博士論文概要

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博士論文概要

論文題目

非線形反応拡散方程式におけるヘテロクリニック乱流の解析

Analysis of Heteroclinic Turbulence in Nonlinear Reaction Diffusion Equation

申請者

渡橋憲司

Kenji Orihashi

物理学及応用物理学専攻

２０１０年２月

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Ｎｏ.₁

乱流とは時間・空間的な乱れが持続する現象を指し、組織だった乱流研究としては１８８３年にＲｅｙｎｏｌｄｓの行った、円管を内臓した水槽を用いた流れの観測実験を発端とする。その後、コンピューターの誕生・発達に伴い、１９７０年代からナヴィエ・ストークス方程式のシミュレーションを用いた乱流研究が目覚ましい発展を遂げた。流体乱流の解析とともに、シュミレーションを用いて、

流体以外の系を記述する様々な非線形偏微分方程式にも乱流が存在することが明らかになり、乱流研究の対象は広がっている。

シミュレーションにより得られた乱流解に対する解析では、主に統計手法が行われてきた。具体的にはスペクトル解析や相関解析が挙げられる。Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖの、等方性乱流の空間スペクトルの５／３乗則を導く現象論的解析に始まり、スペクトルが数値計算により具体的に求められるようになると、様々な方程式の乱流解について調べられた。一方、レイノルズ数の研究の流れから、系の特性長・特性時間についても研究がなされ、またカオス理論の発展に伴い乱流のフラクタル性やリャプノフ指数についての数値的研究も有力な手法となっている。

そうした統計解析の発展研究のひとつに、統計力学と臨界現象の概念を用いた解析がある。臨界現象の理論を乱流のフィールドに適用し、系の特性量として相関長・時間やリャプノフ指数を選び、それらについて様々なパラメータ依存性を調べ、乱流の普遍性についての知見を得ようとする試みがＨｏｈｅｎｂｅｒｇ等によりなされ、乱流の理解を大きく進展させた。

反応拡散方程式の乱流解の発生点付近の振る舞いについての有効な理論的解析として、位相縮約法が挙げられる。反応拡散方程式の解の分岐点近傍での縮約方程式を用いて乱れの発生時に関する理論的な知見を得ることが可能となったが、

乱流の大域的構造については今なお未解明の部分が多い。

最近見つかった乱流の新たな発生機構として、生態系（ロトカ・ヴォルテラ系

）や遺伝子発現系（レプリケータ系）に典型的にみられる、ヘテロクリニックサイクルによる乱流現象がある。ヘテロクリニックサイクルとは、複数の不安定な鞍部点とそれらをつないだ軌道のことで、そのサイクル付近の解は、サイクル自身ににたどり着かずに巡回しつづけ、その鞍部点付近の滞在時間は指数関数的に長くなる特徴を持つ。ヘテロクリニックサイクル近傍の解が拡散項の効果により乱流化することが２００３年にペトロヴスキーによって明らかにされたが（この現象をヘテロクリニック乱流と名付ける）、その乱流解の振る舞いについては、ほとんど明らかになっていない。

本研究の目的は、ヘテロクリニック乱流という未知な乱流現象に対し、具体的な反応拡散方程式の乱流解のシミュレーションを行い、その発生メカニズム・特性を明らかにすることである。

１章では、本研究で扱う対象・用いる手法についての概説を行う。まず、シミュレーションを中心にこれまでの偏微分方程式の乱流研究のまとめを、今回扱う

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タイプの乱流に限らずに行う。ナヴィエ・ストークス方程式や複素ギンズブルグ

・ランダウ（ｃＧＬ）方程式、それ以外にこれまで研究されてきた様々な方程式について、乱流発生メカニズムを中心に説明する。次にシュミレーションにより得られた乱流解に対する、空間スペクトル・相関長・相関時間・リャプノフ指数などの数値解析結果を中心にまとめ、また位相縮約法についても説明を行う。さらに、本研究の中心のテーマであるヘテロクリニックサイクル、実際に扱うレプリケータ力学系・ロトカヴォルテラ力学系について概説を行い、最後に本研究の目的を述べる。

２章では、ヘテロクリニック乱流を実際にシミュレーションし、乱流の性質を明らかにする。具体的には空間１次元３種の拡散レプリケータ方程式を周期境界条件で扱う。最初に、パラメータ空間での相図を求める。その結果、乱流が空間一様解のスーパークリティカルホップ分岐とともに現れることがわかった。第２に、乱流発生点付近の統計的性質を詳細に調べる。空間スペクトル・時間スペクトルを計算し、空間スペクトルについては指数減衰し、時間スペクトルについては低周波数でフラット、高周波数で−２乗のべき、そして中間領域でピークを持つことを示す。また、統計量として相関長、相関時間、第１リアプノフ指数、そしてリアプノフ次元について乱流の発生点付近で詳細に調べ、それぞれの統計量が分岐点近傍でクリアーなスケーリング則を持つことを示し、その臨界指数を求める。さらに乱流解の発生点付近で縮約方程式としてｃＧＬ方程式を導出することによりノーマルフォームを特定し、そのｃＧＬ方程式と拡散レプリケータ方程式の対応関係を調べる。その結果、拡散レプリケータ方程式の乱流解の統計則が特徴的なスケーリング則を持つのは、ホップ分岐の影響を強く受けた為である事と、その指数は理論値からはわずかなずれを持ち、乱流の発生点ごく近傍でも純粋なホップ分岐の描像からずれが生じる事がわかった。

３章では、２章と異なる系についてヘテロクリニック乱流を調べ、両者の比較により、ヘテロクリニック乱流の性質を明らかにする。具体的には競争拡散ロトカ・ヴォルテラ方程式（メイ・レオナルドタイプ）の周期境界条件下での計算結果を述べる。最初に、分岐パラメータとして、２章では１つのみを設定していたが、３章では系の持つ２つのパラメータとシステムサイズの計３つに拡張し、非常に広いパラメータ空間での系のアトラクターの相図を求め、この乱流の発生構造を詳細に調べる。そこではいくつかのアトラクター間の分岐線が線形安定性解析と一致するように明確に得られる。また、乱流はどのパラメータ領域でも２章と同様にスーパークリティカルホップ分岐とともに現れるが、パラメータを乱流の発生領域から強い乱流の現れる領域まで変えていくと、前章とは異なり、乱流以外にトラヴェリングウェーブや空間一様なヘテロクリニック解が発生するマルチベイシン構造が現れることがわかった。またその際の転移境界は非常にいりくんだ形になっている。他のパラメータとしてシステムサイズを減らしていくと、

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Ｎｏ.₃

乱流解の発生領域は小さくなり、最後には乱流が発生しなくなる。その過程で、

上記のマルチベイシン構造のいりくんだ転移境界が、非常に複雑に遷移することも示す。次に、乱流の統計的性質を詳細に調べる。まずは２章で扱った統計量について、２つのパラメータとシステムサイズ、計３つのパラメータ変化に対する振る舞いを詳細に調べる。その結果、ロトカ・ヴォルテラ系では２章とは異なり、

臨界スケーリング則は発生点近くで観測されるが、あるパラメータでは発生点ごく近傍でもスケーリング則が破れる領域が現れることがわかった。ただし、その場合も発生点から少し離すと、スケーリング則が観測された。それらについて臨界指数を求め、その結果、ロトカ・ヴォルテラ系でも理想的なホップ分岐からは発生点付近でもわずかなずれを持つことと、統計量の間にはいくつかの関係式が観測される事がわかった。その後位相縮約法を用いて乱流のノーマルフォームを導出する。最後に、ホップ分岐から離れた、ヘテロクリニックサイクルの影響を強く受ける領域の乱流について、統計を詳細に調べる。それによりヘテロクリニック乱流特有の統計性質についてもまとめる。

４章では、空間２次元のヘテロクリニックサイクルによる乱流パターンの振る舞いを明らかにする。空間２次元の３変数競争ロトカ・ヴォルテラ反応拡散方程式を周期境界条件で扱う。最初に相図を作成する。結果、乱流解は１次元同様発生し、１次元で発生したトラヴェリングウェーブは２次元では回転らせん波として観測されることがわかった。これらの解の多彩な振る舞いをスナップショットで示す。次に、乱流解の統計解析として、スペクトル、統計量共に２・３章と同様の解析を行う。それにより、１次元と２次元のヘテロクリニック乱流の発生点付近での振る舞いの類似点・相違点を調べる。最後に、境界にノイマン条件を用い、回転らせん波と標的パターンを乱流発生点付近と乱流の充分発達した領域で作為的に発生させ、それぞれの解の安定性を調べる。その結果から空間２次元のヘテロクリニック乱流の発生点から離れた領域での特徴についてまとめる。

５章では結論と議論、今後の展望について述べる。ヘテロクリニック乱流はスーパークリティカルホップ分岐と共に発生する。発生点近傍ではホップ分岐の性質を色濃く持つ乱流が現れ、統計量についてスケーリング則を持つ。しかし純粋なホップ分岐の性質からは、わずかなずれを持つ。また、発生点付近でのホップ分岐の特徴と異なる他の点（スケーリング則の破れ・ノーマルフォームの特異性

）や、ホップ分岐から大きく離れた領域での乱流の振る舞い、２次元乱流での統計解析やらせん波・標的パターンの解析について、ヘテロクリニック乱流固有の性質を見据えながら議論する。さらに、研究結果からヘテロクリニック乱流が実際の生態系に及ぼす効果に関して、予想を含めて議論する。最後に今後の展望を述べる。

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早稲田大学博士（理学）学位申請研究業績書

氏名渡橋憲司印

（２０１０年２月現在）

種類別題名、発表・発行掲載誌名、発表・発行年月、連名者（申請者含む）

論文

国際会議

[1]K. Orihashi and Y. Aizawa, “Lyapunov Exponents of the Turbulent Replicator Dynamics”、

Journal of Physics: Conference Series 31, pp. 181-182 (2006)

[2]K. Orihashi and Y. Aizawa, “Heteroclinic Turbulence in the Lotka-Volterra Reaction Diffusion Equation”, Journal of the Korean Physical Society 50 No. 1, pp. 267-271 (2007)

[3]K. Orihashi and Y. Aizawa, “Lyapunov Spectra in Diffusion Replicator Equation”, in press by American Institute of Physics, pp. 158-161 (2008)

[4]K. Orihashi and Y. Aizawa, “Turbulence in Diffusion Replicator Equation”, Physica D 237, No23, pp. 3053-3060 (2008)

[5]K. Orihashi and Y. Aizawa, “Global Aspects and Heteroclinic Turbulence in Competitive Diffusion Lotka-Volterra Equation”, Submitted in Physica D (2009).

[1]K. Orihashi and Yoji Aizawa,” The scaling law and Lyapunov exponents of the replicator turbulence”, 第3回COE自己組織系物理シンポジウム, Tokyo in Japan (2005)

[2]K. Orihashi and Y. Aizawa, “Scaling Law and Lyapunov Exponents of Turbulent Replicator Dynamics with Diffusion”, Dynamics Days, Maryland in USA (2006)

[3]K. Orihashi and Y. Aizawa, “Spatio-Temporal Chaos of three variable competitive Lotka-Volterra reaction diffusion equation”, 第3回COE国際シンポジウム, Tokyo in Japan (2006)

[4]K. Orihashi and Y. Aizawa, “Spatio-Temporal Chaos of three variable competitive Lotka-Volterra reaction diffusion equation”, Dynamics Days Asian Pacific, Pohan in Korea (2006)

[5]K. Orihashi and Y. Aizawa, “Heteroclinic Turbulence in the Lotka-Volterra Reaction Diffusion Equation”, Asian Winter School in SOKENDAI, Gifu in Japan (2007)

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Ｎｏ.2

早稲田大学博士（理学）学位申請研究業績書

講演

[6]K. Orihashi and Y. Aizawa, “Toward the ergodic probrem in nonequilibrium stationary system –statistical anarysis of Fermi-Pasta-Ulum βmodel”, 第4回COE国際シンポジウム, Tokyo in Japan (2007)

[7]K. Orihashi and Y. Aizawa, “Turbulence in Diffusion Replicator Equation”, LET’S FACE CHAOS THROUGH NONLINEAR DYNAMICS, Maribor in Slovenia (2008)

[8]K. Orihashi and Y. Aizawa, “Statistical property of diffusion Lotka-Volterra equation”, Dynamics Days Asia Pacific 5, Nara in Japan (2008)

[9]K. Orihashi and Y. Aizawa, “Statistical Analysis of Heteroclinic Turbulence in Diffusion Lotka-Volterra Equation, Dynamics Days Europe 2009, Gottingen in Germany (2009).

[1]渡橋憲司，相澤洋二， “拡散を伴うレプリケータ方程式における乱流的振る舞い”, 日

本物理学会2004年秋季大会, 青森県青森大学 (2004)

[2]渡橋憲司，相澤洋二， “拡散を伴うレプリケータ方程式における乱流的振る舞い”, 第

2回21世紀ＣＯＥ自己組織系物理シンポジウム”, 早稲田大学 (2004)

[3]渡橋憲司，相澤洋二， “3 種の競争 Lotka-Volterra 型反応拡散方程式に現れる時

空カオスについて”, 日本物理学会2006年春季大会, 愛媛大学 (2006)

[4]渡橋憲司，相澤洋二， “開放系のエルゴード問題に向けて-Fermi-Pasta-Ulumβ

モデルの統計解析-”, 日本物理学会2007年秋季大会, 北海道大学 (2007)

[5]渡橋憲司，相澤洋二， ”競争ロトカヴォルテラ拡散反応方程式の乱流解の統計的解

析”，日本物理学会2008年春季大会，近畿大学 (2008)

[6]渡橋憲司，相澤洋二， “拡散ロトカヴォルテラ方程式の乱流解の統計解析”, 第 18

回日本数理生物学会，同志社大学 (2008)

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博 士 論 文 概 要