博士（工学）矢久保考介 学位論文題名
パーコレーション・ネットワークにおけるフラクトン動力学
学位論文 内容の要旨
ラ ン ダ ム系 に 特 有 な 諸現 象を 統一的 に理 解する 上でフ ラクタ ルとい う概 念は極 めて重 要であ る 。フラ クタ ルとは ，自己 相似性 を有 する空 間的構 造や時 間発展 現象 等に適 用される総称的概念 で ある。 フラ クタル 構造を とる浸 透網 （パー コレー ション ・ネッ トワ ーク） は，アモルファス材 料 や絡み 合っ た高分 子鎖あ るいは 多孔 媒質な ど，ト ポロジ カルに 乱れ た構造 に対するもっとも基 本 的なモ デル である 。この ような 系の物性研究は，理学・工学の両面から高い関心を集めている。
中 では浸 透網 上の励 起状態 の研究 は， ランダ ム系の 動的性 質を理 解す る上で 極めて重要である。
本論文 は，浸 透網の 動力学 的性 質を数 値的に 研究し たも のであ る。特 に，フ ラクタル系固有の 局 在振動 モー ドであ るフラ ク卜ン の諸 特性を 並列処 理型ス ーパ― コン ピュー タを用いた大規模シ ミ ュレー ショ ンによ り明ら かにし た。 本論文 は全10章 で構 成され ，各章 の概要 は以下の通りであ る 。
第1章 は緒論 であ り，本 論文の 主題で ある フラク トン励 起に関 する研 究の 背景と 問題点 を概説 す る。
第2章 では ，本論 文で扱 われる 浸透網 の構 造的特 徴，特 にスケール不変性と臨界指数，およびそ の フ ラク タル 性を議 論する 。複雑 な浸透 網構 造を単 純化し た模型 であ るNodes―LinksーBlobsモ デ ルにっ いて もここ で言及 する。
第3章 は，ラ ンダ ム系の 動力学 の基礎 とな る浸透 網上の 拡散現 象およ びそ の理論 的取り 扱いに っ いて述 べて いる。 浸透網 におけ る拡 散現象 と他の 動力学 の間の 密接 な関係 を示した上で，浸透 網 上の拡 散現 象に対 するス ケーリ ング 理論を 展開し ている 。この スケ ーリン グ理論は，フラクト ン 励起に 対す るスケ ーリン グ理論 の基 礎を与 えるこ とにな る。
第4章 は，フ ラク 卜ン励 起に対 するス ケー リング 理論の 説明に 当てら れて いる。 フラク トン励 起 の 存在 を予 測する3っ の独立 な理論 を紹介 し，フ ラク トンの 状態密 度，分 散関 係など の基本 的 性 質に関 する スケー リング 理論の 予想 を示す 。
第5章 では， 本研 究で開 発され た数値 計算 アルゴIJズムを 詳解 してい る。強 制振動 法と呼 ばれ
る この方 法は ，従来 の行列 対角化 による 振動解析法とは異ナょり，強制振動を受けた系の時間発展 を 分子動 力学 的に追 跡する ことに より， 系の 状態密 度，固 有値， 固有 ベクト ルなど を求める方法 で あ る 。 こ の方 法 の 利 点 は，i） 必要な 計算機 メモ リーが 系の自 由度Nに比 例する （行 列対角 化 で はN2に比 例 ） た めN〜l05以 上の 大規模 な系 を扱う ことが できる ，11） 必要な 振動数 近く の固 有 値，固 有ベ クトル ，状態 密度だ けを求 める ことが できる ，逝） 固有 値，固 有ベク トルの精度が 定 量的に 評価 できる ，IV）並 列処 理型ス ーパー ・コン ピュ一 夕に 適して おり， その有効利用によ り 高速な 計算 が可能 である ，など である 。ま た，こ の強制 振動法 は， 電子系 やスピ ン系あるいは 半 導 体 光 導 波路 内 の モ ー ド解 析 など ，様 々な物 理系に 適用で きる ことも 本章で 明らか となる 。 第6章でtま， 第4章 で予 想され たフラ クトン 励起 の存在 が大規 模シミ ュレー ショ ンによ り直接 確 認され ，フ ラクト ン状態 密度の 振動数 存在 性が数 値的に 明らか にな る。ま ず，2次元，3次元，
い ず れ の 次 元の 場 合 に も スカ ラ 一 変 位 のフ ラ ク ト ン の 状態 密 度D（ り） は ，D（(） 〜り1/3と な り ， フ ラ ク タ ル 上 の動 的 性 質 を 特徴 付 け る フ ラ クト ン 次 元dが空 間 次 元 に よら ずd=4／3と な る こ と を実 証して いる。 また ，p>p。の浸 透網に 対する シミ ュレー ション から， りく くり。 で は 通常の フォ ノンが ，m冫冫り 。では フラク トンが 励起 される ことを明らかにしている。さらに，
従 来のス ケー リング 理論で 予測さ れたよ うな フォノ ン―フ ラクト ン・ クロス オーバ ーにおける状 態 密 度 のhumpは ，2次 元 お よ び3次 元 のい ず れ の 浸 透網 に お い て も存 在 し な い こ とを 発 見 し て いる。 本章 では， 変位を べクト ルとし たフ ラクト ンの状 態密度 の数 値計算 も行っ ている。系に 働 く復元 カは ボンド の伸縮 カだけ でなく ，ボ ンド間 の結合 角に対 する ものも 合めた 。この計算に よ り ， 臨 界濃 度の浸 透網に は2種類の フラ クトン ．モー ドが励 起さ れるこ とが明 らかに なった 。 一 っはフ ラク 卜ン次 元d″二二O． 79のフラク卜ン（ベクトル・フラクトン）であり，もうーっはフ ラ ク ト ン 次 元が ス カ ラ ー 変位 の も の と 同じdヨ=4／3の 値 を と るフ ラ ク ト ン （ス カラ一 ・フラ ク トン） であ る。本 章の後 半は， 数値計 算に よって 求めら れたフ ラク トンの モード ・パ夕―ンの 記 述に当 てら れてい る。特 に，臨 界濃度 における大規模ナょ浸透網上に単一のフラクトンを励起さ せ ること によ って， フラク トンが 空間的 に強 く閉じ 込めら れた局 在振 動励起 である ことを直接的 に 検証し てい る。こ の計算 結果か ら，局 在モ ードの モード ・パタ ーン は極め て異方 的であり，そ の パター ンに は次の ような 特徴が あるこ とを 見いだ してい る。i）フラクトンの局在モードには，
コ アと呼 ばれ る全モ ード中 最大の 振幅を もつ 領域が 存在す る，11）コア は浸透 網全体に対し弱く 結 合した 半島 状の部 分から なって る，逝 ）コ アの振 動は弱 連結部 分を 通して コア以 外の部分へ減 衰 しなが ら異 方的に 伝播し ており ，その 他の 方向に 対して はコア ・工 ッヂの 部分で ステップ関数 的 に 振 幅 ゼ 口 と な る ，1V） コ ア 内 の 原 子 は す べ て 同 位 相 で 振 動 し て い る 。
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第7章で はフ ォ ノン ーフ ラ クト ンの ク 口ス オー バ ―に おける状態密 度の振舞いが，本 研究の計 算結 果と 従 来の 理論 予 想と で食 い 違っている理由 にっいて議論する。 まず，振動状態密 度の絶対 値の 浸透 濃 度依 存性 が 数値 計算 に より詳しく調べ られ，次にこの濃度 依存性を説明する 新しいス ケーリング理論 が展開される。
第8章で は， 平 均化 され た フラ クトン波 動関数の性質が数 値的に調べられる 。具体的には，l02 個程 度の 同 一振 動数 を 持つ フラ ク トンが浸透網上 に作られ，これを数 値的に平均するこ とにより その関数形を求 めている。平均波動 関数〈￠′，＞は<￠′ア冫〜exp〔ー（r／A） ゛〕の形で減衰 し，局在の強さ を示す指数d゛の値はd≠二二2．3となることが示される。この値は既存のあらゆる理 論の予想値より も大きく，フラクト ンが極めて強く局 在していることを 物言吾っている。この章で は ， 局 在 指 数 が こ の よ う に 大 き な 値 を 取 る 理 由 に っ い て も 議 論 し て い る 。 第9章でtま， フラ ク トン によ る 動的構造因子の 理論と数値計算の結 果が述べられてい る。動的 構造 因子 は 非弾 性散 乱 実験 で直 接 得られる量とし て重要であるばかり でなく，フラクト ンと他の 素励 起と の 散乱 理論 の 基礎 を与 え るものとして注 目される。従来まで はフラクトンの散 乱現象は フラ クト ン の平 均波 動 関数 を用 い て記 述さ れ てい たが ，第6章で得ら れたフラクトンの モード・
パタ ーン が 強い 異方 性 を持 って い ることから，こ のような取扱は正確 でないと考えられ る。本章 で は2次 元 浸 透 網 上 の ス カ ラ ー 変 位 の フ ラ ク ト ン に よ る 動的 構造 因 子S（q，u）のq―依 存 性 を 数 値 的 に 解 明 し て い る 。 特に ，S（q，り ） はq‑ qmaに ピー クを 持 つ関 数で あ り，qMロ ェ の 振動 数依 存 性は ，ス ケ ーリ ング 理 論による分散関 数q max〜 り0.705と よく一致している ことを示 して いる 。 また ，qm エで りス ケ ール され たS（q，甜 ） はり によ ら ず一 本の ユニバー サルな曲 線に 乗る こ と， この ユ ニバ ーサ ル ナょ曲線は，qくくqmロェ およびq>冫qm ， の領域でそれぞれq に 対 し べ キ 的 に 変 化 し て お り ，qく くqm エ で はS（q，U） 〜q゜7，q>>qmロ ェ で はS（q u） 〜q―2 の よ うなq―依 存性 を 示す こと も 明ら かと な る。 最後 に ，動 的構 造因子の このよう ナ よ 振 舞 い は ， 平 均 波 動 関 数 を 用 い た 議 論 で は 説 明 さ れ な い こ と を 指 摘 し て い る 。 第10章 は 結言 であ る 。フ ラク ト ン励起に関して 本研究で得られた知 見，開発された数 値計算法 をまとめるとと もに，今後の課題に っいて述べている 。
学 位 論文審査の要 旨 主 査 教授 中山恒義 副 査 教授 堤 耀広 副査 教授 佐久間哲郎
ラ ン ダ ム系 に 特 有 な 諸現 象 を 統 一 的に 理解す る上で フラ クタル という 概念は 極めて 重要 であ る 。フ ラクタ ル構造 をとる 浸透 網（パ ーコレ ーショ ン・ネ ット ワーク ）はア モルフ ァス 材料や絡 み 合っ た高分 子鎖あ るいは 多孔 媒質ナ ょど， トポ口ジカルに乱れた構造に対するもっとも基本的な モ デル である 。この ような 系の 物性研 究は， 理学・ 工学の 両面 から高 い関心 を集め てい る。中で も 浸 透 網 上 の 励起 状 態 の 研 究は ， ラ ン ダ ム系 の 動 的 性 質を 理 解 す る 上 で極 め て 重 要であ る。
本論文 は，浸 透網の 動力 学的性 質を数 値的に 研究 したも のであ る。特 に，フ ラク タル系固有の 局 在 振 動 励 起 であ る フ ラ ク トン の 諸 特 性を並 列処理 型スー パーコ ンピ ュ一夕 を用い た大規 模シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に よ り 明 ら か に し た も の で ， 全 体 は10章 で 構 成 さ れ て い る 。 第1章は緒 論であ り，本 論文の 主題 である フラク トン励 起に 関する 研究の背景と問題点の概説，
お よび 論文の 構成に っいて 述べ ている 。
第2章では ，本論 文で扱 われる 浸透 網の構 造的特 徴，特 にス ケール 不変性と臨界指数，およびそ の フ ラ ク タ ル 性を 議論す る。 複雑な 浸透網 構造を 単純化 した 模型で あるNodes一Links一Blobsモ デ ルに って述 べてい る。
第3章 は， ラ ン ダム系 の動力 学の 基礎と なる浸 透網上 の拡 散現象 および その理 論的取 り扱 いに っ いて 述べて いる。 浸透網 にお ける拡 散現象 と他の 動力学 の間 の密接 な関係 を示し た上 で，浸透 網 上の 拡散現 象に対 するス ケー リング 理論を 展開し ている 。こ のスケ ーリン グ理論 は， フラクト ン 励起 に対す るスケ ーリン グ理 論の基 礎を与 えるこ とにな る。
第4章 は， フ ラ クトン 励起に 対す るスケ ーリン グ理論 の説 明に当 てられ ている 。フラ クト ン励 起 の 存 在 を 予 測す る3っの独 立な理 論を 紹介し ，フラ クトン の状態 密度 ，分散 関係な どの基 本的 性 質に 関する スケー リング 理論 の予想 を示す 。
第5章 では ， 本 研究で 開発さ れた 数値計 算アル ゴリズ ムを 詳解し ている 。強制 振動法 と呼 ばれ る この 方法は ，従来 の行列 対角 化によ る振動 解析法 とは異 なり ，強制 振動を 受けた 系の 時間発展 を 分子 動力学 的に追 跡する こと により ，系の 状態密 度，固 有値 ，固有 ベクト ルなど を求 める方法 で あ る 。 こ の 方法 の 利 点 は ，i） 必 要 な計算 機メ モリ― が系の 自由度Nに 比例す る（行 列対 角化
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で はN2に 比例 ）の た めN〜l05以 上の 大規 模 な系 を扱 う こと がで き る，ii)必 要な 振 動数 近く の 固有 値 ，固 有ベ ク トル ，状 態 密度だけを求め ることができる，逝 ）固有値，固有ベ クトルの精度 が定 量 的に 評価 で きる ，iv)並列 処 理型 スー パ ー・ コンピュ一夕 に適しており，そ の有効利用に より 高 速な 計算 が 可能 であ る ，などである。 また，この強制振動 法は，電子系やス ピン系あるい は半 導 体光 導波 路 内の モー ド 解析など，様々 な物理系に適用でき ることも本章で明 らかとなる。
第6章で は ，第4章で 予想 さ れた フラ ク トン 励起 の 存在 が大 規 模シ ミュ レーショ ンにより直接 確認 さ れ， フラ ク トン 状態 密 度の振動数依存 性が数値的に明らか になる。まず，2次元，3次元，
い ず れ の 次 元 の 場 合 に も スカ ラ一 変 位の フラ ク トン の状 態 密度D（り ）は ，D（u）〜 り1/3と な り ， フ ラ ク タ ル 上 の 動 的 性 質 を 特 徴 付 け る フ ラ ク トン 次元aが空 間 次元 によ ら ずd=4／3と なる こ とを 実証 し てい る。 本 章では，変位を べクトルとしたフラ クトンの状態密度 の数値計算も 行っ て いる 。系 に 働く 復元 カ はボンドの伸縮 カだけでなく，ボン ド間の結合角に対 するものも含 めた 。 この 計算 に より ，臨 界 濃度 の浸 透 網に は2種 類のフラクト ン・モードが励起 されることが 明らかになっ た。
第7章で は フォ ノン ― フラ クト ン のク ロス オ ーバ ーにおける状 態密度の振舞いが ，本研究の計 算結 果 と従 来の 理 論と で食 い 違っていること を指摘し，理論的予 想の間違いの理由 にっいて議論 する 。 まず ，振 動 状態 密度 の 絶対値の浸透濃 度依存性が数値計算 により詳しく調べ られ，次にこ の濃度依存性 を説明する新しい スケーリング理論 が展開される。
第8章 では ， 平均 化さ れ たフ ラク ト ン波 動関 数 の性 質が 数 値的 に調 べ られ る。 具 体的 には ， 102個 程度 の 同一 振動 数 を持 つフ ラ クト ンが 浸 透網 上に作られ， これを数値的に平 均することに よりその関数 形を求めている。 平均波動関数〈￠′ア〉は，〈￠′ア>〜exp〔―（r／A）゜゛〕の形 で減 衰 し， 局在 の 強さ を示 す 指数d≠ の値はd゛ー2．3となること が示される。この 値は既存のあ らゆ る 理論 の予 想 値よ りも 大 きく，フラクト ンが極めて強く局在 していることを物 語っている。
こ の 章 で は ， 局 在 指 数 が こ の よ う に 大 き な 値 を 取 る 理 由 に っ い て も 議 論 し て い る 。 第9章で は ，フ ラク ト ンに よる 動 的構 造因 子 の理 論と数値計算 の結果が述べられ ている。動的 構造 因 子は 非弾 性 散乱 実験 で 直接得られる量 として重要であるば かりでなく，フラ クトンと他の 素励 起 との 散乱 理 論の 基礎 を 与え るも の とし て注 目さ れる。本章では2次元浸透網 上のスカラ一 変位 の フラ クト ン によ る動 的 構造 因子S（q り） のqー依存性を 数値的に解明して いる。特に，
S（q， り） はq‑qm イ にピ ー クを 持つ 関 数で あり ，qm イの 振 動数 依存 性は，ス ケーリング理 論に よ る分 散関 係qmロ N (0．705とよ く一 致 して いることを示 している。また，qm々，でりス ケ ー ル さ れ たS (q， 甜 ） は甜 によ ら ずー っの ュ ニバ ーサ ル な曲 線に 乗 るこ と， こ のュ ニバ 一
サ ル な 曲線は ，qくくqm エおよ びq>>qm ， の領域 でそ れぞれqに 対しべ キ的に 変化し ており ， qく くqM4， で はS（q り ） 〜q27，q冫 冫qnzaxで はS（q り ） 〜q・27の よ う なq― 依 存 性を 示すこ とも 明らか となる 。最後 に， 動的構 造因子 のこの ような 振舞 いは， 平均波動関数を用 いた 議論で は説 明され ないこ とを指 摘し ている 。
第10章は結 言であ る。 フラク トン励 起に関 して本 研究 で得ら れた知 見，開 発された数値計算法 をま とめる とと もに， 今後の 課題に っい て述べ ている 。
以 上，本 論文は ，並列 処理型 スー パーコンピュ一夕を駆使した大規模シミュレーションにより，
トポ ロジカ ルに 乱れた 構造に 対する 基本 的モデ ルであ るパー コレー ショ ン・ネ ッ卜ワークの動的 性質 の諸特 性を ，系統 的かっ 詳細に 研究 し，重 要な多 くの新 知見を 得， 応用物 理学に貢献すると ころ 大なる もの がある 。よっ て著者 は博 士（工 学）の 学位を 授与さ れる 資格あ るものと認める。
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