ある解析関数の凸型半径について
吉開利秋
(昭和46年9月29日受理)
On the radius of convexity for some analytic functions
Toshiaki YOSHIKAI
Abstract
Let S*(α) denote the class of functions analytic in ￨z￨ <1 and of the form
f(z)=z+a2z2+…………,
such shat Re{zf'(z)/f(z)}>α,0≦α<1, for ￨z￨<1.
Furthermore let S*(a,α) denote the sub‑class of S*(α), consisting of functions F(z)=z+
az2+…………which are starlike of order α with respect to the origin, that is, satisfying the
condition Re{zF'(z)/F(z)}>α,0≦α<1, for ￨z￨<1.
The functions in S*(a,α) are univaleut in ￨z￨<1.
In a recent paper David E. Tepper 〔1〕 gave the sharp lower bounds ro(a) for the radius of convexity which depend on the second coefficient in S*(a,o).
In this note we generalize the results of Tepper to the class of functions in S*(a,α).
I 緒論
最近D. E. TepperはS*(a, o)に属する解析関数の凸型半径に関してのsharpなIower boundsを求めた◎そこで筆者はS*(α)の部分族であるS*(a, α) (即ちF(z)の2番目の 係数がaという条件をつけ加‑る｡)についての評価を試みた｡方法はTepperのそれに従っ た｡なは前者のTepperによる結果をr｡(a),後者の結果をr｡(a, α)とでも表わすと当然 r｡(a, α) ≧ r｡(a) (o≦α<1)でなければ価値がないことになる｡
Ⅱ予備定理
此の章では,最初に2つのLemmaを証明なしに述べ,次ぎに3つのLemmaを証明する ことにする｡
予備定理1. 〔1〕 P(z)‑ 1十bz+‑‑‑は単位円内で正則且ReP(z)>0とすれば,
Re P(z)≧
蝣1
1+blz+zI2.
予備定理2. 〔2〕 w(z)は単位円内で正則且w(o)‑0言w(z)i < 1とすれば,
i zw′(z)‑w(z) ≧ 2‑Iw(z)12
乱BBS
予備定理3. P(z)‑ 1+bz+‑･‑は単位円内で正則且Re P(z)>α, o≦α< 1とすれば, Re P(z)≧ 1‑α+lblαZzI+(1‑α) (2α‑1) z
証明.今h(z) ‑(P(z)‑α)
.′･!
1‑α+bj z+(1‑α)izP
(1‑α)としよう｡但しh(z)は単位円内で正則且 Re h(z)>O, h(o)‑1.
直接計算により,
h(z)‑1+1宝Z･‑･･･
故に,予備定理1.により,次の不等式を得る｡
(1) Re h(z) ≧ 1‑Z2
r bv‑とZrZLJ
又,
(2) P(z)‑a+(1 ‑a) h(z) (2)に(1)を代入することに依り,次の結果を得る｡
ReP(z)≧α+(1‑α) 1‑Z2 1トb
1‑rt;‑z‑
1‑α+bα z +(1‑α) (2α‑1)】zE2 bjjz +(1‑α)iz】2
予備定理4. P(z)‑1 +bz+一一は単位円で正則且Re P(z)>α, o≦α<1,とすれば, 4(1 α)iz+jb言Z2
1‑z 1+叫!zト(2α蝣1)￨z 証明. P(z)‑ 1 +(2a‑1)
1 +w(z) としよう｡
但しw(z)は単位円で正則且w(z)!<1, w(o)‑0.
予備定理2.より,
(3) z w′(z)‑w(z) ≦ ‑1廻ニ̲L璽憂̲P1‑7I2 又Iogarithmic derivativeを取ることにより,
‑2(1‑α) W′(Z)
1+w(z)) (1+(2α 1)w(z))
zP
P(z) ‑ 2(1‑α) (1十
z w′(Z)
(2a‑ 1) w(zu
mm
ある解析関数の凸型半径について
≦2(1‑α) z w′(z)‑w(z)
(1+w(z)) (1+(2α‑1) w(z)) w(z)
(1 +w(z)) (1 +(2a‑1)w(z)) こゝで,
0≦α≦与に対しては,
(1+w(z)) (1+(2α‑1) w(z)) 1 +2α w(z)4‑(2α・1)w(z)2 5
≧1‑2αIw(z)ト(1‑2α)Iw(z) 又‑方,与<α<1のときは,
巨1+‑(z)) (1+(2α‑D ‑(z)) ≧(1‑iw(z)￨)(ド(2α‑1)凧z)￨)
‑ 1‑2α w(z)I+ (2α‑1)￨W(Z)￨2.
故に,何れの場合でも,
｢
(5)巨1+‑(z)) (1+(2α‑D‑(aO) ≧ト2α】‑(z)廿(2α‑川‑(z)
‑(1‑￨w(z)I) (1‑(2α‑D!w(z) ).
故に, (4)に(3), (5)を用ひることにより,
zP‑jw(z)
1‑Z2
‑ w(z)￨) (1‑(2α‑1)￨w(z)I) w(z)
(1‑￨w(z)￨) (1‑(2α‑1)Iw(z)￨)
(6) ‑2(1‑a) Z￨2‑f W(z)
(1‑Ezl2) (1‑(2α‑1)
こゝで,(6)がiw(z)に関して,monotoneincreasingであることを証明しておくo (7)g(x)‑‑r2+x
1‑(2a‑1う首とするo
但し,0≦w(z)￨<1,0≦γZ￨<1.
(7)を微分して, g′(x)>0.
又,一般化されたSchwarz′Sの定理〔3.p.167〕より, w(z) ≦ 2(1‑a)¥z¥+￨b
2(1‑α)+ b z.
(6)は】w(z)に関してmonotone increasingであるから, (8)を用ひて,
2(1 α)z+b z P'(z)
≦二 2(1‑a) 1‑z2
̲̲̲逗⊥̲ ̲
1‑z￨*
2(1‑α)
1‑(2α‑1) 2(1‑α)Iz + b 2(1‑α)+￨b
b +4(1‑α)lz廿ib
1+b z‑(2α‑1)
予備定理5. w‑F(z)〔S*(a, α)のとき,
Re zF〝(Z) F'(z)
但し,
Q̀*<a､z)‑
証明. P(z)‑zF′(I)
+1≧Qォ(￨a言zi)
1‑α+困叫Zト(1‑α)(5‑4α+￨aj2) z￨2‑2￨al(2α2‑5α+4)￨Z￨3
(1‑Z)2)(1‑α ￨a￨￨z￨+(1‑α)￨z￨2)(1+a￨￨z￨‑(2α‑1)Iz】2)
‑((1‑α) (4α2‑8α十5)一項ai2α+
+(1‑α) (2α蝣1):
/
F(z)‑1+az+‑･‑とする｡そのとき明かに, Re P(z)>α.
又,次の等式が成立する｡
zF〝(Z)
/F
'(z)+1‑ P(z)+zP'(z)!!P(z).a￨2)lzl4+￨a￨(4α2‑5α)fziS
(9)に予備定理5,4を用ひて, Re晋許11≧ReP(z)葦器一一L
‑Qα(ial言zD.
mF(Z)〔S*(a,α)の凸型半径
定理.W‑F(z)〔S*(a,α)とするとき, F(z)の凸型半径のIowerboundsr｡は, r｡≧r｡(a,α).
但Lr｡(a,α)はqα(LaI,γ)‑1‑α+!aiαγ(1‑αX5‑4α+ial2)γ2‑2￨a￨(2α2‑5α+4)γ3
‑((1‑α)(4α2‑8α+5)+困2α十Ia12)γ4+!a￨(4α2‑3α)γ5÷(1‑α)(2α‑1^2 D5γ6‑0
の最小正根とする｡
証明.予備定理5.により,
Re晋詔+1≧Qα(!a佃)≧Oであれば,
F(z)はIz;≦γ<1を凸型領域に写像する｡
それ故.F(z)の凸型半径は,
qα(aI,r)‑Qの最小正根よりも小さくはない｡その根をγ｡(a,α)とすれば,以上考 えたことより,
γ｡≧γ｡(a,α).
先に緒論で述べておいたように,関数γ(a,α)は
α,0≦<1,に関してmonotonicincreasingなることがわかる,j
それ故,γ(a,α)≧γ｡(a,o),0≦α<1,となり,γ(a,α)は確かに,F(z)の凸型半
径のIowerboundsの一つになっている｡然し現在のところ,筆者はこれ以上TF̲砕な櫓を
ある解析関数の凸型半径について
文献 与えることは出来ない｡
〔1 〕 D. E. Tepper, On the radius of convexity and boundary distortion of schlicht functions. Trans. Amer. math. Soc, vol, 150, (1970), pp. 519‑528.
〔2〕 V. Singh and R. M. Goel, On radii of convexity and starlikeness of some classes of functions, J. math. Soc. Japan, vol, 23, (1971), pp. 323‑339.
〔 5 〕 Z. Nehari, Conformal mapping, McGraw‑Hill, New York, 1952; p. 167.
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