よ び 考 察

計 算 結 果 の 精 度 の 検 討

無 限 板 に 存 在 す る 表 面 き 裂 の

F 1

J 1 Sフ ァ イ ン セ ラ ミ ッ ク ス 曲 げ 試 験 片 に 存 在 す る 表 面 き 裂 の

F 1

無 限 板 に 存 在 す る 表 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 と の 比 較

7・3・5 応 力 拡 大 係 数 の 近 似 式 7 ・5 結 び

第 8 章 結 論

謝 辞

[付録 1]  無 限 体 に 作 用 す る 集 中 力 に よ る 応 力 場

E 

95  97  100  100  100  105  11 4  1 1 9 

121 

122 

122  124  128  128  128  1 3 1 

13 1 

13 1  136 

137 

140 

141 

IV  ‑

[付録 2 ]  無 限 体 に 作 用 す る 集 中 力 対 に よ る 応 力 場 144 

[付録 3 ]  無 限 体 に 作 用 す る 引 張 り の 標 準 型 集 中 力 対 に よ る 148  応 力 場

[付録 4 ]  無 限 体 に 作 用 す る 集 中 力 に よ る 矩 形 区 間 に 作 用 す 152 

る 合 力

[付録 5]  無 限 体 に 作 用 す る 引 張 り の 標 準 型 集 中 力 対 に よ る 157 

矩 形 区 間 に 作 用 す る 合 力

[付録 6]  積 分 公 式 163 

参 考 文 献 167 

'Eza 

気苓 )~ 言命

1・1 ま え が き

機 械 や 構 造 物 の 強 度 設 計 に お い て 信 頼 性 の 向 上 に 対 す る 要 求 は ま す ま す 高 ま っ て い る . 信 頼 性 の 向 上 は ， 製 品 を よ り 無 駄 の な い 構 造 に す る と い う 立 場 か ら 見 る と ， 資 源 の 有 効 利 用 の た め に も 重 要 で あ る . こ の 製 品 の 信 頼 性 の 向 上 に は ， 高 精 度 の 応 力 解 析 が 重 要 な 要 素 と な る . ま た ， 設 計 な ど の 実 務 に お い て は ， 応 力 解 析 な ど の 設 計 計 算 自 体 が 効 率 的 で あ る こ と が 必 要 と さ れ る . 応 力 解 析 が 効 率 的 に 行 わ れ る た め に は ， こ の 応 力 解 析 の 方 法 が デ ー タ の 変 更 だ け で 解 析 さ れ る 汎 用 解 析 法 で あ る こ と が 望 ま し く ， 計 算 が 効 率 的 で 短 時 間 で 必 要 な デ ー タ が 得 ら れ る こ と が 重 要 で あ る . 実 際 の 応 力 解 析 に お い て は . 解 析 対 象 と な る 製 品 が一般 的 に 複 雑 で あ る た め に ， 解 析 的 手 法 を 用 い る こ と は ほ と ん ど 不 可 能 で あ る . そ こ で 数 値 計 算 に よ る 応 力 解 析 を 行 う こ と に な る .

心 力 解 析 に お け る 数 値 解 析 法 は ， 問 題 の モ デ ル 化 に お い て 領 域 法 と 境 界 法 に 分 け ら れ る . 領 域 法 と は ， 支 配 方 程 式 を 領 域 全 体 に わ た っ て 近 似 す る 方 法 で ， 領 域 法 の 具 体 的 解 析 法 に は 有 限 要 素 法 や 差 分 法 が あ る . 境 界 法 と は ， 文 配 プ'if~ 式を完全に満たした解を川い，境界条件のみを近似する方法 で ， 境 界 積 分 方 程 式 法 と 遂 次 近 似 法 と に 分 け ら れ る . さらに， こ の 境 界 積 分 方 程 式 法 は ， 直 接 法 と 間 接 法 と に 分 け ら れ ， 具 体 的 解 析 法 に は ， 直 接 法 と し て 境 界 要 素 法 な ど が あ り ， 間 接 法 と し て ， 転 位 分 布 法 や 本 論 文 で 取 扱 う 体 積 力 法 な ど が あ る .

こ れ ら の 数 値 解 析 法 を 用 い 機 械 の 部 品 や 構 造 物 の 部 材 な ど の 応 力 解 析 を 行 う 場 合 は ， 三 次 元 問 題 と し て 解 析 す る 必 要 が あ る 場 合 が 多 い . 三 次 元 問 題の解析は， 二次 元 問 題 の 解 析 に 比 べ ， 解 析 に 伴 い 生 じ る 問 題 点 が は る か に 多 い . 二次 元 問 題 で は ど の 数 値 解 析 法 を 用 い て も ， 実 用 上 必 要 な 精 度 の 解 を 求 め る の で あ れ ば ， そ れ ほ ど 解 析 の 手 間 に 差 は 見 ら れ な い が ， 三次 元 問 題 で は ， 領 域 法 は 領 域 全 体 を 分 割 し な け れ ば な ら な い た め ， 必 要 と な る 計 算 機 の 記 憶 容 量 は 膨 大 と な り ， デ ー タ 入 力 の 手 間 も 同 様 に 膨 大 な も の と な る . 一 方 ， 境 界 法 は 領 域 法 と 比 較 す る と 境 界 の み の 分 割 を 行 え ば よ く 計

2 

算 機 の 記 憶 容 量 の 制 限 に 対 し 有 効 で ， ま た ， 入 力 デ ー タ が 少 な く て す み一 間 が か な り 省 け る 利 点 が あ る . さ ら に ， 間 接 法 で あ る 体 積 力 法 は ， 基本密 度 関 数 を 用 い る こ と に よ り 切 欠 き や き 裂 の 問 題 に 対 し よ り 少 な い 分 割 数 で 高精 度 の 解 析 が 可 能 で あ る . しかし， 一般 に 境 界 法 は ， 計 算 時 間 が 領 域法 に 比 べ 長いと 言 う 欠 点 が あ る.

そ こ で ， 先 に 述 べ た 設 計 計 算 に 必 要 と さ れ る 条 件 ， す な わ ち 高 精 度 で， 解 析 の 手 続 き が 簡 単 で あ り 計 算 時 間 が 短 い こ と ， を 満 足 す る 解 析 法 と し て 体 積 力 法 を 用 い る こ と が 合 理 的 で あ る と 思 わ れ る. し た が っ て 本 研 究 で は ， 体 積 力 法 を 研 究 対 象 と し て い る .

1 9 6 7年 に 西 谷 に よ っ て 開 発 さ れ た 体 積 力 法 ( 1 ) は ， そ の 後 長 年 に わ た る 研 究 に よ っ て 大 き く 発 展 し ， 多 く の 問 題 の 解 析 に 応 用 さ れ て い る . 初 期 段 階 に お け る 体 積 力 法 は 二次 元 弾 性 問 題 の 解 析 に 応 用 さ れ た が ， そ の 後 三 次元弾 性 問 題(2〉 ， 弾 塑 性 問 題(3〉 ， 動 弾 性 問 題(4，〉 さ ら に 熱 応 力 問 題(5)と 多 種 多 様 な 問 題 の 解 析 が 可 能 と な っ た .

開 発 段 階 よ り す で に 体 積 力 法 が 高 精 度 で あ っ た 理 由 は ， 基 本 筏 度 関 数(1)

(6) (7) (8) (9)の 使 用 に あ る . 基 本 密 度 関 数 を 使 用 す る 目 的 は ， 求 め ら れ る 境 界 値 を与え られ た 境 界 条 件 に で き る だ け 連 続 的 に 近 づ け る こ と で あ る . 体 積 力 法 に お い て基 本 密 度 関 数 を 用 い る 場 合 は ， 境 界 に 分 布 さ せ る 体 積 力 を (基本 密 度 関 数 ) x (重 み ) と い う 形 に 置 く . こ の 基 本 密 度 関 数 は 切 欠 き や き 裂 な ど の 対 象 と す る 境 界 に よ っ て 関 数 の 形 が 異 な り ， 応 対 集 中 係 数 や 応 力 拡 大 係 数 を 求 め る 問 題 で は 特 に 有 効 で ， 切 欠 き や き 裂 に よ る 応 力 の 特 異 性 を 見事に 表 現 し 少 な い 境 界 分 割 数 で 高 精 度 の 解 析 を 可 能 に し て い る. 境 界 条 件 に 関 す る 精 度 向 上 の 工 夫 と し て は ， 合 力 境 界 条 件(10)を用いる方 法 や重み を 多 項 式 で 近 似 す る 方 法 な ど が あ る . 境 界 に お い て 応 力 変 化 が 小 さ い 場 合 や二次 元 問 題 の よ う に 境 界 の 分 割 数 に あ ま り 制 限 が な い 場 合 は ， 境 界 条 件 と し て 分 割 さ れ た 各 要 素 の 中 点 に お け る 応 力 条 件 を 用 い る 場 合 が 多い. こ の 方 法 に お い て は 境 界 の 中 点 に お け る 応 力 値 の み を 求 め れ ば よ い の で 計 算 が 比 較 的 簡 単 で あ る . 境 界 条 件 と し て 合 力 境 界 条 件 を 用 い る 場 合 ， 各 境 界 要 素 に お い て 合 力 を 与 え ら れ た 境 界 条 件 に 合 わ せ る 訳 で あ る が ， 応 力 境 界 条 件 を 用 い る 場 合 に 比 べ 精 度 が 計 算 結 果 に お い で ほ ぼー桁 上 が る .

円ぺ

U

し た が っ て 合 力 境 界 条 件 を 用 い る 方 法 は ， 三次 元 問 題 の よ う に 計 算 機 の 記 憶 容 量 の 制 限 の た め に 要 素 分 割 を 十 分 細 か く で き な い 場 合 な ど で は ， 高 精 度 の 解 を 得 る た め の 有 効 な 手 法 で あ る . ま た ， 応 力 境 界 条 件 を 用 い る 場 合 . 通 常 重 み を 階 段 関 数 で 近 似 し 各 要 素 で一定 と す る が ， 重 み を 多 項 式 で 近 似 す る 方 法 も あ る . こ れ は ， 超 越 特 異 積 分 方 程 式 法(11 ) と 呼 ば れ 円 弧 き 裂 の 解 析 な ど に 対 し 有 効 で あ る .

こ の 他 ， 精 度 向 上 の 方 法 に は 特 殊 解 を 用 い る 方 法 が あ る . こ れ ま で に 体 積 力 法 で 用 い ら れ た 特 殊 解 に は 次 の よ う な も の が あ る . 二 次 元 問 題 で は ， 半 無 限 板 の 解 〈1〉 ， 帯 板 の 解(12，〉 だ 円 孔 を 有 す る 無 限 板 の 解(13〉 ， 界 面 き 裂 の 解04)(15)な ど で あ る . 三 次 元 問 題 で は ， 半 無 限 体 の 解(16)の み が 応 用 さ れ て い る . 特 殊 解 を 用 い る 利 点 は ， そ の 解 を 用 い る こ と に よ っ て 自 由 境 界 と な る 境 界 の 境 界 条 件 が 完 全 に 満 足 さ れ て い る た め に 精 度 が 向 上 す る 点 と そ の 境 界 を 要 素 分 割 す る 必 要 が な い た め に 分 割 数 の 減 少 が 図 ら れ る 点 で あ る . 三 次 元 問 題 に お い て 特 殊 解 が 半 無 限 体 の 解 の み し か 応 用 さ れ て い な い の は ， 三次 元 に お け る 他 の 解 を 求 め る こ と が 困 難 だ か ら で あ る .

以 上 述 べ た よ う に ， 体 積 力 法 に お い て 高 精 度 の 解 を 得 る た め の 理 想 的 方 法 は ， 適 当 な 基 本 密 度 関 数 を 用 い 境 界 条 件 と し て 合 力 境 界 条 件 を 用 い る 方 法 で あ る . 二次 元 問 題 に お い て は す で に こ の 手 法 を 用 い た い く つ か の 汎 用 プ ロ グ ラ ム が 開 発 さ れ て い る . 村 上 は ， 無 限 板 に 存 在 す る き 裂 の 解 を 用 い て き 裂 を 有 す る 有 限 板 の 汎 用 プ ロ グ ラ ム(17)を 開 発 し ， 石 田 ら は ， 無 限 板 に 存 在 す る だ 円 孔 の 解 を 用 い て ， だ 円 孔 か ら 発 生 し た 任 意 き 裂 群 の プ ロ グ ラ ム(18)を 開 発 し て い る . さ ら に 西 谷 ら は ， 無 限 板 に 存 在 す る 円 孔 の 解 を 用 い て ， 積 分 の 解 を 閉 じ た 形 で 用 い る こ と に よ っ て 数 値 積 分 を 全 く 必 要 と し な い 高 精 度 の 汎 用 プ ロ グ ラ ム(19)を 開 発 し て い る .

し か し ， 三 次 元 問 題 の 解 析 に は ， こ れ ら の 汎 用 プ ロ グ ラ ム で 用 ら れ た 特 殊 解 を 用 い る 方 法 は ， 半 無 限 体 の 解 以 外 は 解 自 体 が 求 め ら れ て い な い た め に 不 可 能 で あ る . そ こ で 高 精 度 の 解 を 得 る た め に は 適 当 な 基 本 密 度 関 数 を 用 い ， 合 力 を 計 算 す る こ と が 必 要 に な る . と こ ろ が ， 合 力 を 計 算 す る た め に は . 二 次 元 問 題 で は 要 素 が 線 分 で あ る た め 一 重 積 分 で よ い が ， 三 次 元 問 題 で は 要 素 が 面 で あ る た め 二 重 積 分 が 必 要 と な る . さ ら に ， 実 際 に は 体 積

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力 を 境 界 に 連 続 的 に 分 布 さ せ る た め に ， 二次 元 問 題 で は 二 重 積 分 と な り ， 三次 元 問 題 で は 四 重 積 分 と な る . こ の 方 法 を 機 械 の 部 品 や 構 造 物 の 部 材 な

ど の 複 雑 形 状 の 問 題 に 適 用 し た 場 合 ， 現 時 点 に お い て は ， 高 性 能 な 計 算 機 を 用 い て も 膨 大 な 計 算 量 の た め に 計 算 時 間 に お い て 問 題 が あ り 計 算 の 実 行 は 不 可 能 に 近 い .

そ こ で ， 現 時 点 に お け る 体 積 力 法 に よ る 三次 元 弾 性 問 題 の 解 析 で は ， 問 題 ご と に 専 用 の プ ロ グ ラ ム を 作 成 し 効 率 的 に 計 算 を 行 う こ と に よ っ て 計 算 時 閣 を 実 行 可 能 な 時 間 に 納 め て い る . こ の ま ま の 方 法 で は ， 計 算 機 の 性 能 が 飛 躍 的 に 向 上 し な い 限 り ， 三 次 元 弾 性 問 題 に 対 す る 体 積 力 法 の 汎 用 化 は 計 算 時 間 の 点 で 問 題 が あ り 実 質 上 困 難 と 考 え ら れ る . 即 ち ， 汎 用 化 に つ な が る 新 し い 効 率 的 計 算 法 が 必 要 と な る 訳 で あ る .

Fhd 

1・2 本 論 文 の 目 的 と 内 容

本 論 文 の 目 的 は ， 前 節 で 述 べ た よ う に 数 多 く の 利 点 を 持 つ 体 積 力 法 を三 次 元 の 複 雑 な 弾 性 問 題 に 対 し て も 少 な い 分 割 数 で 高 精 度 な 解 析 を 実 現 し つ つ ， 実 行 可 能 な 計 算 時 間 で 計 算 で き る よ う に 効 率 的 な 解 析 法 を 開 発 し ， 汎 用 プ ロ グ ラ ム の 開 発 を 実 現 可 能 に す る こ と に あ る. さらに， そ の 解 析 法 を 重 要 な い く つ か の 問 題 に 適 用 し ， 機 械 や 機 造 物 の 強 度 の 研 究 及 び 設 計 に 有 用 な 新 し い 資 料 を 提 供 す る こ と で あ る .

ま ず 第 2章では， こ れ ま で の 標 準 的 な 体 積 力 法 の 基 本 原 理 つ い て 述 べ る . 第 3章 で は ， 本 研 究 で 行 っ た 体 積 力 法 の 汎 用 化 の 基 本 原 理 に つ い て 述 べ る . 第 4章 か ら 第 7章までは， こ の 原 理 を 実 際 の三次 元 弾 性 問 題 に 応 用 し た 例 を 述 べ る .

第 4章では， 内 圧 を 受 け る 円 筒 の 内 面 に 存 在 す る 半 だ 円 表 面 き 裂 の 問 題 を 解 析 す る . この問題は， き 裂 面 と 自 由 境 界 面 と が 直 線 的 に 交 わ る 問 題 の 例 で あ る.

第 5章では. 引 張 り ま た は 曲 げ を 受 け る 円 筒 の 外 面 に 存 在 す る 半 だ 円 表 面 き 裂 の 問 題 を 解 析 す る. この問題は， き 裂 面 と 自由 境 界 面 が 曲 線 的 に 交 わ る 問 題 の 例 で あ る.

第 6章では， 引 張 り ま た は 曲 げ を受け る 丸 棒 に 存在 す る だ 円 き 裂 の 問 題 を 解 析 す る . こ の 問 題 は， き 裂 が 内 部 に 存 在 す る 問 題 の 例 で あ る .

第 7章では， 三点 曲 げ ま た は 四 点曲 げ を 受 け る 曲 げ 試 験 片 に 存 在 す る 半 だ 円 表 面 き 裂 の 問 題 の 解 析 を 行 う . この問題は， 第 4章 か ら 第 6章 ま で の 問 題 が 自 由 境 界 面 が 曲 面 で あ る の に 対 し ， 自 由 境 界 面 が 平 面 で あ る 問 題 の 例 で あ る .

こ れ ら の 問 題 に 対 す る 他 の 解 析 法 に よ る 解 析 例 は ， 第 4章 で 取 扱 っ た 内 圧 を 受 け る 円 筒 の 内 面 に 存 在 す る 半 だ 円 表 面 き 裂 の 問 題 に 対 す る 解 析 例 の み が 報 告 さ れ て い る . こ の 問 題 に 対 す る 他 の 解 析 法 は ， 境 界 積 分 法 ， 有 限 要 素 法 な ど に よ る も の で あ る . 本 論 文 の一連 の 研 究 で 取 上 げ た 問 題 は 全 て き 裂 問 題 で あ る が ， き 裂 問 題 に 対 し て こ れ ら の 境 界 積 分 法 や 有 限 要 素 法 は ， 体 積 力 法 の よ う に 基 本 密 度 関 数 の 概 念 が な い た め に ， き 裂 の 特 異 性 を 近 似 す る た め に は き 裂 部 分 の 要 素 分 割 を か な り 細 か く し な け れ ば な ら な い . ま

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た， い か に 細 か く し て も 本 質 的 に 特 異 性 を 表 現 す る こ と が で き な い の で 高 精 度 の 解 析 は あ ま り 期 待 で き な い 状 況 に あ る . 第 5章 か ら 第 7章 で 取 扱 っ た 問 題 に 対 し て は ， 実 用 上 重 要 な 問 題 で あ る に も か か わ ら ず 他 の 解 析 法 に よ る 解 析 例 は 見 ら れ な い よ う で あ る . これは， こ れ ら の 複 雑 な 問 題 に 対 し て は ， 現 時 点 、 に お い て 他 の 解 析 法 に よ る 解 析 で は 信 頼 で き る 解 析 結 果 を 得 る こ と が 困 難 で あ る こ と を 意 味 し て い る .

7  ‑

第三 2  ~出 字 本 宅 責 プ フ 主 去

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^{〉 ヱ ド 房ヨ〔韮豆}

2・1 ま え が き

計 算 機 が 高 度 に 発 達 し て き た 現 在 で は ， ほ と ん ど の 応 力 解 析 は 計 算 機 を 用 い た 数 値 計 算 に よ っ て 解 析 さ れ て い る .

数 値 解 析 の 方 法 と し て は ， こ れ ま で 差 分 法 ， 有 限 要 素 法 な ど が 多 く 利 用 され， そ れ ら の 有 用 性 は 広 く 認 識 さ れ て い る . そ の 中 で 差 分 法 と 有 限 要 素 法 は ， 有 効 な 解 析 法 で は あ る が ， 両 者 と も 領 域 型 解 析 法 で あ る た め ， 解 析 す べ き 領 域 全 体 を 分 割 す る 必 要 が あ り ， デ ー タ の 入 力 が 膨 大 に な る . そ れ と 比 較 し て 境 界 型 解 析 法 で あ る 境 界 要 素 法 は ， 弾 性 境 界 値 問 題 を 境 界 積 分 方 程 式 に 変 換 し ， 対 象 と す る 空 間 の 次 元 を 一 次 元 下 げ て 問 題 を 解 析 す る た め ， 必 要 な 入 力 デ ー タ は か な り 少 な い .

一方 ， 西 谷 は 1 9 6 7年 ， 直 観 的 物 理 的 考 察 に 基 づ い て ， 集 中 力 の 解 の 重 ね 合 わ せ に よ っ て 弾 性 問 題 を 解 析 す る 独 自 な 方 法 を 開 発 し た . そ れ は 体 積 力 法 ( } ) と 呼 ば れ ， 切 欠 き の 応 力 集 中 と き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 に 多 く 応 用 さ れ ， 高 精 度 な 解 析 法 と し て 発 展 し て き た . 体 積 力 法 は ， 境 界 要 素 法

と 形 式 的 に は 類 似 し た 解 析 法 で あ る が ， 独 自 な 発 展 を し て き た の で 解 析 の 子 法 上 色 々 な 特 長 を 有 し て い る.

この章では， こ れ ま で の 標 準 的 な 体 積 力 法 の 基 本 原 理 に つ い て ， 本 論 文 で 用 い た 基 本 解 ， 解 の 重 ね 合 わ せ ， 離散化， そ し て 体 積 力 法 の 高 精 度 解 析 を 可 能 に し て い る 基 本 密 度 関 数 に つ い て 述 べ る .

8  ‑

2 ・2 解 析 理 論

通 常 の 体 積 力 法 は ， 無 限 休 中 の 境 界 と な る べ き 仮 想 、 境 界 面 上 に 集 中 力 ま た は 集 中 力 対 を 分 布 さ せ ， そ の と き 生 じ る 弾 性 場 に よ っ て 解 析 し よ う と す る 問 題 の 解 を 表 現 す る も の で あ る . そ こ で ま ず ， 基 本 解 で あ る 無 限 体 に 作 用 す る 集 中 力 お よ び 集 中 力 対 に よ る 応 力 場 の 性 質 に つ い て 述 べ る . そ し て 体 積 力 法 の 基 本 原 理 で あ る 解 の 重 ね 合 わ せ に つ い て 述 べ ， さ ら に 実 際 の 計 算 手 順 を 説 明 す る .

2 ・2 ・1 基 本 解

本 論 文 の 一 連 の 研 究 に お け る 基 本 解 は ， 図 2 ・1に 示 す よ う な 無 限 体 に 作 用 す る 集 中 力 に よ る 応 力 場 < 19> (付録 1参 照 〉 と 図 2・2に 示 す よ う な 無 限 体 に 作 用 す る 集 中 力 対 に よ る 応 力 場 で あ る . こ の 集 中 力 対 に よ る 応 力 場 は ， 無 限 体 に 作 用 す る 集 中 力 に よ る 応 力 を 微 分 す る こ と に よ っ て 求 め ら れ る ( 付 録 2参 照 ) . 実 際 の 問 題 の 解 析 に お い て 分 布 さ せ る 集 中 力 対 は ， 図 2 ・3に 示 す よ う な こ れ ら の 集 中 力 対 を 組 合 わ せ た も の を 用 い る . こ の 集 中力の組合せを引張りの標準型集中力対と呼ぶ(2()) x方 向 の 集 中 力 対 に 対 し 大 き さ ν/(1‑ν)の 直 交 す る 二つ の y方 向 お よ び z方 向 の 集 中 力 対 を 組 合 わ せ て い る の は ， xん.IIJ]の!tljl )J対 を 分 布 さ せ た と き ， y方 向 お よ び z 方 向 に ひ ず み を 起 こ さ な い た め で あ る y方 向 お よ び z方 向 の 標 準 型 集 中 力 対 に お け る 組 合 わ せ も 同 様 の 理 由 に よ る も の で あ る . こ れ ら の 標 準 型 集 中 力 対 に よ る 応 力 場 は ， 図 2 ・2で 示 し た 集 中 力 対 の 応 力 場 を 重 ね 合 わ せ る こ と に よ っ て 求 め ら れ る ( 付 録 3参 照 ). 

2・2 ・2 解 の 重 ね 合 わ せ

体 積 力 法 の 基 本 的 な 考 え 方 は ， 閉 じ た 形 で 得 ら れ た 特 別 な 解 を 用 い ， 重 ね 合 わ せ の 原 理 に 基 づ い て ， 解 析 し よ う と す る 問 題 の 解 を 表 現 す る も の で ある.

最 も 簡 単 な 例 と し て ， 図 2 ・4に 示 す よ う な 二 次 元 弾 性 問 題 の 体 積 力 法 に よ る 解 析 例 を 示 し て み る . 境 界

r

上 に 作 用 す る 荷 重 に よ っ て 注 目 領 域 Q

内 に 生 じ る 応 力 場 を 求 め る 問 題 で あ る . 体 積 力 法 で は ， こ の よ う な 応 力 場

ハud

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1 

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図 2・1 無 限 体 に 作 用 す る 集 中 力

Z 

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^X 

図 2 ・2 無 限 体 に 作 用 す る 集 中 力 対

円 円

P 

Z 

X 方 向 の 引 張 り の 力 対 Y 方 向 の 引 張 り の 力 対

。

^X 

図 2・3 引 張 り の 標 準 型 集 中 力 対

円

Z 方 向 の 引 張 り の 力 対

....... 

Cコ

1 1 

を ， 無 限 板 中 に 作 用 す る 集 中 力 に よ る 応 力 場 の 重 ね 合 わ せ に よ っ て 表 現 す る.即 ち ， 図 2 ・5 に 示 す よ う に 無 限 板 中 の 境 界 と な る べ き 仮 想 境 界 「 上 に 適 当 な 密 度

φ

の 集 中 力 を 分 布 さ せ る と 境 界 「 の 無 限 小 内 側 に ， 与 え ら れ た 問 題 と 同一 の 境 界 条 件 を 有 す る 領 域Q を 作 る こ と が で き る . こ こ で 重 要 な 点 は ， 基 本 解 と し て 無 限 板 中 に 作 用 す る 集 中 力 の 解 を 用 い て い る こ と で あ る . 無 限 板 に 作 用 す る 集 中 力 の 解 を 用 い る こ と に よ っ て 解 の 重 ね 合 わ せ が 可 能 と な り 任 意 形 状 の 解 析 が 可 能 と な る . 三次 元 問 題 で は 基 本 解 と し て 無 限 体 中 に 作 用 す る 集 中 力 の 解 を 用 い る .

さて， こ の 解 法 に お い て は 注 目 領 域Q 内 の み を 問 題 と し て い る た め ， 補 助 領 域 ( 注 目 領 域 Qの 外 側 ) で の 応 力 を 制 御 す る こ と が で き な い . そ れ は 仮想、境界 F上 に お い て 与 え ら れ た 境 界 条 件 を 満 足 す る 体 積 力 は 一 意的 に 決 定 さ れ る か ら で あ る . し た が っ て 集 中 力 に よ る 応 力 場 は ， 境 界 の 両 側 が 解 析 対 象 と な る き 裂 問 題 で は 用 い る こ と が で き な い . そ こ で き 裂 問 題 で は ， 無 限 板 (二次 元 問 題 〉 あ る い は 無 限 体 (三次 元 問 題 ) に 作 用 す る 集 中 力 対

( 体 積 カ 対 〉 の 応 力 場 を 基 本 解 と す る . 即 ち ， き 裂 と な る べ き 仮 想 境 界 に 集 中 力 対 を 分 布 さ せ る こ と に よ っ て き 裂 境 界 に お け る 境 界 条 件 を 満 足 さ せ

る.

2 ・2 ・3 体 積 力 法 に お け る 離 散 化 数 値 解 析

体 積 力 法 で は ， 無 限 板 あ る い は 無 限 体 中 の 仮 想 、 境 界 上 に 分 布 さ せ た 集 中 力 ( 体 積 カ ) ま た は 集 中 力 対 ( 体 積 力 対 ) に よ っ て ， 弾 性 問 題 を ， 体 積 力 の 密 度 ま た は 体 積 力 対 の 密 度 を 未 知 数 と す る 境 界 積 分 方 程 式 を 解 く 問 題 に 帰 着 さ せ る . こ の 境 界 積 分 方 程 式 を 解 析 的 に 解 く こ と は ， ご く 特 別 な 場 合 を 除 い て 一 般 に 期 待 で き な い の で ， 数 値 的 に 解 く こ と を 考 え な け れ ば な ら ない.

数 値 計 算 を 行 う 際 に は . ま ず 仮 想 境 界

r

上 で 実 際 に は 連 続 的 に 変 化 し て い る べ き 体 積 カ 密 度 φま た は 体 積 力 対 密 度 φを 有 限 個 の パ ラ メ ー タ で 離 散 化 近 似 す る . そ し て ， そ れ ら の パ ラ メ ー タ を ， 境 界 積 分 方 程 式 を 近 似 す る 連 立 1次 方 程 式 か ら 求 め る .

最 も 簡 単 な 離 散 化 の 例 と し て ， 図 2・4の 問 題 を 体 積 力 密 度 を 階 段 状 関

12 

図 2・4 二次 元 弾 性 問 題

「

図 2 ・5 体 積 力 法 に お け る 解 の 表 現

13 

数 で 近 似 し ， 境 界 条 件 に 代 表 点 の 応 力 値 を 用 い た 場 合 に つ い て 考 察 し て み る.

ま ず 数 値 計 算 を 行 う た め に は ， 図 2・6に 示 す よ う に 境 界

r

を n個の!x 間ム 1， 1:1  2， ・・・， 1:1  nに 分 割 す る Cf‑1:11

+

1:12

+

・・・ +1:1  n)  . 各 区 間 に そ れ ぞ れ 密 度

φ ε

の 垂 線 方 向 の 体 積 力 と 密 度

φ

押 の 法 線 方 向 の 体 積 力 を 作 用 さ せ る (φf，φ岬 は 各 区 間 ご と に 異 な る が ， 1区 間 内 で は一定 ) . す る と 未 知 数 は 各 区 間 の 体 積 力 密 度 φf，φ"で あ る か ら ， そ の 個 数 は

2

n個 と な る. こ れ ら の 未 知 数 は ， 各 区 間 の 代 表 点 に お け る 応 力 値 が 与 え ら れ た 境 界 条 件 を 満 た す よ う に 決 定 す る . 各 区 間 の 代 表 点 は ， 通 常 各 区 間 の 中 点 に 取 られ， こ の 中 点 に お け る 垂 線 応 力 σe と せ ん 断 力 r， を 満 足 さ せ る た め の，， 条 件 の 個 数 も 2n個 と な る . こ れ ら の 境 界 条 件 を 同 時 に 満 足 さ せ る よ う に

2 n個 の 体 積 力 密 度 を 決 定 す る 訳 で あ る .

さ ら に 高 精 度 の 解 が 必 要 な 場 合 に は ， こ の 代 表 点 に お け る 応 力 値 を 満 足 さ せ る 代 わ り に ， 各 区 間 に 作 用 す る 合 力 を 与 え ら れ た 境 界 条 件 に 合 わ せ る

(15)  こ の 場 合 は 各 区 間 に 作 用 す る 合 力 を 直 交 す る 2つ の 合 力 に 分 解 し ， や は り 各 区 間 の 未 知 数 の 数 を 2個 と し て 計 算 を 行 う . 三次 元 問 題 な ど で は ， 計 算 機 の 容 量 の 制 限 な ど た め に 十 分 に 要 素 分 割 が で き な い 場 合 が あ る . こ の よ う な と き ， 合 力 境 界 条 件 は 十 分 な 精 度 の 解 を 得 る た め の 強 力 な 手 法 で ある.

2 ・2 ・4 基 本 密 度 関 数

体 積 力 法 で の 基 本 密 度 関 数 に 関 す る 最 初 の 発 想 、 は ， 西 谷 に よ っ て 切 欠 き 渉 効 果 の 近 似 計 算 に 関 す る 研 究 か ら 始 ま っ た . 1 9 6 3年 ， 西 谷 は 切 欠 き 干 渉 効 果 の 一 連 の 研 究 を 行 っ て ， 干 渉 効 果 の 物 理 的 意 味 を 基 に し た 簡 単 な 近 似 計 算 法 を 提 案 し た(6)(7) (8) (9) 現 在 に お け る 体 積 力 法 の 立 場 か ら み る と， こ こ で の 計 算 は 一 つ の 切 欠 き を 一 つ の 分 割 区 間 と し て 解 析 す る 最 も 簡 単 な 体 積 力 法 と 考 え ら れ る が ， 1個 の 切 欠 き が あ る 場 合 の 厳 密 解 を 有 効 に 利 用 し て ， 簡 単 な 近 似 計 算 に も 関 わ ら ず 非 常 に 高 い 精 度 の 解 析 結 果 を 与 え て い る .

基 本 密 度 関 数 と は 1個 の 切 欠 き ま た は き 裂 が あ る 場 合 の 応 力 場 を 表 現 す

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図 2 ・6 仮 想 、 境 界 の 分 割

l

14 

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る 体 積 力 の 密 度 ま た は 体 積 力 対 の 密 度 の 特 性 を 表 す 関 数 で ， 実 際 の 計算 に お い て は ， 分 布 さ せ る 体 積 力 の 密 度 を 「重 み

J

掛 け る 「基 本 密 度 関 数 」 と き う 形 に お く .

(体 積 力 密 度 ) (重み ) x ( 基 本 密 度 関 数 〉 (2

・

1) 

基本 密 度 関 数 を 用 い る 場 合 ， こ の 重 み を 未 知 数 と し て 取 扱 う . 本 論 文 で 解 析 し た 三次 元 き 裂 問 題 を 例 に 体 積 力 対 の 基 本 密 度 関 数 を 示 し て み る. 図 2・7に 示 す よ う な 遠 方 で一様 な 引 張 り 応 力 σ∞ を 受 け る だ 円 板 状 き 裂 を も っ 無 限 体 の 問 題 に お い て は ， き 裂 が 存 在 す る こ と に よ る 影 響 は ， き 裂 の な い 無 限 体 中 の き 裂 と な る べ き 仮 想 、 境 界 「 上 に 作 用 す る ， 密 度

φc ( 

f ，η)  の C方 向 の 引 張 り の 標 準 型 体 積 力 対 の 分 布 に よ っ て 表 現 さ れ る. ここで，

φ c  ( 

f ^，η)は 次 の よ う に な る .

φ c  ( 

f ^，

η ) = 1 1 7 J J Z C イ 1 ‑ ( 訂‑ ( す r

^( 2・2) 

ただし，

l.... 2 

κ 2=  1  ‑

^{‑ ‑ n ‑}

α^{』 (2}

・

3)

E(κ)は 第 2種完 全 だ 円 積 分 で あ る .

.

"

，

^/2 

E(

κ ) =1  ( 1‑κ2sin2 λ

_{)dλ  (2}

・

4)

よ っ て三次 元 き 裂 を 持 つ 問 題 で は ， き 仮 想 、 境 界 「 上 に 分 布 さ せ る 体 積 カ 密 度 を 次 の よ う に 仮 定 す れ ば よ い .

16 

φ

，( f ，η)= W(f，η)χ(ξ， T})  (2

・

5) 

ここで， W(f，η) は重みで， χ(f，η) は三次 元 き 裂 問 題 に お け る 基 本 密度 関 数 で あ る.式 (2 ・2)により，

( f .   1I ) =~ 1 ‑ ( !  ' ) ‑ (  ~ )' ^{( 2}

^・

^{6 )} 

と定義 す る .

こ の よ う に 密 度 を 〈 重 み ) x ( 基 本 密 度 関 数 ) の 形 で 仮 定 し て 数 値 解 析 を 行 う 際 に は ， 式 (2 ・5) の 重 み 関 数W(f，η) を 階 段 関 数 ， す な わ ち 分 割 さ れ た 各 区 間 ご と に 異 な る 定 数 と し て 仮 定 し て も 精 度 が よ い 解 析 結 果 が 得 ら れ る. この場合， き 裂 前 縁 に 沿 う 点

c

(図 2・7) の 応 力 拡 大 係 数 は点 Cに お け る 重み 関 数 の 値

W( C )

の み に よ っ て 次 の よ う に 求 め ら れ る .

Kl_JCr=‑l_‑

‑2ν 

4 ( 1一ν)2 

呉ー

^(α2sin2β+b²coS²β)1/4W(C) 

ao 

[β :点 C の 離 心 角 (図 2 ・7) ] 

(2・7)

ーーー四・ー

17 

W附 相 話 題 E辺山町会一閉山下8bR

迫 組 制

ト』

N 

図

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(/ 一

/  /  / 

r 

J 

仁ごー

8 

v 

b 

‑ ・ 四 ー ー ・

18 

2 ・3 結 び

この 章では， こ れ ま で の 標 準 的 な 体 積 力 法 の 基 本 原 理 に つ い て 説 明 し た. こ の 中 で 基 本 密 度 関 数 の 概 念 は ， 他 の 数 値 解 析 法 に 比 べ ， 体 積 力 法 が 高 精 度 の 解 析 を 可 能 に す る 重 要 な 概 念 で あ る . 特 に き 裂 問 題 で は ， 基 本 密 度 関 数 を 用 い る こ と に よ っ て ， そ の 特 異 性 を 厳 密 に 表 現 し 極 め て 少 な い 分 割 数 で 高 精 度 の 解 析 を 可 能 に す る . こ れ は ， 計 算 機 の 記 憶 容 量 の 制 限 の た め に ， 要 素 の 分 割 で し ば し ば 問 題 と な る 三次 元 問 題 の 解 析 に は 特 に 重 要 で ， 次 章 で 述 べ る 体 積 力 法 の 汎 用 化 に 際 し て も き 裂 面 に 関 し て は 従 来 通 り の 解 析 法 を 用 い る . し か し ， 他 の 自 由 境 界 面 に 関 し て 従 来 通 り の 方 法 ， 即 ち 仮 想 境 界 面 に 連 続 的 に 集 中 力 を 分 布 さ せ ， 分 割 区 間 の 合 力 を 計 算 す る 方 法 で は ， 計 算 時 間 は 膨 大 な も の と な り ， 効 率 的 な 計 算 を 行 う た め に は 新 た な 改 良 が 必 要 と な る .

19 

祭事 3  イ 本 者 責 ブ ヨ た 去

α : : > i

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3・1 ま え が き

第 1章 に お い て 体 積 力 法 の 汎 用 化 に お け る 問 題 点 を 述 べ ， 第 2章 に お い

て こ れ ま で の 体 積 力 法 の 基 本 原 理 に つ い て 説 明 し た . こ の 章 で は ， 体 積 力 法 を 汎 用 化 す る た め の 具 体 的 手 法 に つ い て 述 べ る .

体 積 力 法 は ， 本 質 的 に は 汎 用 性 の あ る 解 析 方 法 で あ る . し か し 従 来 の 解 析 方 法 で は ， 複 雑 な 任 意 形 状 の 三次 元 問 題 を 解 析 す る 場 合 ， 膨 大 な 計 算 の た め に 計 算 時 間 の 点 で 問 題 が 生 じ る こ と が あ る . 境 界 条 件 と し て 分 割 区 間 の 中 点 の 応 力 境 界 条 件 を 用 い れ ば 計 算 時 間 の 点 で は ， 通 常 問 題 は 生 じ な い が ， 精 度 の 点 で 問 題 が 生 じ る 場 合 が あ る . こ の よ う な 場 合 体 積 力 法 で は ， 境 界 条 件 と し て 合 力 境 界 条 件(10 ) を 用 い る . 故 に . 合 力 境 界 条 件 を 用 い つ つ か っ 計 算 量 を 減 少 さ せ る 必 要 が あ る . そ こ で ， 従 来 の 体 積 力 法 で は 自 由 境 界 と な る べ き 仮 想 境 界 上 に 連 続 的 に 分 布 さ せ た 集 中 力 を ， 各 区 間 の 注 目 領 域 の 外 側 に 作 用 す る 有 限 個 の 集 中 力 で 代 表 さ せ る 方 法 を 提 案 す る .

有 限 個 の 集 中 力 を 用 い 境 界 条 件 を 満 足 さ せ る 方 法 は ， 長 谷 川 に よ っ て 開

発され， こ れ ま で に 多 く の 問 題 の 解 析 に 応 用 さ れ て い る(21)(22)  こ の 方 法 と 合 力 境 界 条 件 と を 組 合 わ せ る と ， 高 精 度 の 解 を 比 較 的 短 い 計 算 時 間 で 求 め

る こ と が で き る . さ ら に こ の 解 析 法 は ， 集 中 力 対 を 適 当 に 作 用 さ せ る こ と に よ っ て 弾 塑 性 計 算 へ の 拡 張 も 期 待 さ れ る .

こ の 解 析 法 は ， 図 3 ・1に 示 す よ う に 境 界 を 分 割 し 集 中 力 を 各 分 割 区 間 の 外 側 ( 注 目 領 域 Qの 外 側 ) に 作 用 さ せ る も の で あ る が ， 精 度 の よ い 解 を 得 る た め に は 集 中 力 を 適 切 な 位 置 に 置 く 必 要 が あ る . 集 中 力 が 分 割 区 間 に 近 す ぎ る と 境 界 上 の 応 力 の 乱 れ が 解 に 影 響 を 及 ぼ し ， 遠 す ぎ る と 影 響 係 数 マ ト リ ッ ク ス の 性 質 が 悪 く な り ， 通 常 の マ ト リ ッ ク ス の 解 法 で は 精 度 の よ い 解 を 得 る こ と が で き な く な る . 周 期 的 に 作 用 し た 集 中 力 に よ る 境 界 上 の 応 力 の 乱 れ は ， す で に 長 谷 川 に よ っ て 示 さ れ て い る がω， 合 力 境 界 条 件 を 用 い た 場 合 の 応 力 集 中 係 数 お よ び 応 力 拡 大 係 数 へ の 集 中 力 位 置 の 影 響 は 明 ら か に さ れ て い な い .

そ こ で こ の 章 で は ， 有 限 個 の 集 中 力 で 境 界 条 件 を 満 た す 具 体 的 手 法 を 説

2 0  

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図 3・ 1 有 限 個 の 集 中 力 で 境 界 条 件 を 満 た す

21 

明し， そ こ で 問 題 と な る 集 中 力 の 最 適 位 置 を 二 次 元 お よ び三次 元 の い く つ か の 応 力 集 中 問 題 の 解 析 を 行 い 求 め る .

22 

3 ・2 解 析 理 論

こ れ ま で の 体 積 力 法 に お い て は ， 集 中 力 を 仮 想 、 境 界 上 に 連 続 的 に 分 布 さ せ ， 区 間 の 中 点 の 応 力 境 界 条 件 を 満 足 さ せ た [ 図 3 ・2( a ) ] . 図 3 ・3 ( a ) に 示 す よ う に こ の 解 析 法 で は ， 区 間 の 中 点 の み の 応 力 境 界 条 件 を 満 足

し て い る た め ， 各 区 間 で 得 ら れ た 表 面 力 と 与 え ら れ た 表 面 力 と は ， 完 全 に は一致 し な い . そ の と き 分 割 区 間 の 代 表 寸 法 を C， そ の 分 割 区 間 か ら 注 目 点 ま で の 距 離 を sと す れ ば ， 境 界 条 件 の 乱 れ に よ る 影 響 は ， 三次 元 問 題 の 場 合 ， 無 限 体 中 に 作 用 す る 集 中 力 と 同 様 に ， 距 離 sの 地 加 と と も に (c / 

s) ² の オ ー ダ ー で減少 す る [二次 元 の 場 合 は (c / s ) の オ ー ダ ー で 減 少 す る ] . こ の 誤 差 の 影響は， 二次 元 問 題 に お い て は 分 割 数 を 増 す こ と で 実 用 上 無 視 で き る 程 度 に な る が ， 三次 元 問 題 で は 分 割 数 の 制 限 か ら 問 題 に よ っ て は 無 視 で き な く な る . こ れ を 解 決 す る た め に は . 区 間 の 中 点 の 応 力 境 界 条 件 [ 図 3 ・2 ( a ) ] の か わ り に 区 間 の 合 力 境 界 条 件 [図 3 ・2 ( b ) ]  を 用 い れ ば よ い . 合 力 境 界 条 件 を三次 元 問 題 に 用 い た 場 合 ， 図 3 ・3 ( b )  に 示 す よ う に 乱 れ に よ る 応 力 場 の 影 響 は ， 無 限 休 中 に 作 用 す る 集 中 力 対 と 同 様 に (c / s ) ³ の オ ー ダ ー で 応 力 境 界 条 件 の 場 合 よ り 急 速 に 減 少 す る .

しかし， こ の と き 四 重 積 分 が 必 要 と な り . 三次 元 の 絞 雑 な 形 状 の 解 析 に お い て は ， 現 在 の 高 性 能 計 算 機 を 用 い て も か な り の 計 算 時 間 を 必 要 と す る .

そ こ で 本 研 究 で は ， 図 3 ・1， 関 3・2( c ) に 示 す よ う に ， 集 中 力 を 仮 想 境 界 上 に 分 布 さ せ る か わ り に 各 区 間 の 外 側 ( 注 円 領 域 Qの 外 側 ) に 適 な 大 き さ の 集 中 力 を 作 用 さ せ 各 区 間 の 合 力 境 界 条 件 を 満 足 さ せ る 方 法 を 提 案 す る . こ の 手 法 を 用 い れ ば三次 元 問 題 に お い て も 合 力 計 算 が二重 積 分 と な り 比 較 的 短 い 計 算 時 間 で 高 精 度 の 解 を 得 る こ と が で き る .

2 3  

Bωy Force  Body Force  Point  Force  Stress B.  C.  Resultant  Force B.C.  Resul tant  Force B. C. 

ム

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ム +

I

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Stress  s. C. 

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トーー おdy

~ Force 

ム

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^Resul tant 

，  ) 

^{Force s. C.} 

I ̲  ̲̲̲  Point 

I  ~ Forcc  Bαly 

Force 

Double  Integral('2D) 

Single  Integral(2D)  Single Inlegral(2D)  Quadraple  Integral(3D) 

Double Inlegral(3D)  Double Inlegral(3D) 

︑I

J

hu 

rt

︑( a )  ( c )  図 3 ・2 解 析 法 に よ る 積 分 回 数 の 違 い

‑ーー・ー'

24 

件、メイ?

(a)  Stress  Boundary  Condition 

ト、~ A1 

~

↓  しふ/

(b)  Resultant  Force  Condition  図 3 ・3 境 界 条 件 の 乱 れ

仁 ^Q

P  く

図 3 ・4 集 中 力 と 境 界 と の 距 離

25 

3 ・3 計 算 結 果 お よ び 考 察

3 ・3 ・1 周 期 集 中 力 に よ る 応 力 分 布

連 続 的 に 分 布 さ せ る べ き 集 中 力 を 有 限 個 の 集 中 力 で 置 き 換 え る こ と に よ っ て 生 じ る 問 題 点 は ， 合 力 区 間 で の 応 力 の 乱 れ で あ る . こ の 乱 れ は ， 分 割 天 間 の 長 さ cと 集 中 力 と 境 界 と の 距 離 hに 依 存 す る ( 図 3 ・4).図 3・5，

3 ・6は ， 周 期 集 中 力 に よ る 境 界 に お け る 応 力 分 布 を 示 し た も の で あ る . こ れ ら の 図 よ り ， 合 力 区 間 で の 応 力 の 乱 れ は ， c / h壬 1. 0な ら ば 1

% 

未 満 で あ る こ と が わ か る . す な わ ち ， 境 界 上 の 応 力 値 が 問 題 で あ る 切 欠 き 問 題 で は ， 少 な く と も c/ h壬 1. 0と な る よ う に し な け れ ば な ら な い .

3 ・ 3 ・2 円 孔 ま た は だ 円 孔 を 有 す る 無 限 板 の 引 張 り に お け る 応 力 集 中 係 数

図 3 ・7は， 円 孔 を 有 す る 無 限 仮 の 引 張 り に お け る 応 力 集 中 係 数Kt と c / h ( 分 割 区 間 長 さ cと 集 中 カ と 境 界 と の 距 離 h と の 比 ) の 関 係 を 示 し た も の で あ る c/ h が 小 さ い ほ ど 精 度 が よ く な る こ と が わ か る .

図 3 ・8は， だ 円 の 場 合 の 応 力 集 中 係 数Kt と 集 中 力 位 置 c/ hと の 関 係 を 示 し た も の で あ る .

凶 3 ・7， 3 ・8よ り ， 切 欠 き 問 題 に お け る 集 中 力 の 最 適 位 置 は ， c /  h  O.  5 _~ O.  7で あ る こ と が わ か る . ま た ， 分 割 区 間 の 長 さ は ， 切 欠 き 底 で 切 欠 き 半 径 の 4分 の l程 度 以 下 で な け れ ば な ら な い こ と が わ か る .

3・3 ・3 縁 き 裂 を 有 す る 半 無 限 板 の 応 力 拡 大 係 数

き 裂 を 含 む 問 題 で は ， き 裂 部 分 の 境 界 条 件 を 以 上 述 べ て き た 補 助 領 域 に 集 中 力 を 作 用 さ せ て 満 足 さ せ る こ と は で き な い . き 裂 は 両 側 が 解 析 対 象 で あ り ， 補 助 領 域 を 持 た な い か ら で あ る . そ こ で 通 常 の 体 積 力 法 の 手 法 に 従 い， き 裂 に つ い て は 集 中 力 対 を き 裂 と な る べ き 位 置 に 連 続 的 に 分 布 さ せ ，

天 間 の 中 点 の 応 力 境 界 条 件 を 用 い る .

図 3・9は ， 半 無 限 板 に 存 在 す る 縁 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数KI と 集 中 力 の 位 置 c/ h と の 関 係 を 示 し て い る . き 裂 面 に は 集 中 力 を 分 布 さ せ ， 半 無 限 板 の 境 界 条 件 は 集 中 力 を 補 助 領 域 に 作 用 さ せ る こ と に よ っ て 満 足 さ せ て い

26 

2 

c/h

= 2 . 0  

c/h=1.

5 

c/h=1.0  c/h

= O . 。

{O

N¥O)¥hb 

何叫お州内

^x

  1 :

1 . 0  0 . 8  

0 . 4 ‑ 0 . 6  

x / c  

0 . 2  

。 _。

周期集 中力 に よ る 境 界 条 件 の乱れ( 垂 直 応 力 ) 5 

図 3

c/h

= 2 . 0  

c/h=1. 

5 

c/h=1.

0 

c/h

= O . 。

附 A 品何 ^{W 竹}

c 

2 

(UN¥止

)¥

λ× い

1 .0  0 . 8  

0 . 4 ‑ 0 . 6  

x / c  

0 . 2  

。 。

周 期 集 中 力 に よ る 境 界 条 件 の 乱 れ ( せ ん 断 応 力 ) 6 

図 3

‑

2 1  

3 . 2  

︐+E︑

v n

い

t  t  t σ

^∞ 

_b/a=1.0 

o  N= 16 

ll. 

N=  8  ロ N= 4 ‑ 3 .  1 

3 . 0   ^一 OA

ロ

n 白 ︒ ︒ ∞ 

1  • 0 

c 

/h 

図 3・7 円 孔 の 応 力 集 中 係 数 Ktに 及 ぼ す 集 中 力 位 置 c/ hの 影 響

2 . 9 0  ^{0 . 5}   1 .  5  2 . 0  

‑ ‑ ‑

Kt  7 

t  t  σ t

^∞ 

^{b  /8}

^二

^{O .5} 

o  N= 16  6ト

ll. 

N=  8 

ロ N= 4 ‑

5

卜‑00‑

0  ‑0 ‑‑ a 

溢AIIl I..A 

H 平

4  0 

t 

0 . 5   ロ

ロ

よ

1  • 0  c  /h 

ロ

1  • 5  2 . 0  

2 8  

図 3 ・8 だ 円 孔 の 応 力 集 中 係 数Ktに 及 ぼ す 集 中 力 位 置 c/ hの 影 響

2 9  

1 .  3 

1 .   1 2 2   1 .   1 

J  J 

号 ^{t  t} 

^c1∞ 

^{o  N= 10} 

d 

N=  8 

ロ N= 6 

ー

‑ J ‑ 8 ‑ g ‑

^一

8

^{一 一 一 一}

n u  

n u  

a唱

・

・

・

・

2  c  /h 

3 

4 

叶 3・9 半 無 限 板 の 縁 き 裂 の KIに 及 ぼ す 集 中 力 位 置 c/ hの 影 響

3 0  

る. 自 由 縁 の 分 割 長 さ は き 裂 長 さ の 約 1 0倍 と し ， 各 分 割 区 間 の 長 さ は ， き 裂 の 分 割j区 間 の 長 さ と ほ ぼ 等 し く し て い る .

こ の 図 か ら ， き 裂 問 題 の 集 中 力 の 最 適 位 置 は ， c/h=l.  5程 度 で あ る こ と が わ か る . き 裂 問 題 の 集 中 力 の 最 適 位 置 は ， 切 欠 き 問 題 の そ れ に 比 べ 境 界 に 近 い .

3 ・3 ・4 半 だ 円 表 面 き 裂 を 有 す る 半 無 限 体 の 応 力 拡 大 係 数

三次 元 問 題 に お い て は ， 比 較 で き る 精 度 の 高 い 解 析 結 果 が あ ま り な い の で ， 本 論 分 で は 半 だ 円 表 面 き 裂 の 計 算 の み を 行 っ た .

自 由 縁 の 分 割 区 間 の 大 き さ は ， き 裂 の 近 く で は き 裂 の 分 割 区 間 の 大 き さ と ほ ぼ 等 し く し ， き 裂 か ら 離 れ る に つ れ て 等 比 級 数 的 に 大 き く し て い る .

図 3 ・10‑‑‑‑‑3 ・12に ， 半 だ 円 表 面 き 裂 の き 裂 先 端 Cに お け る 応 力 拡 大 係 数K^J と 集 中 力 位 置 c/ hと の 関 係 を 示 し て い る . こ れ ら の 図 に お け る c の値は， き 裂 面 に 直 角 方 向 の 自 由 縁 の 分 割 区 間 長 さ で ，

N

は， き 裂 半 径 方 向 の 分 割j数 で あ る . こ れ ら の 図 か ら ， 三次 元 問 題 に お い て も 二次 元 問 題 と 同 様 に 集 中 力 の 最 適 位 置 は ， c/h=l.  5程 度 で あ る こ と が わ か る .

関 3 ・ 9， 3 ・10‑‑3 ・12に お い て ， 集 中 力 の 位 置 c/ hが 1. 5未 満 になると精度が恋くなっているのは，集中力が分 f.~j 区間から離れることに

よ っ て ， 影 響 係 数 マ ト リ ッ ク ス の 性 質 が 悪 く な る こ と と ， き 裂 近 傍 の 急 、 な 応)J変 化 を う ま く 消 す こ と が で き な く な る こ と と に よ る た め で あ る . こ れ ら の こ と を 図 3 ・9 の 問 題 を 例 に 示 す . マ ト リ ッ ク ス の 性 質 が 恋 く な っ て い る こ と を 表 す ノ ぞ ラ メ ー タ と し て ， こ こ で は マ ト リ ッ ク ス の 解 法 に お け る L U 分 解 法 の 過 程 で の ピ ボ ッ ト の 値 の 桁 落 ち を 調 べ て み た . 図 3 ・13に ピ ボ ッ ト の 値 の 桁 落 ち の 桁 数 と c/ hの 関 係 を 示 す . こ の 図 よ り ， c / h 

< 

1.  5に な る と ピ ボ ッ ト の 値 の 桁 落 ち の 桁 数 が 多 く な る こ と が わ か る .

また， 図 3 ・14， 3 ・15に， き 裂 近 傍 の 自 由 境 界 と な る べ き y軸 上 の 垂 直 応 力 お よ び せ ん 断 応 力 の 分 布 を 示 す . ど ち ら も c/ h孟 1. 0で は ， 集 中 力 が 分 割 区 間 か ら 離 れ る ほ ど 応 力 分 布 は 滑 ら か に な る が ， c / hく 1. 0  に な る と 応 力 分 布 が 大 き く 乱 れ て い る こ と が わ か る .

31 

0 . 8  

n u  

a 

/ J  

7J 

nU   凶同﹀・8b¥

一

VL

0 . 6 5 9 ( 2 4 )

卜一 一 一 一

‑ Q ‑ o

^{一 一 ‑‑g一 一 一}

8 

0 . 6   o  N=8 

d 

N = 6  

口

N = 4 ‑

ν=0.3  0 . 5 0  ² 

c  /h 

図 3・11 ^{表 面 き 裂 の} KIに 及 ぼ す 集 中 力 位 置

3  4 

c / hの 影 響 (b/ a=l.O)

3 2  

1 .  0 

同同

¥f8b¥

一 ￥

b/a=0.5 

8 Q 8  

o  N=8 

8 

^A 

^N=6 

ロ N= 4 ‑ 0 . 9  

O .   8 8 5 ( 2 4 )  

0.8 

v=0.3 

4  3 

2 

c 

/h 

ハU

7J   n H υ  

表 面 き 裂 のKIに 及 ぼ す 集 中 力 位 置 5 )  c / hの 影 響 ( b / a=O.

図 3・12

u円 ぺ

q . u  

a唱

・

・

・ ・

‑a '

E E‑ ‑

8 

1  • 0 2 3 ( 2 4 )   1 .  0 

凶同

︑・ 8 b

¥

一

v ‑

b/a=0.25 

o  N = 8   0 . 9  

d. 

N=6 

ロ N = 4 ‑ ν=0.3  E 

O 

3  4  2 

c  /h 

n u  

n o  

nU  

表 面 き 裂 の KI に 及 ぼ す 集 中 力 位 置

2 5 ) 

c / hの 影 響 (b/ a=O.

図 3・13

34 

ザ

5 

ロ

﹀

。 一

行ノι

ザ

E U U

O A u  

n u

u  

g ロ

o  N= 10 

ll. 

N=  8 

ロ N= 6 

、←

4 t  σ t

^∞ 

司令J

仁))

己

3

、令ー

~ ~

C  仁))

(f) 

。 。 _{3  4} 

図 3 ・13 図 3 ・9の 問 題 で の マ ト リ ッ ク ス の 解 法 に お け る ピ ボ ッ ト の 桁 落 ち

‑

‑ 3 5  

1.

0 

0 . 5  

8b¥ 

b x 

0 . 0  

‑ < l . 5  

I  t  t 

^(1ω 

ト

T10

bfc

= 8  

‑1.

5 

J  J 

‑ 2 . 0 0  ^{0 . 5}  

1.

0 

1.

5  2 . 0  

yfc 

。 0 . 0 5   0 . 1 0     . o 1 5   0 . 2 0   0 . 2 5  

y/b 

図 3

・ 1 4

図 3

・

9の 問 題 で の y軸 上 の 応 力 分 布 ( 垂 直 応 力 )

1  .  0 

8 

0.5 

b  ......... 

〉、.

x 

与'

0 . 0  

‑ 0 . 5  

‑ 1 . 5  

‑ 2 . 0 0 

。

N = 1 0   b/c=8 

0 . 5  

0 . 0 5  

I  t  t 

^t100 

Lr 

・

^ι、"

  .，

O~ー→ X

J  J 

1  .  0  1  • 5  2 . 0   y  / c  

O .  1 0   O .  1 5   0 . 2 0   0 . 2 5   y  / b  

図 3

・ 1 5

_{図 3}

・

9の 問 題 で の y軸 上 の 応 力 分 布 ( せ ん 断 応 力 〉

3 6  

Il 

円in弓U

3 ・4 結 び

体 積 力 法 の 三 次 元 問 題 に お け る 汎 用 化 で 必 要 な 計 算 量 の 減 少 を 図 る た め に ， 境 界 と な る べ き 仮 想 境 界 に 連 続 的 に 分 布 さ せ る べ き 集 中 力 を 各 区 間 の 外 側 に 作 用 す る 有 限 偲 の 集 中 力 で 代 表 さ せ る 方 法 を 提 案 し た . また， この 解 析 法 で 問 題 と な る 集 中 力 の 位 置 を い く つ か の 問 題 の 解 析 を 行 う こ と に よ

っ て 検 討 し た . そ の 結 果 以 下 の こ と が わ か っ た .

( 1 ) 有 限 個 の 集 中 力 に よ っ て 各 区 間 の 合 力 境 界 条 件 を 満 足 さ せ る 方 法 は ， 計 算 が 簡 単 な 通 常 の 応 力 法 に よ る 方 法 と 計 算 量 が ほ ぼ 等 し く ， 計 算 精 度 は ， 境 界 上 に 集 中 力 を 連 続 的 に 分 布 さ せ 各 区 間 の 合 力 境 界 条 件 を 満 足 さ せ る 方 法 に 匹 敵 す る .

集 中 力 の 位 置 に 関 連 し て 以 下 の こ と が わ か っ た .

( 2 ) 切 欠 き 問 題 で は ， 分 割 区 間 の 長 さ cと 集 中 力 と 境 界 と の 距 離 hと の 比 c/ hは，

o .  

5‑‑0.  7が 最 適 で あ る .

( 3 ) 切 欠 き 底 で の 分 割 区 間 の 長 さ は ， 切 欠 き 半 径 の 4分 の l以 下 で あ る こ と が 必 要 で あ る .

( 4 ) き 裂 問 題 で は ， 分 割 区 間 の 長 さ cと 集 中 力 と 境 界 と の 距 離 hと の 比 c / hは 1. 5程 度 が 最 適 で あ る .

以 下 の 章 で は ， こ れ ら の 結 果 に 基 づ き ， 実 用 上 重 要 な 各 種 の 問 題 を 有 限 個 の 集 中 力 で 境 界 条 件 を 満 足 さ せ る 方 法 に よ り 解 析 す る .