3 次元系における量子力学 3 次元系における量子力学

3 次元系における量子力学 3 次元系における量子力学

位置演算子、運動量演算子と交換関係

ハミルトニアン、シュレディンガー方程式と波動関数 軌道角運動量演算子の定義

軌道角運動量演算子の定義

軌道角運動量演算子の正準交換関係

軌道角運動量演算子の固有値と固有関数

(

軌道角運動量演算子の行列表現 軌道角運動量演算子の行列表現

軌道角運動量の量子的揺らぎ 中心力の場合

M d b R Ok t (K h I tit t f T h l )

1

Made by R. Okamoto (Kyushu Institute of Technology)

filename=3dim-Quantum-Summary110622.ppt

3 次元系の位置演算子 運動量演算子と交換関係 3 次元系の位置演算子、運動量演算子と交換関係

∂ [ ]

ˆ , ˆ ˆ ˆ , i ,

x

i

x x p x p

x

= = ∂ → =

∂

ˆ , ˆ ∂ ˆ ˆ , i ,

y

i

y y p y p

y

∂ ⎡ ⎤

= = ∂ → ⎣ ⎦ =

[ ]

ˆ ˆ

ˆ , ˆ , i

z

i

z z p z p

z

= = ∂ → =

∂

[ ]

ˆ , ˆ , ˆ ˆ ,

ˆ ˆ ,

0,

x y x z x p x p

⎡ ⎤ ⎡ = ⎤ ⎡ = ⎣ ⎤ ⎦ = =

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ]

ˆ ˆ

, , , 0,

ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0

x z

y z y p y p

z p z p p p p p p p

⎡ ⎤ ⎡ = ⎤ ⎡ = ⎤ =

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ = ⎤ = ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = = ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ =

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2

[ ]

,

,

0,

,

,

,

0,

z p z p p p p p p p

⎡ ⎤ ⎡ = ⎤ = ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = = ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ =

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3 次元系のハミルトニアン、

シュレディンガ 方程式と波動関数 シュレディンガー方程式と波動関数

2

ˆ

( , , ; )

H = − 2 ∇ + U x y z t

ハミルトニアン

2 2 2

2

2 2 2

2m

∂ ∂ ∂

Δ ≡ ∇ ≡ + +

ハミルトニアン

2 2 2

ˆ ( ; ) i ( ; )

H x y z t x y z t

x y z

Ψ = ∂ Ψ

∂ ∂ ∂

シュレディンガー方程式（時間依存の場合）

( , , ; ) i ( , , ; )

H x y z t x y z t

Ψ = t Ψ

∂

シュレディンガー方程式（時間依存しない場合）

when ( , , )

ˆ ( ) ( )

H x y z E x y z U U x y z

ψ = ψ

=

( , , ; ) ( , , ( , , ) ( , , )

) exp( i / ) H x y z E x y z

x y z t ψ x y z Et

ψ = ψ

Ψ = −

3

*

( , , , ) ( , , , ) x y z t x y z t dxdydz 1

+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞

Ψ Ψ =

∫ ∫ ∫

規格化

軌道角運動量演算子の定義 軌道角運動量演算子の定義

ˆ ⎛ ∂ ∂ ⎞

量子力学：波動関数の方向依存性の度合いとしての角運動量

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,

i

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x

yp

zp

y z

z y

⎛ ∂ ∂ ⎞

≡ − = ⎜ ⎝ ∂ − ∂ ⎟ ⎠

∂ ∂

⎛ ⎞

⎜ ⎟

古典物理学：「回転する勢い」として角運動量

i ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

y

zp

xp

z x

x z

xp yp x y

≡ − = ⎜ ⎝ ∂ − ∂ ⎟ ⎠

⎛ ∂ ∂ ⎞

≡ − = ⎜ − ⎟

, , ,

(

,

)

r p yp zp zp xp xp yp p mv

≡ × = − − −

≡

z

xp

yp

i x y

y x

⎜ ∂ ∂ ⎟

⎝ ⎠

2 2 2 2

ˆ ≡ ( ˆ

, ˆ

, ˆ

), ˆ ≡ ˆ

+ ˆ

+ ˆ ,

²

( ) ( )

1 1

ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

i ˆ

±

→ = + =

≡ ±

( ) ( )

2 2

2

2 , 2i

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y

z z z z

+ − −

+ − + −

+

→ = + = −

→ = + − = + +

( )

1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

z z z z

z +

+ − −

+

= +

+

軌道角運動量演算子の極座標表現

2 2 2

sin cos 0

x = r θ φ ^⎧ r = x + y + z ≤ < ∞ r

⎧

直交直線座標と極座標の関係

z

2 2

sin cos , 0 ,

sin sin , tan / , 0 2

cos t / 0

x r r x y z r

y r y x

z r

θ φ

θ φ φ φ π

θ θ θ

= ⎧ = + + ≤ < ∞

⎧ ⎪

⎪ = ⎪ = ≤ ≤

⎨ ⎨

⎪ = ⎪

⎩ ⎪⎩ + ≤ ≤

θ

y r

2 2

cos . tan / , 0 .

z r θ θ x y z θ π

⎩ ⎪⎩ = + ≤ ≤

φ

x

y

⎛ ⎞

軌道角運動量演算子の極座標表現

i

1

e i ( )

tan

φ

θ θ φ

±

=

⎛ ⎜ ⎝ ± ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎞ ⎟

⎠ 複合同順

i φ

= ∂

ｚ

∂

2

⎛ 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ 1 ∂

⎞

波動関数の角度変化率（方向依存性）としての

(

2 2

2

2 2

1 1

sin sin θ sin

θ θ θ θ φ

⎛ ∂ ⎛ ∂ ⎞ ∂ ⎞

= − ⎜ ⎝ ∂ ⎜ ⎝ ∂ ⎟ ⎠ + ∂ ⎟ ⎠

5

波動関数の角度変化率（方向依存性）としての

(

軌道角運動量演算子の正準交換関係 軌道角運動量演算子の正準交換関係

⎡ ˆ _x , ˆ _y ⎤ i ˆ _z , ⎡ ˆ _y , ˆ _z ⎤ i ˆ _x , ⎡ ˆ _z , ˆ _x ⎤ i ˆ _y ,

⎡ ⎤ = ⎡ ⎤ = ⎡ ⎤ =

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ˆ ˆ ² , _x ⎤ ⎡ ˆ ˆ ² , _y ⎤ ⎡ ˆ ˆ ² , _z ⎤ 0,

⎡ ⎤ ⎡ = ⎤ ⎡ = ⎤ =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ˆ _z , ˆ _± ˆ _± , ˆ ₊ , ˆ ₋ 2 ˆ _z

⎡ ⎤ = ± ⎡ ⎤ =

⎣ ⎦ ⎣

→ ⎦

軌道角運動量のｘ、ｙ、ｚ成分はお互いに同時固有状態を持たないこと

軌道角運動量の二乗とｘ、ｙ、ｚ成分のどれかひとつは お互いに同時固有状態を持つこと

通常は軌道角運動量の二乗とｚ成分の同時固有状態を考える

6

通常は軌道角運動量の 乗とｚ成分の同時固有状態を考える

(

軌道角運動量演算子の固有値と固有関数 ( 固有状態）

軌道角運動量演算子の固有値と固有関数 ( 固有状態）

2 2

ˆ m = ( ( + 1) ) m , ,

ˆ ,

ˆ ( 1) ( 1) 1

z

m m m

m m m m

=

= + − ± ±

' '

( 1) ( 1) 1 ,

' ' |

0 1 2

mm

m m m m

m m δ δ

±

= + ± ±

= ⋅

= 0,1, 2,

, 1, , 1, ( )

m = − − + −

( , ) :

m ⇔ Y

θ φ 球面調和関数

2 *

0 0 ' '

' m ' | m

Y

( , ) Y

( , ) sin d d

θ ⁼ φ ⁼

θ φ θ φ θ θ φ

= =

⇔ ∫ ∫

7

球面調和関数の直交規格性と具体例 球面調和関数の直交規格性と具体例

2 *

' ' ' '

0 0

Y

( , ) Y

( , ) sin d d

θ π φ π

θ ⁼ φ ⁼

θ φ θ φ θ θ φ δ δ =

∫ ∫

( )

( )

θ φ

φ φ φ

= =

∫ ∫

1 00

( , ) , Y

θ φ =

4 3 1

10 2

( , ) ,

( , ) cos ,

Y

π π

φ

θ φ = θ

3 i 1

1, 1 2 2

5 2 1

20 4

( , ) sin e ,

( , ) (3cos 1),

Y Y

π φ

θ φ θ

θ φ θ

±

±

= ⋅

= −

∓

20 4

3 5 i 1

2, 1 4 2

( , ) (3cos 1),

( , ) sin 2 e ,

Y Y

π

π φ

θ φ θ

θ φ

θ

±

= ∓ ⋅

2 i2

3 5 1

2, 2

( , )

sin e Y

θ φ =

θ ⋅

8

軌道角運動量演算子の行列表現 軌道角運動量演算子の行列表現

' m ' | ˆ | m ⁼ m δ δ

2 2

' '

| | ,

' ' | ˆ | ( 1) ,

z mm

mm

m m m

m m

δ δ

δ δ

=

= +

' ', 1

' m ' | ˆ

| m = ( + − 1) m m ( ± 1) δ δ

2

1 , ' 0, 1

1 0 0 1 0 0

= m m = ±

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

の場合：

2 2

0 0 0 , 2 0 1 0 ,

0 0 1 0 0 1

z

= ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟

⎜ − ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 1 0 0 0 0

2 0 0 1 , 2 1 0 0

+ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

0 0 0 0 1 0

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

軌道角運動量の量子的揺らぎ 軌道角運動量の量子的揺らぎ

( ) ^Δ

^{≡ m | ˆ}

^{| m − m | ˆ}

^{| m}

( )

( )

2 2 2

2 2

2

( ) / 2

ˆ ˆ

| | | |

x x x

= + − m

( ) Δ

2 2 2

2 2

| | | |

( ) / 2

y

m

m m

m

m

Δ ≡ −

= + −

( )

^{| ˆ}

^{| | ˆ |}

0

z

m

m m

m

Δ ≡ −

=

( ) ( )

for when =0: Δ

= Δ

= 0

( ) ( )

¹

for when =1/2:

x y

2

Δ = Δ =

( ) ( )

10

( ) ( )

for when =1, m = ± Δ 0, 1:

= Δ

= (2 − m )

中心力の場合 _{V x y z ( , , ) = V r ( )}

2 変数変換

ˆ

( , , ),

H 2 V x y z

= − m ∇ + ^{sin cos ,}

i i

x r θ φ

θ φ

= ( , , ) y ( )

変数変換

2

ˆ ( , , ) ( , , ) m

H ψ x y z = E ψ x y z

sin sin , cos

y r z r

θ φ θ

=

=

2

2

1

1 1

sin

r θ

∂ ⎛ ∂ ⎞ ∂ ⎛ ∂ ⎞ ∂

∇ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ +

ラプラシアン（ラプラスの演算子）

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

sin sin sin

1 ˆ

r r r r r r

r

θ θ θ θ θ φ

∇ ∂ ⎜ ⎝ ∂ ⎟ ⎠ + ∂ ⎜ ⎝ ∂ ⎟ ⎠ + ∂

∂ ⎛ ∂ ⎞

= ∂ ⎜ ⎝ ∂ ⎟ ⎠ −

2

2 2

2 2

2 2 2

1 1

ˆ / si

sin n in

s

r r r r

θ θ θ θ θ φ

∂ ⎛ ∂ ⎞ ∂

= − ⎜ ⎟ +

⎜

∂ ⎝ ∂ ⎠ ∂

∂ ⎝ ∂ ⎟ ⎠

sin θ θ ∂ ⎝ ∂ θ ⎠ s in θ φ ∂

( , , ) x y z R r Y ( ) _m ( , )

ψ = θ φ

11

2 2

ˆ Y

( , ) θ φ = ( + 1) Y

( , ) θ φ

動径方向のシュレディンガー方程式 動径方向のシュレディンガー方程式

2 2 2

( ) 2 ( ) ( 1)

( ) ( ) ( )

d R r dR r

U r R r E R r

⎡ ⎤ ⎡ + ⎤

− ⎢

+ ⎥ ⎢ + ( ) +

⎥ ( ) = ( )

2 U r 2 R r E R r

m ⎢ dr + r dr ⎥ ⎢ + + mr ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

「遠心力」ポテンシャル

( ) ( ) r , ( ) ( ) R r = χ χ r ≡ ⋅ r R r

「遠心力」ポテンシャル

別の表現

2 2

2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) r

d r d R r dR r

dr dr r dr

χ

→ χ = +

dr dr r dr

2 2 2

2 2

( ) ( 1)

( ) ( ) ( )

d r

U r r E r

χ ^{⎡ + ⎤} χ χ

−

+ ⎢ ( ) +

⎥ ( ) = ( )

2 U r 2 r E r

m dr + ⎢ + mr ⎥ χ χ

⎣ ⎦

もとのシュレディンガー方程式に比べて

12

もとのシュレディンガー方程式に比べて

１階微分がないので、数学的解法が容易になる！