三重相反境界要素法による三次元弾塑性解析のための初期応力定式化
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(2) 三重相 反境 界要 素法 に よる三次元 弾塑性 解析 の ため の初 期応 力定 式化 で 与 え ら れ る.た をGと. し,物. る.式(1)に. だ し,ボ. ア ソ ン 比 を ン,横 弾 性 係 数. を 単 位 法 線 ベ ク トル の ガ方 向 成 分 と す お け る 関 数 ε撚 は,次 式 で 与 え ら れ る.. ・黒 一16. π(一11一 レ)G〆[(1-2・)(恥. 煽. ・). 一 δゴ 々κ∫ 一 ←3γ該乞ゴア ∼々](4) 式(1)に. は 領 域 積 分 が 含 ま れ る.そ. こ で,積. 分方程 式. を用 い た補 間 法 を活 用 し て領 域 積 分 を境 界 積 分 に 変 換 す る. 2・2初. 期応 力分 布の 補 間. 間 が 重 要 な 事 項 で あ る.三. 三 重 相 反 法 で は,補 次 元 の 場 合,次. Fig.1Notationforpolyharmonicfunctionwithvolume. 式 を用 い. distribution る(6). ▽2δ1艮】5;一 δ1漿〕5(5). ∂罪L(1繕. ハ. ▽2δ 、}舞15ニー Σ. δ ∬」琵協(6). η=1. 式(5),(6)は,次. 重 調 和 関 数 丁[21は,7の 式 の よ う に 書 く こ とが で き る.. レ. ▽4δ,1匙15=Σ. ≧;li41舞(11). 函 」鵬 ∼(7). 滑 らか. 間 が 得 られ な い.. π冨=1. た だ し,補 間 は 初 期 応 力. 関 数 で あ り,7=0で. で は な い の で,二 次 元 問 題 と 同 じ補 間 で は 滑 らか な補. 式(6)の. δ∫!野(ブ,ん=」じ,〃,z)の そ れ. δ、∫ ￡]用は,δ 、」 茸 】Pを半 径Aの. 領 域 に一様. に分 布 させ た状 態 を示 す.定 式 化 の た め に,図1に. ぞ れ の 成 分 に 対 し て 考 え る も の と す る.. す よ うに 半 径Aの. 多 重 調 和 関 数 丁 国 は 次 の 関 係 が あ る.. 示. 領 域 に 一 様 に 分 布 させ た 状 態 を 示. す.次 式 で 定 義 さ れ る体 分 布 多 重 調 和 関 数 丁 【 ∫μ を 導. ▽2T【川1=T[∫](8). 入 す る.. 従 っ て,∫ 重 調 和 関 数 丁 国 は 次 式 で 求 め る こ と が で 去ス. T・… イ{ズ[ズT…. ゲ ・inθdθ]dφ}d・ (12). 三 次 元 の 場 合 の ∫ 重 調 和 関 数 丁岡 お よ び そ の 法 線 方. た だ し,72;R2+α2-2α. 向 微 分 係 数 は,一 般 に次 式 で与 え られ る.. 分 を 行 う とRの. ア ヨ T【 ∫]-4. 2・3初. で あ る.式(12)の. 関 数 と な る が,式(10),(11)と. 性 の た め にRを. π(7-' 2∫-2)!(1・). πcosθ. γ と 書 き 改 め て,体. 分 布 多重 調程 関. 関 数 δノ}茸Pの数 を 〃. と す る と,δ 調5は. グ リ ー ン の 定 理 お よ び 式(5),(6)よ. 次 式 で 与 え られ る.. 式(6)よ. ° 凸. 、A,ヒ. 【 ノ ㌧ノ 」」κ 、"`'＼. 望 ノ. り δ∫畏】∫ は 同 様 に 次 式 で 与 え ら れ る. _、_、r「__、__、. 式(17)お. ∂δ7霧1εでρ). よ び グ リ ー ン の 定 理 よ り,式(1)は. ・・(P)網. 一ル. の整合. 数 丁【 ∫μ を 以 下 に 示 す.. 期応 力の積 分表 示. 倫 」 海 一1. 積. 鵬Q)カ. ∂ 丁. 田(1〕.ρ. 、,。__コ. ー_2星_,、. 、.、 一. 、_一. 、、. 次 式 に な る.. 、(Q)一ρ・(瑚. 擁・(Q)】df一ゑ(-1)・ ∫[∂ ε鴇. 望Q)δ. 幽Q). 、. り.
(3) 三 重相 反境 界要素 法 に よる三次元 弾塑性 解析 の ため の初 期応 力定 式化. σZ'」. 高 次 の ケ ル ビ ン の 解 班]は 雄 ・-2`1≡. 1053. 加=1. 次 式 で 得 ら れ る ω(2).. 壽、ρ 躍. ・1・+砺 響+1】. 同 様 に,体 分 布 多 重 調 和 関 数 を 用 い た 高 次 の ケ ル ビ ン の 解 班 い は 次 式 で 得 ら れ る. A_-1+14δ. κむ'-2(1 式(20)に. 式(10)を. 一 レ)01・. 代 入 す る と,関. 雄 ・-8駕. が丁 協+1]湾. 乃`〒G 数. 曜. 】が 得 ら れ る.. 器)に ▽2ε駄1]=ε. 式(5),(6),(29)お. 耳. 〆. 、 一 「. 凸7ノ. 」. 、-vノ. は領 域 積 分 が あ るの で,次 式 の 関 係 が あ る高 次 の 関 数 を 導 入 す る.. (29). 累z. よ び,グ. リ ー ン の 恒 等 式 よ り式(27)は,次. 式 に な る.. δ・(ρ)一 ∫ 卜 σ賜(ム ρ)ガ・(Q)一&・(ム9M>]dr一 一 σ臓 ・(ρ ,Q)∂ ε1誓 差(9)]dr+議 た だ し,関 数 ε駿,,∂ ε鴇/∂η,ε 騨 !o∫1、. 〆o∫. ・騨(痂. は 次 式 で あ る.. り 、,_2プ ー5. ゑ(-1)・ ∬ ㈱(の. ∂σ犠 方11(ρ,(の ε蕩 】 ∫(9>. 一6・号・(σ). ∂η. (30).
(4) "＼uJ. 工 硬化. 2'●`ノ'＼. 」. 満 足 して い る.. 0.3と. 繰 り返 し計 算 に よ り弾 塑 性 解 析. 化 係 数H=0.1Eと. 以 上 の 式 は,式(29)を 2・6加. ∪`3. ン. し,降 伏 応 力 をy=1200MPaと. す る.加. し,一 定 要 素 を 用 い,要. を 行 う.ま ず,塑 性 が 開 始 す る 荷 重 瓦 を 求 め,最 終. 内 点 数315で. 荷 重 をPb,時. れ て い な い も の と し て お り,図2(b)に. 間 分 割 数 をNと. し,(ErR)脚. の荷 重. 計 算 を 行 っ た.上. を順 次 加 え て 行 く.時 間 ス テ ッ プ 々 に お け る 降 伏 応. し た 内 点 を 示 す.計. 力 を σ6,相 当 塑 性 ひ ず み増 分 をdε5と し,加 工 硬 化 係. で 行 い,図3に. 数 をHと. 較 を 示 し た(7}.RMS(二. す る と,時 間 ス テ ップ 々+1に. お ける降伏 応. は計 算 に使 用. 算 は 初 期 応 力 法 と 初 期 ひ ず み 法(3). 有 限 要 素 法(ANSYS)に. よ る解 との 比. 乗 平 均 平 方 根)は,初. σ6+1=σ8-←11dε5(35) ミー ゼ ス の 降 伏 条 件 を 用 い る場 合,応 力 速 度 よ り,偏 差 応 力Sが を 求 め,次 式 に よ り相 当 応 力 σ,を計 算 す る. 号 脇(36). ミー ゼ ス の降 伏 条 件 は 次 式 で示 され る.. (37). σθ一 σo;0. 塑 性 ひ ず み 増 分d鵡 Reussの. を 決 定 す る に は,次. のPrandtl-. 式 を 用 い る.. 漉 ￡-sδ 訟. た だ し,訟. (38). は比 例 係 数 で あ る.以 上 の 式 よ り,仮 の 塑. 性 ひ ず み 増 分dε 名を計 算 し,応 カ ーひ ず み 関 係 式 よ り. (a). Boundaryelements. 仮 の初 期 応 力 速 度 増 分 を計 算 す る.境 界 上 の 点 お よ び 内点 の仮 の初 期 応 力 速 度 を用 い て 式(15),(16)に 仮 の 初 期 応 力 速 度 分 布 を補 間 し,式(18)よ. より. り変 位 速 度. お よび 表 面 力 速 度 を求 め,さ ら に応 力 速 度 を 求 め る. 再 び,初 期 応 力 速 度 増 分 を 計 算 す る操 作 を 繰 り返 し, 初 期 応 力 速 度 分 布 増 分 を収 束 さ せ る.そ の 後,次 の 時 間 ス テ ップ の 塑 性 計 算 を行 う. 3.解 図2(a)に. 例. 示 す 内 圧P=1200MPaを. 弾 塑 性 解 析 を 行 な っ た.内 mmと. 析. 径 α=20mm,外. し,縦 弾 性 係 数E=210GPa,ボ. 受 け る円 筒 の 径 δ=60. (b)Internalpoints. ア ソ ン 比 レ=. Fig.2. _11. 8一. 素 数680,. 下 方 向 の 変 位 は拘 束 さ. 力 σ8+1は 次 式 で与 え られ る.. 碗一. 工 硬. Hollowcylinderwithinternalpressure. 期応 力 法.
(5) 三重相 反境界 要素 法 に よる三次元 弾塑性 解析 の ため の と有 限 要 素 法 で は30.6で 要 素 法 で は37,4で っ た.ま も2パ. た,計. あ り,初 期 ひ ず み 法 と 有 限. あ っ た の で,あ. ま り有 意 差 は な か. 算 条 件 を 合 わ せ る とCPUTimeの. 差. .'1ノ. ▼噸1-'り,一. 一1π. 一. 析 を 行 っ た.図8(a),(b)に. 要 素 分 割 と補 間 の た め. の 内 点 を 示 す.要. 点 数660で. た.図9は,塑. 素 数856,内. 性 の 拡 が り を 示 す.. ー セ ン ト以 内 で あ っ た.. 次 に,図4に. 示 す 切 り欠 き を 有 す る 長 方 形 板 の 問 題. を 解 析 し た(8).た. だ し,縦 弾 性 係 数E-70GPa,ボ. ソ ン 比FO,2と. し,降. た.板. の 厚 さ を6mmと. ア. 伏 応 力 を γ=243MPaと し,対 称 性 よ り4分. し の1の. 領. 域 で 解 析 を 行 っ た.図5(a),(b)に. 要 素 分 割 と補 間. の た め の 内 点 を 示 す.要. 点 数715で. を 行 っ た.図6は,塑 次 に,図7に. 素 数856,内. 性 の 拡 が り を 示 す.. 示 す 円 孔 を有 す る 長 方 形 板 の 問 題 を解. 析 し た(9).た. だ し,縦 弾 性 係 数E=70GPa,ボ. 比FO.2と. し,降 伏 応 力 をy=243MPaと. の 厚 さ を6mmと. 計 算. し,対 称 性 よ り4分. ア ソ ン し た.板. の1の. 領域 で解 (a). Boundaryelements. (b)Internalpoints Fig.5Notchedtensilespecimen. R(mm) Fig.3Stressdistributioninhollow stressandstrainmethods). cylinder(initia1. Fig.6Plasticzoneobtainedforvariousvaluesof 2σ 。!σ。. Fig.4Notchedtensilespecimen. Fig.7Perforatedtensionstrip. 計 算 を行 っ.
(6) 三重相 反境 界要 素法 に よる三 次 元弾塑性 解析 の ため の初 期応 力定 式化. 1056. 反 境 界 要 素 法 に必 要 な初 期1心刀 疋 式 化 の た め の 局 次 量 本 解 を示 した.三 重 相 反 境 界 要 素 法 を用 い る こ とに よ り,内 部 セ ル を 用 い な い で 三 次 元 弾 塑 性 解 析 が 可 能 な こ とが わ か っ た.こ. れ に よ り,デ ー タ の 入 力 が 容 易 で. あ る境 界 要 素 法 の 利 点 が,維 持 で き る こ とが 示 さ れ た.ま た,内 部 応 力 の計 算 時 の 特 異 性 が 弱 い た め,計 算 が 容 易 に な った.有. 限 要 素 法 の 場 合,初 期 ひ ず み 法. よ り初 期 応 力 法 の ほ うが 一 般 的 に 良 い と さ れ て い る が,三 重 相 反 境 界 要 素 法 で は,高 次 基 本 解 が 少 し短 く な る だ けで,計 算 精 度 やCPUTimeは Boundaryelements. (a). ほ とん ど差 異. が な か っ た.. 献. 文. (1)Ochiai,Y.andKobayashi,T,,InitialStressFormula・ tionforElastoplasticAnalysisbyImprovedMultipleReciprocityBoundaryElementMethod,Eηg伽8ガ .4η α加 露. 厩 酌. ㎎. βoπ η磁 り1E16〃z8η. だ,Vol.23(1999),PP.. 167-173. (2)Ochiai,Y.andKobayashl,T.,InitialStrainFormulationwithoutInternalCellsforElastoplasticAnalysis ■,●. ●. ●. ●. ●. ●. ●. ●. ●. ●. byTriple-ReciprocityBEM,1η'θ Nz4ηz87ゴ6α1ル1θ がzoぬ. (b)Internalpoints. γηα蜘 ηα!ノo〃 脱 α1.ノbγ. ガ ηEη8カz8ε. 万η9,Vol.50(2001),PP.. 1877-1892.. Fig.8Boundaryelementinquarterregion. (3)Ochiai,Y.,Three-DimensionalElastoplasticAnalysis byTriple-ReciprocityBoundary-ElementMethod, Co〃z7η2〃2Jcα 〃oη 加. ハZz4〃z87ゴcα1ル1ε漉o爵. ガ 〃 」 ε㎎ 勿 召θη゜738,. Vol.23,No.8(2007),pp.721-732. (4)Telles,J.C.F.,ηzθB《,襯 '01麗. 伽 ηE16〃zθ. π'ル16'加4、4≠4)漉. ゴ. 伽'ゴ6、P70∂'6〃z8,(1983),Springer-Verlag,Berlin.. (5)Brebbia,C.A.,Telles,J.C.F.andWrobe1,L.C,, BOZ`η 磁 り2E1ε. 〃26η'7セ6乃. ガoηs'ηEη8ゴ. η66万 ηg,(1984),pp.252-266,Springer-. η幻 κ6S一 脳60リ. ノ α〃ゴ/1≠ ゾ)1ゴ ごα一. Verlag,Berlin. (6)Ochiai,Y.andSladek,V.,NumericalTreatmentof DomainIntegralswithoutInternalCellsinThree・DimensionalBIEMFormulations,Cル 〃ooセ 〃ηg初Eηg加 Fig.9Plasticzone. obtainedforvariousvaluesof. 歪那(Co吻. ε6ガ%g(昼S6忽. 醜7. η`6∫),Vol.6,No.6. (2004),pp.525-536. (7)Nakasone,Y.,Yoshimoto,S.andStolarski,T.A.,. 2σ 。/σ。. Eη8劾. εθ7,㎎Zlη. α砂∫露z〃 ゴ 漉. ノ1樽}駕S∂. 搾 ω α彫,(2007),. Butterworth-Heinemann. (8)Nayak,G.C.andZienkiewicz,0.C.,Z雇67η. 4.結. 言. /o鋸 γηα1ノ∂7ハ ん〃z6γ 此!α1ル16'ぬoゐ. α"o〃 α1 初Eηg'η667'ηg,VoL5. (1972),p.113.. 三 次 元 弾 塑 性 問題 を従 来 の 境 界 要 素 法 で解 析 す る に. (9)Zienkiewicz,0.C.andTayor,R.L.,7洗2F劾 〃zεη!ル16漉04,Vo1.2,4thed.,(1991),pp.244-250,. は内 部 セ ル が 必 要 で あ っ た.内 部 セ ル が 不 要 な 三 重 相. McGraw-Hl11,NewYork.. ゴ'θE16-.
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