吉開利秋 (昭和44年9月30日受理)

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ある解析関数の単葉半径について

吉開利秋

(昭和44年9月30日受理)

On the radius of univalence of certain analytic functions

I 緒論

T. H. MacGregorのpaperを参考にして,最近J. S. Rattiが試みた定理(即ち

Toshiaki YOSHIKAI

Abstract

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･(*)がRel聖I

吉日B利秋

0 for極1,又(4)を満足する場合, I(才)の単葉Ⅱ星型半径 を決定する)の一般化を試みた｡

Ⅱ定理と証明

定理を証明する前に,証明に必要な予備定理を示しておく｡

〔予備定理1〕 〔5〕

fc(*)‑1+Cn君n+.一一はanalytic且Re fc(*)>O for届く1ならば,

r/flBflgq固

*(*)

2niz!n 1 1‑;Z:2n

〔予備定理2〕 〔5〕

<f>(z)はanalytic且座(a)】≦1 for 】z <1ならば,

￠′(*)堊 ≦

1‑ T￠(*)!

1‑】zI2

〔定理1〕

f(z)‑Z+3‑n+i君nTl+...‑ [z)‑z+hnナ121+1+‑は共にanalytic JJ.

Re聖う>o

もし, Re

〈

/(*) g{z)

)

forjzであるとするc 0 forlzならば,

/(*)は((4ti2+1)工2a)"‑で単葉且星型である｡

1

証明)

g(z)

Rr

/ICI

sO)

‑p(君)とおけばRepO)>O forjz:<1.

‑ Kz)とおけばReh(z)>Ofor￨z:<1.

X,

/(*)‑*(君)ォg(*)‑*p(*>A(*)であるから,

*/'(旦)

/(*) ･十霊^‑^‑! _pO)

〔予備定理1〕より,

zh′(君)

Kz) 故に,

Re ̲旦(*)

/(*)

≦若宮㌫ォ.p/O) p(*)‑;≦2aIz¥n zjn

‑1+Re h(z) +Re霊｢≧‑昔震

1‑4n庸一n‑ ar'2n

‑,Z‑n

(1)

(2)

ある解析関数の単葉半径について 即ち,

2i2n+叶*:n‑1<QであればRe **‑&‑となるo

1

之((4n*+1) ‑2nr

mm

/(*)は(2)で,単葉且星型である｡

いま,

ar(1‑*n)2 ̲′〜､ 2(1‑ォn) f(之)ニー‑z^k‑,ォ(*)‑

(1+之n)J ＼〜ノ1+2n

とおけば,

即ち,

I(之)は定理の条件を満足して居る｡

又,

f′(rnei(ir)j‑O,rn‑((4n2+1)‑12二2n)"であるから, 1

/(*)は;之r,rで単葉でない｡

即ち定理の結果をこれ以上改良することは出来ない｡

〔定理2〕

/(*)‑*+an‑*i君nil‑)‑.‑‑一g(z)‑z+bn>iznil+‑‑‑‑Iは共にanalytic且

Mォ?‑}

与for zであるとする｡

7

もしRe ㌻ >ofor]z¥<1ならば,

/(*)･はj之i <r｡で単葉且星型であるO

但し, roは(3n‑1)rn+(2n+1)r2*‑(n‑1)r3n‑i‑Qを満足する(0, 1)の問の根 とする｡

証明) 仮定より,

･サ(*)‑霊｢‑1+Cn2"+蝣‑･.‑･,はanalytic且Re /*O)>O for之<1.

故に〔補助定理1〕より,

rl一重生し,f ≦ 12T芸2nh(z)

又,

8

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

g′(*)‑ ‑ ＼̀

吉開利秋

p(*)=適竺^‑=1+bn+l*n+'‑蝣‑1+dnsrn+,‑･･‑･･,とすれば,

I

p(*)はanalyticfor¥z <1且Rep(2)>｣ for￨2 <1で, 又p(o)‑1となる｡

q(z)‑2p(2)‑1‑1+2dn*n+蝣‑･･‑･,とすれば, Reg(2)>Ofor z¥< 1.

･(*)‑一夫霊トとおけば,

*(*)はanalytic且*(*)￨ < 1 for ar￨ < 1.そして又, *(o)‑0.

故に,

k(z)‑zn￠(I)とすれば, ￠(3)はanalytic且】0(2)I ≦1 for !z 以上より,

A"‑! ∴ ̲

(2)より,

〜′′〜､ 1 ‑(n‑1)2"0(2)‑2‑nり4･′(I)

(1+*nO(s))2

!g'(2)

*(*)

又,

zf'iz)

/(*｢

(1はり,

Re zh三;)

1二二(n‑1)サn￠O)‑zn :i￠′(I)

‑ ‑ 1+*nO(2)

鷲('三;)トー君g′(I)^g(z)

‑2n¥z

≧ ‑1二2i2n

(5)に, (4),を用ひて,

Re雪宗L)≧ Re( ]｢(n二1)*nO(aO‑君nilr ′(I)

1 +5TnO(サ

2n:2;n

‑Re{ !‑!坦吐』ニ壇等葦結豊吉㌫塑空0(*) ‑2O!竺n <K*)

右辺がpositiveであれば, Re 即ち

(7) Re

〈

〈一一雪O.

2柚n(1 ‑zn<f>(z)ド(:af￨2n+4a耳n ‑1 +(1

(1‑22n)(1 +*n<K*))Z¥2n)znト1￠ ′ *)+ n二1)(1ニ阜里n)宕n 0(*)

(7)を変形してゆけば,

Re 〔{2a ｣￨n(1‑z*￠(サ)ド(:2r￨2n+4njzp‑1+C1‑ Z;2n)snil^ ′(*)+(n‑1)

ある解析関数の単莫半径について

⁹

(8)

(9)

M

(ll)

(1‑回2h)*n<K才))}・{(!+*サ*(*))}〕> 0 21E3】n(1‑ !ar￨2nO(ar)2)‑Rt〔{i^￨2n+4n可n‑1+(1‑回2n)^n lO′(才)

+(n‑1)(1 ‑才2n),sn￠(*)}{(!+前面)}〕>o

Re〔いざ2n+4.n甘n ‑1+(1‑才2n )zn一坤′(才)+(n‑0(1之(2n)2n￠(*)}

{(1 +面前市)の

<2n回n(1‑l之jn;￠(*)i)(1+￨*￨n】￠(*)!) (8)の右辺に〔補助定理2〕を用ひて,

≦(,招n+4n¥zト1+(ト!岬) *n+l‑二l趣)i

1‑[Z￨2

+(n‑1)(1‑Ezi2n)回n座(*) )・(1才畑卓(*)l) (8), (9)より,次の不等式が成立すれば,

^{Brf′ (君)}

/(*)

) >0となる｡

(^[2n+4nIs‑￨n‑1)(1‑ar￨2)+(1‑!ォ!2n)才ml 詛*<1‑jめL(之)P)

+(n‑1)(1‑￨*￨2n)(1‑￨ar￨2)!ar￨n￨‑^(ar)￨<2a￨‑ar￨サ(1‑才;2)(1‑i0(才)1) こゝで,

宕‑r(Q<r<1)言￠(*)!‑x(o≦x≦1)とおけば,

r2n(1‑r2)+4Mサ(1‑r雪)+r2+押十1‑r3m→l‑2nm(1‑r2) +rn(1‑r2)((n‑0(1‑r2n)+2arn)x‑(1‑r2n)rn寸Xx2<1 (10)の左辺をE(x)とすれば,E′(x)‑Oにする点ⅩOは,

Ⅹo=

xo>1なる故

(10)が成立するためには, E(1)<1 即ち, do:はり,

(1‑r2)(r2n+4nrn ‑1+(n‑1)rn (1 ‑r2n)‑2nrn (1‑rn ))<o 簡単にして,

(3n‑1)rn +(2n+1)r2n‑(n‑1)r3n‑i<o (ll)の左辺をQ(r)とすれば. Q(r)‑Oとする根は,

Q(o)<O, Q(1)>O, Q′(r)>oなる故, (0, 1)の問に1つ存在する｡

いま,其の根をroとしよう｡

そのとき言zi<roで, E(1)<1となり,

Re〈葦㌻) > oとなる｡

z(1‑zn)

(1+zn)2 ^g(z)‑ 1+zn

とすれば,

10 闇贋i^n^H

g(z), f(z)は,定理の条件を溝足し, 又f′(ro)‑oとなることが分る｡

即ち,

f(z)はz¥ <r, r>roなる円内で単葉ではない｡

故に定理の結果はsharpである｡

文献

1. M. S. RoBeRTSON, On the theory of univalent functions, Ann. of Math, vol, 37, No.

2 (1936), pp. 374‑408.

2. Strohh五CKer, E, Beitr蕗ge zur theorie der schlichten funktionen, Math. Z. vol, 37>

(1933), pp. 356‑380.

3. T. H. MacGrcgor, the radius of univalence of certain analytic functions, Proc. Am.

Math. Soc. vol 14, (19る3), pp. 514‑520.

4. J. S. Ratti, the radius of univalence of certain analytic functions, Math. Z. vol, 107>

(1968), pp. 241‑248.

5. Z. Nehari, Conformal mapping, McGraw‑Hill, New York, 1952; p. 168.