中学校数学における文字式の概念形成に関する研究 : 文字式の「プロセプト的見方」を中心にして

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(1)平成15年度. 学位論文．. 中学校数学における. 文字式の概念形成に関する研究＿文字式のrプロセプト的見方』を中心にして＿. 科ス慶. 究一. 育. 研コ泰. 教系中. 校然. M O2 1 79E. 学自田. 兵庫教育大学大学院教科・領域教育専攻.

(2) 【目次】. 1 中学校数学の文字式学習の困難点一一一一一…一一一一一一一一…一一一一… 2 本研究の目的一一一………一一一一一一一一一一一一一一一一一…一一一一. 113. 第1章本研究の目的一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一…一一一一一…曹. 第2章本研究にかかわる先行研究 …一一一一一…一一一一…一…一一一一一一… 第1節中学校数学の文字式学習に関する研究一一一一一……一一一一一・一一一一一 1．三輪辰郎の研究一一一…一一一…一一一一一一…・一一一一一一一一…一一…. 2．杜威の研究一一一一一…一一一一一…一一一一一一一一一一……一一＿＿＿. （1）学校数学における文字の役割一一一一一一……一一一一一一一一一一…・（2）中学校数学の文字式学習に見られる生徒の誤り一一一…一・一一一一一一. 第2節数学的概念の二面性（duality）に関する研究 …一一…………一一一一……12 1．S伽d．Aの研究一一一一一一…一…一一一一一………一一一一一一一一…一一12. （1）数学的概念の構造的な見方と操作的な見方一一一一一…一一…一一一12 （2）操作的な見方から構造的な見方への移行過程一一………一一一一一一一16 2．Gray。E＆Ta11．Dの理論 ……一一一………一…一…一一一一一一一一…一…21 （1）数学の記号におけるプロセプトー一一一一一一…一一一一一一一…一一…21. （2）プロセプト的見方一…一一一一……一一一一一一……一一一一一…一一21. （3）中学校数学の文字式領域における「プロセプト的見方」の例一一一一23. 第3章中学校数学の文字式領域における「プロセプト的見方」の調査一一一一一一一一一一27. 第1節. 調査の概要一…一一一一一一…一一一一一一一一一一一一一…一一一…一一…27. 1．. 調査目的一一一……一一一一一一……一＿＿＿＿＿一一＿一＿＿＿一一＿．27. 2。. 調査問題一一一一一一一一一一一一………一…一一一一一一……一一一…28. 3．. 調査方法一一一一一一…一…一一一一一一一一一一一一一一一一…一…一一31. 第2節. 結果と分析一一・一一一一一一一一一一一一一一一…一一一一一一一一一一一一一・32. 1．. 全体的な傾向の把握一一一…一一一一一一一一””一…四”一”””一””一’32. 2，. 各問題における生徒の考え方一…一一一一一一…一一一一…一…一……35. 3．. 「プロセプト的見方」の分析一一一一一一一一一一一一一一一一一…”””””47. 4．. 「プロセプト的見方」と計算問題・文章題との関連一一一一一一一…一”’48.

(3) 第4章中学校数学の文字式領域の指導への示唆一一一……一一…一一………一53 第1節文字式が答えを表すことの指導一一一一一一…一一一一一一一・一一一一…一…53. 第2節式の一部分をひとまとまりとして見ることの指導 …一一…一一一……一一58 第3節文章題から方程式を立式することの指導一一一一一一一…一一一一一一一…61. おわりに一一一一一…一一一一一一一一一一一一一一一一一一一・一一一一一一一一一一一一一…65. 引用・参考文献一一一一…一一一一一一一一一一一一一一一…一一一一…一一一一一一一一一67. 参考資料.

(4) 第1章本研究の目的 1．中学校数学の文字式学習の困難点小学校算数では，数の式が中心で，式自体が具体的な意味を持っていたのに対して，中. 学校数学での式の学習は，文字式に対する操作が中心となる。生徒にとって，文字の意味が理解でき，文字式の形式的処理がスムーズに行えることが，後の数学の学習にとって重要であるといえる。. 三輪（2001）は，中学校数学の文字式学習に関して，次のように述べている。. 《生徒の文字式の理解は算術の理解に基礎をおくのであるから，文字式の教授が小学校算術のそれに基礎をおくことは明らかである。》（三輪，2001，p．32）. また，「新版数学教育の理論と実際」（2001）は，文字の導入において大切な点を，次のように述べている。. 《大切なことは，数の世界を内部に含んだ文字式の世界を構成していくことであり，こ. のことは文宇式の計算が数の場合と同じ計算規則で行えることを示す上でも重要な視点である。》（「新版数学教育の理論と実際」，2001，p．103）. 文字式には，数の式にない独自のきまりがあり，乗法記号の省略は，その中でも代表的なものである。このような文字式独自のきまりが，生徒の文字式に対する理解の困難性を高める原因になっていると思われる。. 例1．3a一肝3. a. ＝. 23. 23. 例2．. 十. a. 例3．5x＋7y；12xy. 一1一.

(5) 例1は，3aの意味の理解不足や減法の意味の取り違えなどからくる誤答例である。3a を，3X aと理解できていれば，このような間違いをすることはないと思われる。. 3aの3は，aの前にただくっついているかのように捉えたものと考えられる。さらに，減法の意味を，ただ同じ文字同士を消し去ればよいという考えで捉えているために起こった間違いとも捉えることができる。. 例2は，帯分数の考えによる誤答例である。小学校算数では，帯分数を次のように捉えている。. 1 1 1皇と一￠の和を、1一￠と書いて、・… 。 3 3. （学校図書，小学校算数4年下，p．58）. 2 2 2. このような帯分数の考え方をもとに，一aを一×aでなく一＋aと考えたものと思 3 3 3 われる。. 小学校算数では，等号の左辺は計算過程を表し，右辺はその結果を表している。例3は，. 文字式においても，式の一部に演算記号が残っていればまだ計算ができると考え，何とか一っの数にしようとし，その結果12xyとした誤答例である。. ここで取り上げた誤答例は，中学校数学の文字式学習に見られるごく一部のものである. が，このように，小学校算数での学習事項が，中学校数学の文字式学習に大きく影響していることが分かる。. 一2一.

(6) 2．本研究の目的. 中学校数学の文字式の学習は，それ以降の数学学習にとって，基礎となるものであり，大変重要な学習である。中学校数学の文字式が理解できなければ，等式の変形もできず，. 方程式も解けず，因数分解もできない。さらには，一次関数や二次関数といった数量関係も分からないことになる。そういう意味でも，中学校数学の文字式学習において，生徒の理解力を高めることが大切になってくると思われる。. そこで，本研究の目的は以下のこととする。. （1）先行研究を概観し，中学校数学の文字式領域における生徒の学習上の困難点を探る。. （2）調査を通して，中学校数学の文字式領域における生徒の実態を明らかにする。. （3）上記（1），. （2）で得られた示唆を踏まえて，中学校数学の文字式学習への示唆を提案. する。. 一3一.

(7) 第2章本研究に関わる先行研究第1節中学校数学の文字式学習に関する研究 1．三輪辰郎の研究三輪（1996）は，文字式を「数学における主要な思考方法」（三輪，1996）として位置づけ. ている。そして，その利用の図式として，次の図を挙げている。. 文字式. −や．. 象見発、. レ事し察新洞︵ . 塑変形する. 麺. 文字式’. 図1．文字式使用の図式. この図式は，3っの状態（事象，文字式，文字式’）と，3つの過程（表す，変形，読む）から成る。事象は，出発点・到達点となるもので，問題，あるいは，パターン等，そ. の場の状況によって様々な形をとる。3つの過程を一回りすることで，新しい発見や洞察が得られることが期待され，それが到達点と考えられる。文字式と文字式’を区別するのは，後者が前者を変形という過程を経たことを示すためである。. 一4一.

(8) 3つの過程について，三輪は，次のように説明している。. 《「表す」は，事象から記号の方向へ向かうことで，一般化，抽象化の過程であると言える。 o o ● o ● ■ ● ● ■ o ■ ● ● ● ●. 「読む」は，記号から事象の方向へ向かうことで，特殊化，具体化の過程であると言える。 ● ● ● ■ ■ ● ● 9 ● ● ■ ● ■ ● ●. r変形」は，ある文字式を別の形に変えることである。》（1996，p．4．アンダーラインは筆者）. 中学校数学の文字式学習において，生徒がまず困難を感じる過程が，「表す」過程であると考えられる。三輪は，ここでの指導の問題点を，次のように指摘している。. 《算術的な見方への固執. 数を使った式，例えば，3＋5＝8は，3に5を加える過程あるいは活動が，8という所産あるいは結果を生んだと見られることがある。この算術的な見方に固執するとき，. 文字式a＋bが過程と所産の両方を表すことに強い抵抗を感ずる。実際は，算術においても，3＋5が過程と所産の両方を表していることは，式の表し方を学習する際に教えられているのであるけれども。そして，いわゆる1ack of closure（式が閉じていないま. まになっていること，L O C）の不安から，a＋b＝cのように，無理やりに閉じた形にしようとする傾向がある。》（三輪，1996，p。5）. 三輪がいうlack ofclosureが影響した生徒の誤りには，次のようなものがある。. 4x＋7＋5x＋8ニ4x＋5x＋7＋8 ＝（4＋5〉x＋（7＋8）. ＝9x＋15 r！軍／−／』膨／−／β！「. 、ニ（9十15）x 、 lackofclosureの. 亀 h一一ペヤ 1ニ24x l 不安による誤り』−／』Irノ』7／』r／』▽−iノ』7』. 一5一.

(9) 具体的な数量を文字式に「表す」ことができるようになると，次に困難性を感じるのが「変形」の過程である。. r変形」にっいて，三輪は，2つの注意点を挙げている。. 《ア．変形するとき，「不変」なものが必ずある。. 変形が許されるのは，その変形において何か不変なものが存在するからであるのは明らかある。そうしたものが全くないのであれば，変形することは無意味だからである。. イ．目的に応じた変形が基本である。. これは，式を変形する人の「… をしたい」という意思が決定的であることをいっている。》（三輪，1996，p．10）. 三輪は，r変形」の過程における生徒の誤りの例を，Matzの「Towards a process model fbr high school algebra enDrs」（1979，Unpublished working paper No．181，M．1．T．）の中から挙げている。. 《・線形性. 価百＝甑＋侮（A＋B）2＝A2十B2 A A A. ＝一十一 B＋C B C l l 1 . 一＝一. 3 x 7 ・一. 化. ・表記法・同等性. から 3＝x＋7. 1 A＋｛Aの逆元｝＝0 から A×一＝O A x＝6のとき 4x＝46 とする. 5 5 一＋一＝4 カ・ら 5（2＋x）＋5（2−x）＝4 》 2−x 2＋x. （三輪，1996，P．11）. 一6一.

(10) 2．杜威の研究（1）学校数学における文字の役割. 小学校算数での□や△を使った式での□や△は，数の位置を示すプレースホルダーの役割を果たしていただけである。中学校数学以後での文字の意味について，杜威は次のように述べている。. 《文字の意味は一般的に未知数，定数及び変数とその他のものとされている。文字式に含まれている文字は，場合によっては，未知数を表したり，定数を表したり，変数を表したりするのである。》（p．143）. 杜威の挙げる文字の意味を整理すると，次のようになる。. 未知数… ある数量関係によって決められているが，まだ知られていない数量を表す文字。例えば，「方程式2x−3＝5を解け」というときのxや，「不等式x−3＜6. を解け」というときのxのことである。. 定数・… ある計算法則ないし計算公式を一般的に表している文宇。. ．b±冊. 例えば，二次方程式ax2＋bx＋c＝0の解は，x＝と 2a いうときのa，b，cのことである。. 変数・… ある関数関係の中での変化している数量を表している文字。. 例えば，関数y−3x＋2というときのx，yのことである。. その他のもの… 上の3つ以外の文字。例えば，円周率のπのようなものである。. 一7一.

(11) （2）中学校数学の文字式学習に見られる生徒の誤り. （ア）7a＋2b＝9abとする生徒の誤り. 杜威も，次の例を挙げ，三輪のいう1ack ofclosureによる誤りを指摘している。. 3a＋2b＋4a−3a＋4a＋2b ＝・（3＋4）a＋2b. −7a＋2b r／8−ーノ’／』7／−／盈／−！σノ置！置／竜ヌペ. 1 一（7＋2）ab l. ヤペ. l l 、一9ab 、 l l ヤヤ 1』7ノ』7／』7／』r／編7／』7−i／』r／』■r／』r／』r貞. 《7a＋2bをさらに簡単にしようとするのは，生徒にとって，7a＋2bにある記号＋が表す計算を最後まで行いたいことのあらわれである》（杜威，1991，p．86）. 三輪の1ackofclosureは，文字式7a＋2bの中に残っている演算記号＋を無理矢理計算し，. 閉じた形にしようとした結果，9abなどとする傾向のことを言ったが，杜威の指摘は，文字式7a＋2bの中に残っている演算記号＋が表すたし算という計算を行ってから答えようとするものである。. （イ）3a−3ニaとする生徒の誤り. 杜威は，計算記号×における生徒の誤った読みとり方を，次のように説明している。. 《計算記号×は，文字式の中でよく「・」で代用されたり省略されるから，それを最後. まで終えようとすることがあまり見られない。そして，累乗の場合では，a nはaがn 個掛けている意味を表すものであることはよく知っているようだが，かけ算の記号×を省略されると，つまり，記号×が見えないときに，よく混乱が生じる。例えば，子ども. は，3aが3X aより，むしろ3＋a，あるいは”3とa”と読みとっていることはよく見られる。その結果，3a−aを3にしたり，3a−3をaにしたりする。言い換えれば，子ども. 一8一.

(12) にとって，式3aは，3にaを掛ける，つまり，3Xaなのではなく，あたかも数3に物を吊り下げているように文字aを掛けているのである。このような場合では，記号×の数学における意味はまったくなくなっていると考えられる。》（杜威，1991，p．88）. 3aの3とaの間に計算記号×が省略されていることは，次のようなきまりとして中学 1年生の文字式学習の初めに学ぶ。. 「積歯蓑し方 ‘. 』轍、. lo文字式砿乗法の記号×をはぶし囎く・塵. ② 数と文字の積では，数を先に，文字を後に書く。. 監 . ・「. . 一鞍繍義一一垂. 螺 ” 奏. 図1．文字式での積の表し方（学校図書，p56）. それにもかかわらず，3aを，「3＋a」や「3とa」と読みとってしまう生徒が多いのは，小学校の算数での経験が影響しているのではないかと思う。三輪は，中学校数学の文字式と小学校算数の数の式との関係を，次のように述べている。. 《文字式の文字は数や数量を表し，演算の印しと規則は算術のそれと同じである。. しかしながら，算術の数の式と文字式の間には違いがある。例えば，算術では，数字の連結は普通23＝20＋3，2・1／3＝2＋1／3のように加法を表すのに対して，文字式のそれは，2a＝2x a，ab−a x bのように乗法を表す。》（三輪，2001，p．32）. このように，小学校算数での学習内容の理解が中学校数学の文字式学習において，多くの生徒のミスコンセプションや誤解を引き起こしていると考えられる。3a−3−aという誤りも，. このようなことが原因であると思われる。. （ウ）2a＋3a＝5a2とする生徒の誤り. 累乗を伴う文字式において，次のような誤りをよく見かける。. 2a＋3a−5a2 一9一.

(13) 杜威は，このような誤りは生徒が，次のように考えて生じたと述べている。. 《もとの計算はたし算であるが，2に3をたすと5になる。しかし，文字aが2つあるから，そのどっちも捨てられないので，a2にしてしまったというような解釈はその 1つである。. また，もとの計算はたし算であるが，単項式2aと3aにかけ算が隠されている。つま. り，2aは2X aであり，3aは3Xaであるから，その隠されているかけ算に基づいて，. 2つのaをかけてa2にしてしまったというような解釈もある。. 前者の場合では，子どもはa2をaの累乗としているのではなく，それを単に2つの aがあることを表す記号として使っていることであり，後者の場合では，単項式のたし算を処理するときに起きた混乱によるものと考えられる。》（杜威，1991，p．88）. 2a＋3a−5a2とするときのa2の解釈には2通りの解釈があると，杜威は述べている。. 1つ目の解釈は，文字aが2つあるからa2にしたという解釈である。すなわち，aが 2つあることを表す記号として使っているのである。2つ目の解釈は，2aは2X aで，3a は3Xaなので，「X a」と「×a」を2つのaをかけるという意味で取り間違え，a2としてしまったという解釈である。. （エ）（a＋3）＋（a−3）＝3a＋（一3a）とする生徒の誤り. 《括弧は，三項以上の演算の場合，それぞれの計算記号に関わっているのがどれとどれ. であるかを表すために使われるものである。しかし，実際，式の変形や計算などをするとき，必ずしも括弧が示している計算の順序で処理しなくてもよい。しかも，多くの場合では，その計算の順序を変えなければ，計算はうまくできなくなることもある。例えば，（a＋3）＋（a−3）の場合では，式の中間にある記号＋に関わっているのがa＋3とa−3 ではあるが，もし，どうしても，a＋3とa−3にある計算を先に行うとすれば，（a＋3）＋（a−3）. をそれ以上簡単にすることはできなくなるのである。しかし，実際，生徒は，式（a＋3）＋. （a−3）にある括弧が示している計算の順序をまもりながら，それを強引に簡単にしようとする。》（杜威，1991，p．89）. 小学校算数の数の式計算においては，式の中に括弧がある場合，通常，括弧から先に計算する。しかし，括弧の中のa＋3やa−3はもうこれ以上簡単にできない文字式である。そ. 一10一.

(14) れでも，この式の括弧の中の計算を先にしようとすれば，a＋3−3a，a−3＝一3aなどと強引に. 簡単にして計算することになる。このような間違いをする生徒にとって，括弧は常に先に計算しなければならないものとなっている。. （オ）2a＋5a＝2＋5＝7aとする等式の表記上での生徒の誤り. 《等号＝は，2つの等しい数を表すものである。それが，計算法則，式の変形，計算の結果などを表すときに使われるが，何れの場合の等号も，等号に関する公理，つまり，. i．a＝aである。廿，a＝bであれば，b＝aである。血．a；b，かつ，b＝cであれば，α二cである。. を満たさなければならない。しかし，より多くの場合，子どもは，これらの公理iと血が表していることに注意をよく払うが，公理廿が表していることを無視しがちである。. その結果，子どもにとって，等号は単なる操作の流れを表すものだけとなってしまう. のである。このような生徒について，等号の右側はその左側の式を操作した結果を表していて，その操作は逆に戻すことができるか否かを考えない。あるいは，操作の行き先のみしか念頭に置いていないと考えられる。ここでの操作というのは，式の変形，計算のステップなどの式を取り扱うことの総称である。例えば，ある子どもは2a＋5a＝2＋5＝7aのように計算をした。この子どもにとって，. 2a＋5a−2＋5にある等号は，単にこのステップが文字の係数を合わせることだけを表して. いて，2＋5は計算2a＋5aの結果であるか否かということを表していない。そして，その計算の結果である7aは，ステップ2＋5＝7aである等号二で表されていると考えられる。》. （杜威，1991，P．90）. このことは，等号の左辺と右辺の大きさが変わらないということを，生徒はよく忘れるということを意味していると考えられる。すなわち，等号が計算の順序と結果を表すだけ. の記号という解釈が常に生徒の中にあるのではないかということだと考えられる。その結果，2a＋5a−2＋5ニ7aのような計算をしても矛盾を感じないのだと思う。. 一11一.

(15) 第2節数学的概念の二面性（duality）に関する研究. 1．Sfard．Aの研究. （1）数学的概念の構造的な見方と操作的な見方. Sfard．Aは，いろいろな数学的定義や表現を分析すると，数や関数のような抽象的考えは，2っの基本的に異なった見方で捉えられると述べている。. 《対象として数学的な実体を見ることは，あたかも空問や時間のどこかに存在してい. る実物かのような静的な構造のように，それを参照することができるようになることを意味します。さらに，それはまた詳細に立ち入らずに，’一目で”その考えを認識す. ることができるようになること，そして全体としてそれを操作できるようになること. を意味します。・・・… 対照的に，プロセスとして概念を解釈することは，それを実際の実体というよりはむしろ潜在的実態と見なすことであり，そしてそれは，ある一連の活動の中で必要に応じて生起する。）（Sfard．A，1991，p．4）. S飴rd、Aは，対象として構造的に捉えるような見方を，「構造的な見方（structural conceptions）」と呼び，過程として操作的に捉えるような見方を，r操作的な見方（operational conceptions）」と呼んでいる。. Sfard．Aは，数学の例を表1のように挙げて，操作的な見方と構造的な見方を説明している。（表1参照）. 一12一.

(16) 表1．数学的な概念の構造的な見方と操作的な見方構造的な見方. 操作的な見方. 計算の処理または関数. 順序づけられた対の集合. っの体系から別の体系を得る明瞭な法（Skemp，1971）. 対称. 自然数. 幾何学的な形の特性. 幾何学的な形の変換. 集合の特性または. 0または他の自然数に1を加えること. じ有限の濃度を持つ全ての集合の類. よって得られる数数えることの結果）. 有理数. 整数の分割の結果. 整数の対対の特別に定義された集合の一部）. 円. 既定の点から等距離な全ての点の位置固定されている点の周りにコンパスを. 転させることによって得られた曲線（Sfar（i．A，1991，p．5）. 関数は，操作的には計算のプロセスとして捉えられる。. 例えば，y＝2xで表される関数は，ある入力（例えば3）から出力（6）を得るための計算の方法を示しているものとして捉えられる。. 関数y；2xの式に，x＝3を代入すると，y＝2x3＝6が得られる。. これが，操作的見方である。. そして次第に計算の影が薄れていくと，入カー出力のみが意識されるようになる。最終的にy−2xで表される関数は，（1，2），（2，4），（3，6），（4，8）といった順序対を一度に表す，コン. パクトな集合として捉えられるようになる。. y＝2x （7，14）. （1，2）（4，8）. （5，10）（2，4）（3，6）. （6，12）. 一13一.

(17) これが，構造的見方である。. 自然数は，構造的には左下の図のように1，2，3，4，・… のような無限の集合として捉えられる。操作的には右下の図のように，0または他の自然数に1を加えることによって得られる数，すなわち数えることによる結果として得られる数として捉えられる。. 自然数の操作的見方. 自然数の構造的見方. 2 13. 1十1＝ 14. 94 01. 6 O. 2十1＝. 1. 5 8. 3十1＝. 4十1＝. 7 11. 5十1＝. 3. ：：＝：. 一14一. 自然数. 0十1＝. 12. 0123456”：：：、. 自然数.

(18) 表2は，S魚rd．Aが，操作的な見方と構造的な見方の役割と特徴についてまとめたものである。. 表2，操作的な見方と構造的な見方（まとめ）. 構造的な見方. 操作的な見方. 一般的な特徴. 数学的な実体は，あるプロセスの. 数学的な実体は，静止の構造一あ. の結果と見なされるか，あるいは. たかもそれが現実的な対象である. そのプロセス自体と同一視される。. かのように見なされる。. 内面的な表象言葉の表現によって支持される。. 視覚的なイメージによって支持される。. 概念発達にお. 概念形成の初期の段階で発展する。操作的概念作用から発展する。. ける位置. 認知過程にお. 有効な問題解決と学習のために必. 認識的プロセス（学習、問題解決）. ける役割. 要であるが，十分でない。. をすべて促進させる。. （S応ard．A，1991，p，33）. 表2によると，生徒が数学的な概念を形成する際，まず操作的な見方が発達し，その操作的な見方を続けているうちに構造的な見方が発達してくることが分かる。. 操作的な見方は，問題解決や数学の学習にとって必要ではあるが十分ではない。問題を解くときに計算をしたり，数を数えたり，図を描いたりすることは必要なことだが，数えたものをまとめて考えたり，計算した結果をひとまとまりとして見たりすることがないと，問題解決に至らない場合が多い。. 一15一.

(19) （2）操作的な見方から構造的な見方への移行過程. Sf乞rd．A（1991）は，操作的な見方から構造的見方に至るまでの3っの段階を設定し，説明している。その3つの段階を，彼女は，内面化（∫n‘e7’07’zα∫’oη），凝縮化（co編en3誠o乃），. 塁象幽＿と呼んでいる。彼女は，この3つの段階を次のように説明している。. ①内面化（’n∫87io71zα∫∫on）. 《学習者が，新しい概念を結局生じさせるプロセスに精通する段階である。これらのプロセスは，より低いレベルの数学的な対象に実行された操作である。そして，徐々に，学習者はこれらのプロセスの実行で理解するようになる。》（S￡ard．A，1991，p．18）. ②凝縮化（oon4θn3α∫’on）. 《操作の長い系列を，より扱いやすい単位にr詰め込む」期間である。》（Sfard．A，1991，p．19） ③具象化（7θ昴oα⑳n）. 《具象化の段階は，（問題にしている対象に対して実行されたプロセスから起こる）より高いレベルの概念の内面化が始まるポイントである。》（S餅d．A，1991，p．20）. 彼女のいう3つの段階を，佐々木（1994）は，次のように言い換えている。. 《① 内面化の段階とは，なじみ深い対象（具体例や既知の構造）にそって新たに学習. する内容（ことば，記号，表現など）の意味づけを行う段階のことである。. ② 凝縮化の段階とは，新たに学習した内容の使用方法に，練習を通して熟達する段階のことである。. ③具象化の段階とは，上記の①で学習した内容を②を通してなじみ深い対象とし，. よくわかるようになる段階のことである。なじみ深くなった対象は，具象化の段階に達すると同時に新たな学習内容を導くための素材として使用可能なものとなる。》. （P．20）. 上で述べた3っの段階を，中学校数学の文字式学習を例に説明してみる。. 一16一.

(20) ①内面化の段階. 小学校算数で学習した内容を使って，新しく学習する文字式の意味づけを行う段階である。. 薩茸べ. ジの式①のドにいろいろ渡轍をあてはめ益惹，王1三方形. の数が何・碍であっても，フレームの本数幾求めることが妥きますゆ嬢【学では，. 一≦の代わりに文字を優って爽し談す・. たとえば，正方形壷灘僚っくゐと窓のフレームα）本数は．. 騒. 1＋3x娯末う②. 文字を僅った式. と嚢し庫す。. 瞬曹惚警蜘〔工工〕一〔コ. ③の貧のように、文字逢健って褒した試轡文宇式とい雛ます。. る正甥夢の数がS㈱、、＿．、．、．ノ. O数量を表す式. 〃）とき、フレ帰、1辮蕉フ畢磯が躍. 文章で繁された敬撮登レ業誰式を使って蓑してみ蕊しょう血. 取轟るでしホうか．. まず，1つ硝文字棄痩います。. 局婆喪さのフレームを使って証方澱をつく雛ます。疋方簿の数. 趣》（β1000円持っていて・. が何鰯鰯つて軌フレー締藤数鯨めることがで蓮櫛艶，. 〆一11）001↓1一一協露露僅iったときの銭盈・騨曳、. 次のホうに暫識ました。. ’へ・」岬讐！− 一鱗躯 1n（沁一者dび路. 勒形が懸の籍・〔⊃ 冠絹（本1 疋聯が2徽書・〔工〕・÷3x2（雛）. 1鰯嘩 i輔X轡）. ③長さ．瓢切デーブを， ∼語Cm 4等分したと蓮の1本. 糞三方凱織き・瓢灘！手axこ体｝. 分グ）畏さ＿. 1 牽』l x コ1本）① 蓮… 懇、．ス．繋題跡勲離. 一一ぼm一一朧、. 工刊（m）. 螂遜麹. 灘武鰍，答えを東麟麺酬’算の式・メこ厭甑 i｛過倉一椀zl円）が，その塞ま笹えの数量を妥藁すこともあ畦重弓㌔. 図2、文字式の導入（学校図書，数学1，p．52，p，53）. 図2の問題において，正方形の数が何個であっても，フレームの本数を求めることができる式を考える際，正方形の数が1個の場合から順々に図を描きながら，どのような仕組みになっているのかを探っていく。そして，その仕組みを探り当てたら，そのことを「ことばの式」で表す。さらに，分からないものを□を使って式にする。ここまでは，小学校. 算数での学習内容である。中学校数学では，□の代わりに文字を使っていろいろな数量関係を式に表すことを学習することになる。そのことが，図2で述べられている。生徒は，. 「ことばの式」にいろいろな数を代入するというなじみ深い操作を行うことで，新たに学習する文宇「a」の意味づけを行ったと考えられる。. 一17一.

(21) ②凝縮化の段階. 文字式を書くときのきまりに従って，1次式の計算など文字式を自由に操作することができるようになる段階である。. この段階の内容をどのように生徒に学ばせているのかを見るために，教科書を見てみる。. 塵（1）（一のxα12擁x（一1）1314x（一み）畠司α 騙叩豊麟（一1）xみ. 醤文字式を書くとぎの吉まり. 譜（一三）肋×西. ＝一勧 ⑳齢式を，駕×やか7こ壱嚇いて灘なさい．. ql（. 文字式ぞ蝕，3紹も轟3. 3）x置 121（一〇〉勘. も，乗嶽の記響xを1謡ぶいて枷と轡き漆穿。. 齢如鎚，誘聴籐て書きなさい。. 文字式での桜の棄し方には．栗碍ようなき潔りがあ攣ます。. ω一勧で215，じ一2∼’ 儲）一《（α一ゆ）. 一顕. 1 一！傭魚乗法の紀号ぶ K・ i. おいじヨろしすう. 一. o累乗と揖数. 灘に書＜1 蘇」鍵で朧盤 ⑳｛η5々匠5鯉㈲麻1卜欝4 御占x2、3−3．鮎㈲’7×犀扁雌「4の3乗塞と読みますロまた，‘訊♂のようなもの壱凄とめて. 樹〔，遊1千溜K2篇2（■十グ）毎｝〃×3÷δx2斎3rえ車助. 琶の票乗といい，ボの2やθ3の3を累墾￠）擢数といいます。. 1x記や誠1尉σとな膿笠が，確雛誤肥碇繋毒護瓶. 欝｛1，講κx3繍鮒｛2｝一豚邑憾餅μ一一2〆. 喬》く窪のように文字が2種難1乳ヒぬ覆で緯暑ふつう，アルフプペット蝦にしてσゐと書きます廿. 趣嚢次賦を，欝薙廓譲，指数を使つて謙な毒い。. ω鯵醸5：勉 121一熊μプ. （璽豆二）次の蚊鷺，看詠弓褒しプ至のきまりにしたがって：轡毒なさい㌔〔【》 12ンこ茎！（2≧ 煤争ご8 〔3｝ 2．諺翼．r. 蓬羅蜜】次の数黛嶺，認鍛Nをはぶいた式で轡挙な鍬㌔. 紺必×ぱ樹｛峰舶）x3 （61置x5一欝せ. 1姶 1遷4㎝韮の振方形の周りの長さ. ωα×o．1 ｛瞬」訪旬Xc㈲ウx瞬6. 麟 1辺5㎝⑳立方鉢融蝸膏. 麹0，函粥，O、なと書か塾こO．隷と灘毒ポ￠。. ③緬円三K婆1＊富伽翻鱒ホを買索と鋤おつリ. 図3，文字式の表記規則（学校図書，数学1，p．56，p．57）. 一18一.

(22) O商の表し方？月求で躍kmの距雌を．ロケットがS時. 團1次式の計算. 概かかジニ飛行しました。1一γ7・ソトの速. 0数と1次式の乗除. きは時遮阿km. ？縦2．ど11，，横5mの. こしようかヨ. 長方形の太陽電池 2αm. 文字式での1細演し方には，次のような継りがあ臓凱. 〃）面穣を，式で衷. 、圃う. しなさい。. 文字式では。除法の昆号÷を α. ‘2÷わ＝一籠わないで，分数の形に回く。. 趣》G〕2〃κ5 （216耐〔一4）＝2×σ×5 . α 3 ．棄＋う. 題④（t障÷4㌃‘213÷y王131（｛勲）÷トヤー. 3 ＝loだ＝一百3『. 額‘7鵬暦蹴鵜か・）・世疑騰誤同じ主弧乎は静＋砒も罰｝き鋲調（1屠f一一3）織 . ｛麺》次の計算をしな些も㌔. ω6群2 1213μx←・4） 131』ム‘∼×6 ワ. 3 ・8，r÷2 （61（. 12以一勇）÷ヱーi暑. 14）0，一‘，τ×5 ㈲. 癒翻一雪一嘉纒）次の式堂，棚，傷5に偉ら. ＿ 6認・. rI ＝2x5×μ. 一皇5．じ）・：一←・1め. 分配泌則を使って，式のかっこをはずすことができ訳すq. 、晶ω．め＋㏄（、撫、□＋口. 」て欝芭鐘い・. ① ② ① ②. m誕÷6 〔211÷み 13巨、ご一の÷3 鱒〃÷（一2）. ⑳稀察を・そ脚講瑚吏って区漸醐趣〉麺藁を漸の勧ソ鋤蔀二淫したが顧繋鱒い・ lU 疑さσ⊆揖σ）磯テーノ書5等分したときの1本のの長ご. 、、でー’［｛璽｝右1二の図で，「＝1にあて傑詠る蚊を入れな≧さい、. 鋤隅じかんづめ3個の重さがr晋のとさの1倒の重盗. 図4．文字式の表記規則（学校図書，数学1，p，58）図5．文字式の計算規則（学校図書，数学1，p．65〉. 図3，図4で示された文字式を書くときのきまりや図5のような文字式の計算のきまりを学習することで，文字式の仕組みが理解できるようになる。そして，文字式を巧みに扱う技能を練習によって身に付けることができると考えられる。. ③具象化の段階文字式をひとまとまりのものとして捉えることができる段階である。この段階の学習内容を，教科書から見てみる。. 一19一.

(23) 目文字式を秘用した説明嶺》韓象覧7，8ゆよう1千漣繍る. 6＋7＋8二L ＿、1. 3つの整数の和縁，どんな数にな. 10十1i十12獄L」. るでしようカ㌔. 23＋2達＋25判二二1. 趣｝連続する3つの整数の和は，3の借数になります。このこと巻，文字を使って説明しなさい。考え方遠続する3つの整数のうち，もっとも小さい整数を1∼とする. と，連続する3つの整数はπ，惣＋1，躍＋2と襲される。したがって，それらの琴日は，次のようになる。. 諾欝ゆ＋匝・）i繍翫轟ゴ3債＋5〉なつ轡饗解＋1は整数だから，3（ノ∼嗣）は3の倍数である．. 硬）例碕，灘膵る3つの整数の械の数を1比おいて・次のように説畷しました。ll．コにあてはまる式を入れなさい。. 説明中央の整数蓉πとすると，連続する3つの整数は，. …Fπp「一零. . と表言れる。それらの和は，. . ｝. 一『. 1柚罐．』. r1. トにi『t二i. πは整数だがら，r二『二』1捻3の俸数である。. 図6．文字式をひとまとまりとして考える問題（学校図書，数学2，p．23）. この問題では，ある整数をnとしたとき，n＋1がその整数より1大きい整数を，n＋2がさらに1大きい整数を意味していることを理解し，n，n＋1，n＋2が，連続する3っの整数として捉えられる必要がある。. 一20一.

(24) 2，Gray．E＆TaILDの理論. （1）数学の記号におけるプロセプト. Gray．E＆Tall．Dは，数学の記号における二面性について述べている。彼らは，あるプロ. セス，あるいはそのプロセスの所産のいずれかを喚起する記号をプロセプト（700顔）と呼んでいる。. プロセプトは，ある数学的記号を学習者がどう捉えるかということに着目した考え方であり，彼らは，次のような例を挙げている。. 《・r3＋2」は，数え上げなどによる3と2のたし算というプロセス，あるいは3＋2 は5であるという和の概念の両方を表している。 3 3. ・「一」は，4による3の分割というプロセス，あるいは分数一の概念の 4 4 両方を表している。. ・「＋2」は，右へ2単位移動のプロセス，あるいは有符号数＋2の概念の両方を表している。》（Gray．E＆Ta11．D，1993，p．6）. （2）プロセプト的見方. Gray．E＆Tall．Dは，文字式でのプロセプトについて，次のように述べている。. 《・「3a＋4b」のような代数の式は，「3倍したaを4倍したbに加える」過程，あるいは1つの対象として精神的に操られることができる代数式の両方を表すプロセプトである。》（Gray。E＆Tall．D，1993，p，9）. 一21一.

(25) 問．次の式の同類項をまとめ，簡単にしなさい。一3a＋2b＋2a＋3b. （角峯）一3a＋2b＋2a＋3b罵一3a＋2a＋2b＋3b ＝（一3＋2）a＋（2＋3）b ＝一a＋5b・。。 … 。①. ＝（一1＋5）ab. ＝4ab・・・・… D②. ①の式は同類項がないので，もうこれ以上簡単にはできない。1ack of closureの不安に. よる誤りは，一a＋5bを無理矢理1っにしようとし，一aと5bを加えて4abとしてしまうというものであった。しかし，一a＋5bをプロセスとして捉えると，一aと5bの間に演算記号＋. が残っているために，この式をまだ計算の過程にある式と考えて，その結果を求めようと. するために②の形まで計算してしまうという誤りが起こる。ここで大事になるのが，①の式のように同類項がなく，もうこれ以上簡単にできない文字式は，いくらその中に演算記号が残っていても，その式は計算の過程ではなく，計算の結果であるという見方ができることである。そういう見方ができることが，今後①のような形の文字式を計算の対象として扱えるようになることにつながると考えられる。. 式を対象（結果）として扱う見方は，数の式にはなかったことである。文字式学習では，. 演算記号の入った式でも，もうこれ以上計算できないものを，「対象」として扱うことが必要となる。そこで，演算記号の入った文字式を「計算過程」と「計算対象」の両方で捉える見方を，本研究では，rプロセプト的見方」と呼ぶことにする。. rプロセプト的見方」ができないと，計算問題だけでなく，次のような文章問題を考える際の立式にも，支障をきたすと考えられる。. 一22一.

(26) も鹸》. 月擬のA基地藁こはアルミ資材を窟÷2（本）妻. B墓地毒こはβ一2（本〉期慧します。. アルミ資材の1穐は，侮本になり蕊すか。. また，A基地のアル芝資材は，Bl塞地より何塞多いでしょうか綴. 図7。プロセプト的見方が必要な文章問題（学校図書，数学1，p．66）. この問題において，A基地とB基地のアルミ資材の本数a＋2（本）とa−2（本）を計算過程. としてしか見ることができないと，a＋2とa−2の計算結果を求めようとして無理矢理2aや. 一2aのような全く別の文字式に変形したり，a＋2とa−2の計算結果が何を表しているのか分からなかったりして，そのために立式できないことになる。. （3）中学校数学の文字式領域におけるプロセプト的見方の例. （ア）「数量を表す式」におけるプロセプト的見方. 問 1本50円の鉛筆をa本と，. 1冊100円のノートをb冊買ったときの. 代金の合計はいくらですか。（学校図書，数学1，p．54）. （解）50x a＋100X b−50a＋100b （答え）50a＋100b（円）. 一23一.

(27) この問いの答えは，50a＋100b（円）であるが，この式を50x aと100×bを加える計算. 過程と見てしまうと，その結果（答え）を求めようとするために，150abと無理矢理1っにまとめてしまうlackofclosureによる誤りが生じることになる。この問いでは，まだ「＋」. を含む式50a＋100bが，代金の合計を表しているという「プロセプト的見方」が要求されている。. （イ）「1次式の加法・減法」における「プロセプト的見方」. 問．月面のA基地にはアルミ資材をa＋2（本），B基地にはa−2（本）用意. します。アルミ資材の和は，何本になりますか。また，A基地のアルミ資材は，B基地より何本多いでしょうか。（学校図書，数学1，p．66）. （解） A基地のアルミ資材の本数はa＋2（本）でl. B基地のアルミ資材の本数はa−2（本）なので，その和は，. （a＋2）＋（a−2）一a＋a＋2−2 −2a（本）また，A基地とB基地のアルミ資材の差は，. （a＋2）一（a−2）一a−a＋2＋2 −4（本）. （答え）和は2a（本），差は4（本）. この問いの立式のポイントは，A基地のアルミ資材の本数a＋2（本）とB基地のアルミ資材の本数a−2（本）をそれぞれ1つの計算対象として見ることができるかという点である。 a＋2（本）やa−2（本）の中に演算記号r＋」やr一」が残っているために，計算過程とし. てしか見ることができない生徒は，a＋2やa−2の結果を求めようとして，その答えがわからなくなり，和や差を求める式が立式できなかったり，a＋2やa−2を無理矢理結果を求めようとして2aや一2aとして計算したりする。. このような問題では，演算記号が残っている文字式でも，それ以上計算できないものは，. それ自体が結果を表しているということを理解することが大事になってくる。. 一24一.

(28) （ウ）「1次方程式の利用」における「プロセプト的見方」. 問．画用紙を何人かの生徒に分けるのに，1人に3枚ずっ分けると5枚足り. ません。また，1人に2枚ずつ分けると10枚余ります。生徒の人数と画用紙の枚数を求めなさい。（学校図書，数学1，p．83）. （解）生徒の人数をx人とすると，. 3x6−2x＋■0 3x−2x−10＋5 x−15. 画用紙の枚数は，3×15−5−45−5 −40 したがって，生徒の人数は15人で，画用紙の枚数は40枚. 算数の学習においても，このような問題を取り扱う場合があるが，そのときは未知数x. を使わず計算から答えを導き出している。算数での解法の多くは「計算→答え」という順. 序が一般的である。それに対し，1次方程式の利用においては，生徒の人数（答え）をx で表し，それを用いて問題の数量関係を表す式を立式することになる。つまり，「答え→ 式」という順序が，ここでの解法の重要な点である。. 3x−5や2x＋10をそれぞれ計算過程として見ると，方程式3x−5；2x＋10を立式できなくな. る。方程式を立式する際には，左辺も右辺も1つの対象（ここでは画用紙の枚数）を表しているという見方ができることが大切である。. 一25一.

(29) （エ）「因数分解」における「プロセプト的見方」. 問．次の式を因数分解せよ。（x＋y）2−3（x＋y）＋2. （学研「受かる！数検3級」，p．20）. この問いは，以下に示す2通りの解き方が考えられる。（答え）. 解L x＋yをAとおくと， A2−3A＋2＝（A−2）（A−1）. ＝（x＋y−2）（x＋y−1）. 解2．（x＋y）2−3（x＋y）＋2−x2＋2xy＋y2−3x−3y＋2. 認x2＋2yx−3x＋y2−3y＋2 −x2＋（2y−3）x＋（y−2）（y−1）. ＝（x＋y−2）（x＋y−1）. 解1は，x＋yを計算対象として見ている解法である。 X＋yを計算対象として見ることができれば，X＋yをひとまとまりとして計算することができる。その結果，解法が容易になり，計算にかかる時間も短くなる。このような解法が，「プロセプト的見方」の解法である。. 解2は，xとyのそれぞれを計算対象としてみているが，x＋yを計算対象として見てい. ない解法である。式を展開したり，Xの2次式と見て整理し直すなど，計算処理が，解1 に比べてかなり複雑になっている。. 一26一.

(30) 第3章中学校数学の文字式領域における「プロセプト的見方』の調査. 第1節調査の概要 1．調査目的. 第1章と第2章で，中学生の文字式における典型的な間違いの例をいくつか紹介した。その中で，演算記号の残っている文宇式を，計算過程と計算対象の両方として捉えること，. すなわち，文字式の「プロセプト的見方」が，中学校数学の文字式領域の学習内容において，大変重要であることを述べた。. そこで，中学校数学の文字式領域における「プロセプト的見方」の調査を，以下の2点について実施した。. （1）中学校数学の「文字式」領域において，「プロセプト的見方jが中学生にとってどの程度可能なのかを調べる。. （2）「プロセプト的見方」ができる生徒とできない生徒では，文字式の計算や文章題の解. 法にどのような違いがあるのかを調べる。. 一27一.

(31) 2．調査問題. 調査問題は澗題国一問題回の5題で構成されている。（表3）. 表3．調査問題一覧表. 問題の内容. 大問. 問題の意図. （1）（a＋b）（a−b）. 国回. ・式の展開問題において，式のある部分を. （2）（x＋100＋2）（x＋100−2）（3）（x＋y＋3）（x＋y−3）. ひとまとまりとして扱うことができるか. （1）（x＋2）（x＋3）. を見る問題である。. （2）（x＋1＋2）（x＋1＋3）（3）（a＋b＋2）（a＋b＋3）. 6a＋b−2aと等しくなるものを選べ。. ・この問題はプロセプトとは直接関係はな. ア． 4＋b オ． 4X a X b. 国. イ． 4＋a＋b カ． 4X a＋b. いが，文字式の計算規則が理解できてい. ウ． a X4＋b キ． a X a X a X a＋b. るかを見る問題である。. エ． a＋a＋a＋a＋b. 月面のA基地にはアルミ資材がa ＋2（本），B基地にはa−2（本）あります。次の（1），（2）の問に答えてください。. （1）A基地とB基地とのアルミ資材. の合計は何本になりますか。次の① ・a＋2，a−2を計算過程としてでなく， ∼③の中からあなたの考えに当ては. 計算対象として立式し，計算することが. まるものの番号をOで囲み，その理. できるかを見る問題である。. 由を書いて下さい。. ①何本になるか分かる。. 回. ②式は分かるが，何本になるか分からない。. ③A基地もB基地も何本か分からないので，合計は分からない。. 一28一.

(32) （2）A基地のアルミ資材はB基地の. アルミ資材より何本多いですか。次の①∼③の中からあなたの考えに当. てはまるものの番号をOで囲み，そ. 国. の理由を書いて下さい。. ①何本になるか分かる。. ②式は分かるが，何本になるか分からない。. ③A基地もB基地も何本か分からないので，何本多いかは分からない。. マッチ棒で正方形をn個作ったときのマッチ棒の本数（3n＋1）本を参. 考に，マッチ棒で家の形をn個作ったときのマッチ棒の本数を求めなさい。 r／−／一『／一／ーノ』一／−／鐸／−／−！置／−1. 回. ・与えられた正方形n個に必要なマッチ棒. 11コニトー・1二I l. の本数（3n＋1）本を1つのまとまりとし. l l ・ 1 2 一一一一一 n（個）・ l l. て捉え，家の形n個の問題に活かすこと. 』』7／』7／編r／−／』7／窟／−／』r−−／』7／』r／』r』. ができるか。. ヘヘ. 謬. 1 2 一一…一n（個）. 問題国と問題回は，それぞれ（1）の公式を利用して（2）（3）を解く問題である。その. 際，それぞれの括弧の中の式にある共通な部分をひとまとまりとして見ることができるの. か。もしできれば，すぐに（1）の公式を利用して解くことができるだろうし，できなけれ. ば，1つ1つ展開して括弧を外すことになるだろう。例えば問題国（2）では，次のような角峯答が期待できる。. 一29一.

(33) （x＋100＋2）（x＋100−2）篇（A＋2）（A−2）. ＝A2．22 ＝（x＋100）2−4. ＝x2＋200x＋10000−4. ＝x2＋200x＋9996. x＋100をひとまとまりとして見ることができるということは，x＋100をxと100を加えるという計算過程としてではなく，x＋100を計算対象として見ることができるということである。すなわち，「プロセプト的見方jができるということになると考える。問題回は，文字式の基本的な計算規則力弐理解できているかを見る問題である・さら1こ・. 複数の文字式の類似性を判断する際，式の形ではなく，演算の仕組みで判断することができるかを見る問題でもある。. 問題囚は，文章中に与えられたa＋2糊を計算過程としてではなく，計算対象として見ることができるかを見る問題である。問題文中にあるA基地やB基地のアルミ資材の本数a＋2やa−2を，まだ演算記号「＋」や「一」が残っているので計算過程として見てしまうと，a＋2やa−2の計算をしようとしてその結果が分からずに立式できなかったり，a＋2. やa−2を2aや一2aと無理矢理閉じた形にしてしまって誤った式を立ててしまったりするこ. とに成りかねない。このような生徒は，選択肢の③「A基地もB基地も何本か分からないので、合計は分からない。（何本多いかは分からない。）」を選ぶと考えられる。. 問題国は澗題解決場面で与えられた解答や文字式を・次の問題解決に利用できるかを見る問題である。具体的には，与えられた正方形n個に必要なマッチ棒の本数（3n＋1）. 本を1つのまとまりとして捉え，家の形n個に必要なマッチ棒の本数を求める解法に活かすことができるかという問題である。. 問題国と問題回は式の中にある一部分をひとまとまりとして扱うことができるかを. 見る問題で励一方澗題回は問題解決場面において・先に与えられた解答や文宇式をひとまとまりとして扱うことができるかを見る問題である。. この問題を，枠内に与えられた正方形n個のマッチ棒の本数（3n＋1）本をひとまとまり. として考えることができれば，問いに与えられた問題解決場面（マッチ棒で家の形をn個. 一30一.

(34) 作るときのマッチ棒の本数を求めなさい。）の解法に生かせると思われる。その解答の例を次に挙げる。. r／』ワ／億／−／億／−／ーノ』7／』7／一／−／躍1躍ノ窟／蛋／窟／鐸ノーノ御−−、ヘヤ. 1 亀. i／〉〉＼一・／＼i奪驚加わ旋ヤヘ. l l 、』■7ノ』暉r／』■『−』■r／一／』■rノ』■7−ーノ』■「／』■『ノ』■7ノ」■7ノ』■7ノ』■7ノ』■『ノ』■7ノ』■7ノ』■7ノ』■7ノ』■7卜. r／∬／−／−／−／一『／−／一／−／置／−／』7／iノーノー／−／−／−／躍／一、ヤペ. ヤペ. 1 唾. 、』■Fノ』■『／−／』■「／』■『／』■r／−／』■7！』■7／』■7／』■7！」■「／』■r／』■7／』■r／置／』■7／』■7／』■7／』■『、㌧. 求めるマッチ棒の本数＝与えられた部分＋新たに加わった部分. ＝（3n＋■）＋2n. ＝3n＋1＋2n ＝5n＋1. 3．調査方法. 調査時期は，2003年5月中旬である。調査対象は，鹿児島県公立中学校3年生179名と，鹿児島県公立高等学校1年生78名である。調査時間は，30分である。. 一31一.

(35) 第2節結果と分析 1．全体的な傾向の把握. 表4澗題国回国国における正答者と誤答者の割合（人数）. 高校1年生. 中学3年生大問小問. 正答者. 誤答者. 71．0（127）. 無答者. 無答者. 正答者. 26．8（48）. 2．2（4）. 98．7（77）. L3（1）. 0．0（0）. 26．3（47）. 68．7（123）. 5．0（9）. 79．5（62）. 20．5（16）. 0．0（0）. 38．0（68〉. 59，2（106）. 2。8（5）. 9LO（71）. 72．6（130）. 26。8（48）. 0．6（1）. 45．2（81）. 49．2（89）. 5．6（10〉. 84，6（66）. 15。4（12）. 0．0（0）. 40．7（73）. 52，0（93）. 7．3（13）. 87．2（68）. 12．8（10）. 0．0（0）. 10．3（8）. 0．0（0）. 誤答者. ︵1︶︵2︶︵3︶. □. ︵1︶. ︵3︶. 回. 0．0（0）. 0，0（0）. 0．0（0）. ︵2︶. 国. 100，0（78）. 9．0（7）. ア. 87．1（156）. 8．4（15）. 4．5（8）. 89。7（70）. イ. 86．0（154〉. 9．0（16）. 5．0（9）. 100．0（78）. 0，0（0〉. 0．O（0）. ウ. 82．1（147）. 14．0（25）. 3．9（7）. 100．0（78）. 0．0（0）. 0．0（0）. 工. 74。3（133）. 2L8（39）. 3．9（7）. 97．4（76）. 2．6（2）. 0．0（0）. オ. 86．0（154）. 9．5（17）. 4．5（8）. 98．7（77）. 0．0（0）. 1．3（1）. カ. 85．4（153）. 10．1（18）. 4．5（8）. 98．7（77）. 0．0（0）. L3（1）. キ. 83．8（150）. 11．2（20）. 5．0（9）. 94．8（74）. 2．6（2）. 2．6（2）. 67，6（121）. 212（38）. 5. H．2（20）. 10．3（8）. 85．9（67）. 3．8（3）. 表5澗題国における生徒の選んだ選択肢の割合（人数）. 高校 1 年生. 中学 3 年生大問. ①. 無答者. ①. ②. ③. 27．4（49）. 4L9（75）. 10．0（18）. 20．7（37）. 15．4（12）. 52．0（93）. 4，4（8）. 10．6（19）. 33．0（59）. 79．5（62）. ③. 無答者. 75．7（59）. 5．1（4）. 3．8（3）. 10．2（8）. 1．3（1）. 9．0（7）. ②. ︵1︶. 4. 小問. ︵2︶. 一32一.

(36) 図7と図8は澗題国回の正答率を学年別に表したグラフである。. 100. go 80 70 60 50 40 30 20 10. 1 ・一i 1ヨ. ■”. ジ自. 』■. 婦り. 」F. 嫡蕊. 評. レ茎. 『. 冨. γ’蒔乱. ■ゴ』7. P吊ヲ. 書憾二出』櫛. 『. i トリ. ∼．. 這. ∫」…』局 . 一 ■ ’. ウ i’一Pレ’乱 ■．葺議｝・F. 1（1〉 1（2）. 1. ’ r. 望. 、腕』『−，雲・「卿 ’. 三’匪』洗暮一. 1（3）. ＿潔一. 信 . 一尻F. 1一 ■ 曹隔冨’. i一礁丁. 暢rマ. ．．蘇 i. 弓 . ㌧・手 γ. ﹁o君、“ヲ・汽AJ −日呪. 詮5. ヒ. 縛偏凱二万 . 遭1！. 一‘. ﹄へ撃. 雪. 曇. 溜. 濫﹁﹄rl⋮﹃. 0. 100 …. 封．惑遣、・諺・ノ“、N．、門謡vハ﹂. 90 80 70 60 50 40 30 20 10. 2（1〉 2く2） 2（3）. 図7，中学3年生. 図8，高校1年生. 問題国回は澗題の難易度が中学3年生にとっては高く，高校・牲にとっては低い問題であった澗題国では沖学3牲も高校・牲も，（2）の正答率が他の問題と比べて低かった。. 図9と図1・は澗題回の正答率を学年別1こ表したグラフである。. 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10. 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10. 図9。中学3年生. 図10，高校1年生. この問題は，文字式の基本的な計算規則がどのくらい理解できているのかを確認する問. 題である。上の2つのグラフからも分かるように，中学3年生も高校1年生も全ての問題で70％を超えている。特に，高校1年生は，全ての問題で約9割以上の正答率を挙げて. いる。中学3年生は，エの問題の正答率が少し低いものの，それを除く他の問題で80％以上であった。. 一33一.