1次元系における量子力学の基礎概念

(1)

1 次元系における量子力学の基礎概念

§1 自由粒子と平面波

§2 デルタ関数

§3 無限量子井戸

§4 有限量子井戸

§5 ベクトルの内積

§6 関数の内積、直交性、規格性

§7 位置座標演算子の期待値

§8 運動量演算子の期待値

§9 ハミルトニアンの期待値

§10 位置と運動量の不確定性関係

made by R. Okamoto (Emeritus Prof., Kyushu Institute of Technology) Filename=quantum--basic-concept-1dim-summary20190507.ppt

1

(2)

§ 1

自由粒子と平面波

自由粒子：他から力(相互作用）が働かない粒子

1次元の平面波とその表現正弦波

余弦波

複素数表現

オイラーの公式

A:振幅、

k＝2π/λ：波数、

λ：波長、

ω＝2πf：角振動数、

f：振動数

e

i^θ

= cos θ + i sin θ

2

( , ) sin( )

k x t A kx ωt

Ψ = −

( , ) cos( )

k x t A kx

ω

t

Ψ = −

[ ]

i( )

( , ) e ^kx ^t exp i( )

k x t A ⁻^ω A kx

ω

t

Ψ = ≡ −

(3)

平面波を規格化する二つの方法

平面波は単純には規格化できない→波動関数の確率解釈ができない？！

(1)デルタ関数を用いる規格化

(2) 箱型規格化（周期的境界条件）

波動関数を変数分離型に表す他から力が全く働かない粒子は不自然

波数、エネルギーは連続的に変化する

波数、エネルギーは離散的に変化する ³

* 2

( , ) ( , )

k x t k x t dx A dx

+∞ +∞

−∞ Ψ Ψ = −∞ → ∞

∫ ∫

i /

2 2

( , ) ( ) e ,

2

Et

k x t k x

E m

ψ ω ω Ψ = −

= =



 

* i

'

i

( ) ( ) ( ') ( ) 1 e

2

( ) 1 e

2

kx

k k

kx k

x x dx k k k dx

x

ψ ψ δ δ

π

ψ π

+∞ +∞

−∞ = − ← = −∞

→ =

∫ ∫

2 2

i 2

2

( ) ( ) 2 , ( 0,1, , )

1 2

( ) e ⁿ , , ( 0,1, , )

n

k k n

k x

k n

x x L k n k n

L

x E n n

L mL

ψ ψ π

ψ π

 

= + → =   ≡ = ∞

 

→ = ≡   = ∞

 



 

(4)

§ 2

デルタ関数

( )x dx 1, ^ε ( )x dx 1 ( : )

δ ε δ ε

∞

−∞ = − =

∫ ∫

^任意正数

デルタ関数δ(x）とは、点x＝0に面積１が集中した関数である。

( ) ( ) (0), ( ) ( ) ( )

f x δ x dx f f x δ x a dx f a

∞ ∞

−∞ = −∞ − =

∫ ∫

デルタ関数の有用な表現

ヘビーサイドの階段関数θ(x)の広い意味の微分

1 ( 0)

( ) 0 ( 0)

x x

θ _{≡ }^ x ^≥

 <

モデル関数による表現

1 2 0

( )

( ) lim ( ), ( )

0 ( )

x x x x

x

ε

ε ε

ε

ε ε

δ δ δ

ε

→

− ≤ ≤

≡ ≡  >

1 2ε

x

ε

− ε

( ) d ( )x

x dx

δ

=

θ

( ) 1 e

2

x ikxdk

δ π

+∞

=

∫

−∞ ^δ^{( )}^x ⁼ ^lim_a_→∞ ^sin(_π ^ax_x ⁾

4

(5)

§ 3

無限量子井戸

x ポテンシャルV(x)

０ a

シュレディンガー方程式

( ) sin( ) cos( )

( , : )

x A kx B kx

A B

ψ = +

積分定数

一般解

境界条件特殊解

(0) ( )a 0 ψ =ψ = m

2 2

2

( ) ( )

2

( ) 2

( ) ( ), 2

d x E x

m dx

d x mE

dx x

k x k mE

ψ ψ

ψ

− =

→ = −

= − ≡



( )x Asin(kx)

ψ = ^{波数、エネルギーの}

量子化

x

０ a

1 n=

2 n=

3 n=

基底状態

励起状態

離散的エネルギーをもつ束縛状態：

無限個！ ⁵

2 2 2 2

, ( , 2, , )

. 1

2

n

k n k n

a

E n

ma π

π

=   ≡ = ∞

 

 

≡  

 





(6)

無限量子井戸：波動関数、量子論的確率、古典的確率

０ a

1

n= n = 2

規格化直交性

( )

* 2

0^aψ_n( )x ψ_n( )x dx = →1 ψ_n( )x = _a sin ⁿ_a^π x

∫

波動関数

０ a _０ a

n

( ) x ψ

( ) 2 n x ψ

確率密度

n=6

０ a

1

n= n = 2

０ a _０ a

n=6

*

0^aψ_n( )x ψ_n'( )x dx = 0 (n ≠ n')

∫

6

(7)

§ 4

有限量子井戸

x V(x)

束縛状態：ポテンシャルの壁の中に浸透する確率がある！

離散的エネルギーをもつ束縛状態：

1本以上有限個

-L ⁰ L

7

(8)

§ 5

ベクトルの内積ー

2

つの表現ー

cos ( : )

AB θ θ

A B ⋅ ≡ A とのなす角度 B

( , , )

x y z x x y y z z

A A A A A A A

B B B B B B B

≡ ≡ = + +

A e e e

B e e e



内積（スカラー積）

1 cos 0 1, 1

1 cos 0, 1

2

x x y y z z

x y y x x z z x y z z y

π

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =

⋅ = ⋅ ⋅     = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

e e e e e e

e e e e e e e e e e e e

１１

ベクトルと成分、基本ベクトルを用いたその表現

| ≡ A B

_x _x

+ A B

_y _y

+ A B

_z _z

A B

θ

8

(9)

* * *

* * * * * * *

*

2 2 2

| ,

|

| |

|

x x y y z z

x x y y z z x x y y z z

x y z

A B A B A B

A B A B A B B A B A B A

A A A

≡ + +

= + + = + +

→ =

→ = + +

A B A B

A B B A A A

ベクトルの成分が複素数であるように、

2

つのベクトルの内積の定義を拡張すると

9

(10)

§ 6

関数の内積、直交性、規格性

*

( ) ( ) 1

b

ψ x ψ x dx =

∫

^a

( ), ( ) x x

^b *

( ) ( ) x x dx

ψ φ ∫

^a

ψ φ

関数の内積:

積分領域(x=a→x=b)で定義される2つの関数の次の積分を関数の内積と定義する。

関数の規格性（正規性）

上付き添え字（星印）：複素共役（complex conjugate）

関数の直交性

∫

^a^b

ψ

^*

( ) ( ) x φ x dx = 0

^＋ ^-

*

( ) ( ) 1

b

φ x φ x dx =

∫

^a

10

(11)

直交規格関数系

{ }

1( ),x 2( ),x , _n( )x _k( );x k 1, 2, ,n

φ φ  φ ≡ φ = 

*

' '

'

( ) ( )

1 ( ') Kronecker

0 ( ')

b

k k kk

kk

x x dx

k k k k

φ φ δ

δ δ

=

 =

≡   ≠

∫

^a

の記号：

11

(12)

完全直交規格関数系による任意の関数の展開

1 1 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )

n

k k k

x c x c x c x

ψ φ φ φ

=

= + +^≡

∑

* * *

1 1 1 1 1 1 1 1

*

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

k k

x x dx x c x dx c x x dx c

c x x dx

φ ψ φ φ φ φ

φ ψ

= = =

→ =

∫ ∫ ∫

∫

* *

1 1

( ) ( ') ( ') ' ( ) ( ') ( ) ( ') '

n n

k k k k

k k

x x x dx x x x x dx

ψ φ ψ φ φ φ ψ

= =

   

=

∑



∫

 =

∫



∑

 展開係数の求め方

しかし、これで万万歳か？係数ｃを展開式に代入すれば、もとの関数と等しいはず

* 1

( ') ( ) ( ')

n

k k

k

x x x x

φ φ δ

=

= −

∑

完全性（完備性） ¹²

(13)

完全直交規格関数系の実例

( ) 2 sin ; 1, 2,

n

x n x n

a a

φ π

 

 =   = 

   

 

 

0 '

2 2 '

sin sin

a

nn

n x n x

a a a a dx

π π δ

    =

   

   

∫

（２）区間x=0→x=aの間の無限量子井戸に閉じ込められた粒子の波動関数（固有状態）

規格直交性

2 '

sin sin ( ')

n

n x n x

x x

a a a

π π δ

    = −

   

   

∑

完全性

（１）フーリエ級数展開

13

(14)

2 '

sum sin sin

n

n x n x

a a a

π π

   

≡    

   

∑

^{の数値計算例}

nmax= 100000000, a=1.0の場合

x= 1.0000000000 x’= 0.9000000000 → sum= 3.65235 x= 1.0000000000 x’= 0.9900000000 → sum= -33.57476 x= 1.0000000000 x’= 0.9990000000 → sum= -360.48495 x= 1.0000000000 x’= 0.9999000000 → sum= 416.26826 x= 1.0000000000 x’= 0.9999900000 → sum= -31868.66346 x= 1.0000000000 x’= 0.9999990000 → sum= -50201.51458 x= 1.0000000000 x’= 0.9999999000 → sum= -50406.16195 x= 1.0000000000 x’= 0.9999999900 → sum= 50407.33862 x= 1.0000000000 x’= 0.9999999990 → sum= 98365120.67781 x= 1.0000000000 x’= 0.9999999999 → sum= 99983882.32352

14

(15)

15

§ 7

位置座標演算子の期待値と

2

乗揺らぎ

例：区間x=0→x=aの間の無限量子井戸に閉じ込められた粒子の波動関数（固有状態）について

基底状態における座標（演算子）の期待値

 ^*

1 1 0 1 1

0

2 2

2

2 2

2

( ) ( )

2 2

sin sin

3 2 .

a

x x

x

x x dx

x x

a a a a dx

a a

φ φ φ φ

π π

π

≡ ⋅ ⋅

   

=  ⋅ ⋅  

= −

∫

 ^*

1 1 0 1 1

0

( ) ( )

2 2

sin sin

2

a

x x dx

x x

a a a a dx

x

x a

φ x φ φ φ

π π

≡ ⋅ ⋅

   

=  ⋅ ⋅  

=

∫

基底状態における座標2乗（演算子）の期待値

座標の2乗ゆらぎ

 

( )

 

2 2

1 1 1 1 1

2

1 1 1 1

2 2

( )

12 2

x x

a

x a

φ φ φ φ

π

∆ ≡

=

−

=

波動関数がx=a/2を中心とした左右対称

ー実験誤差ではなく，量子的揺らぎ

(16)

16

§ 8

運動量演算子の期待値と

2

乗揺らぎ

16

基底状態における運動量（演算子）の期待値

 ^* 

1 1 0 1 1

0 2

2 2

2

( ) ( )

2 2

sin ( ) s ni

x x

a

p x x dx

x x

a a a a dx

p

d d a

x

φ φ φ φ

π π

π

≡ ⋅ ⋅

   

=  ⋅ ⋅  

= 

−





∫



運動量の2乗ゆらぎ

 

2 2

1 1 1 1 1

2

1 1 1 1

2 2

2

( ) ( _x _x )

x x

x

p p

p

a

φ φ φ φ

π

∆ ≡

= −

 

=  

−



 ^* 

1 1 1 1

0

( ) ( )

2 2

sin sin

0

i

a

x x x x dx

x x

a a x a dx

p

d a

p

d

φ φ φ φ

π π

≡ ⋅ ⋅

   

=  ⋅ ⋅  

=

∫

∫ ^

基底状態における運動量2乗の期待値

波動関数がx=a/2を中心とした左右対称だから，右向きと左向きが等確率で，相殺

ー実験誤差ではなく，量子的揺らぎ

(17)

17

§ 9

ハミルトニアンの期待値

ところが，シュレーディンガー方程式より

例：区間x=0→x=aの間の無限量子井戸に閉じ込められた粒子の波動関数（固有

状態）について

基底状態におけるハミルトニアン（演算子）の期待値

 ^* 

1 1 1 1

0^a ( ) ( )

H x H x dx

φ φ ≡

∫

φ ⋅ ⋅φ



1

( )

1 1

( ) H φ x = E φ x

従って 

1

*

1 1 0 1 1

1

( ) ( )

a x E dx

E

x φ H φ = φ ⋅ φ

=

∫

同様に  ( ) ( )

2

1

* 2

1 1 0 1 1

1 2

( ) ( )

a x x x

E

d

H E

φ φ = φ ⋅ φ

=

∫

故に

(

 

)

 

2 2

1 1 1 1 1

1 1

2 2

1 1

( )

0

H H

H φ φ φ φ

φ φ φ φ

= −

−

∆ ≡

=

ハミルトニアンの固有状態において，

ハミルトニアンの量子的揺らぎはないこと

(18)

18

§ 10

位置と運動量の不確定性関係

1 1 2

2

1 1

( ) ( )

12 2

3 2 2 2

x px a

a π π

π

 

∆ ∆ =  −  ⋅

 

 

=  −  ⋅ >

 



 

一般に，正準交換関係

Δx→０にすれば，Δp_x→∞．

逆に，Δpx→０にすれば，Δx→∞

位置または運動量を別々には厳密に測定出来るが，

両方同時には厳密な測定はできないこと

波動関数の確率解釈，運動量演算子が座標の微分であること，不確定性関係は相互に整合的である：

量子井戸の幅aが小さくなる（＝Δxが小さくなる）と，存在確率の保存のために は波動関数の傾きは増加する．すると，運動量は増加する（＝Δp_xは増加）

  ,

_x

i

 x p  =

  

を満たせば

x 2 x p

∆ ⋅ ∆ ≥  ₍理論的に導ける！)

1次元系における量子力学の基礎概念