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（1）① （1）⑳ O）⑳q）無筈12）㊦ （2）鐙 （2）⑳（2）無答
00000000000 0987654321
ii
浦
1北 i
…
…1
訓1門
1
翫礁 一ll，一ll 扁固風…
ノ1一
（1）① （1）② （D⑳ω無答（2）⑪ （2）② （2）⑳〔2）無答
図1L中学3年生
図12，高校1年生これらによると，高校1年生は（1）では選択肢の②を，（2）では①を選ぶ割合が中学3年生 よりも高いことが分かる。一方，中学3年生は（1）も（2）も選択肢の③を選ぶ割合が高校1 年生よりも高くなっている。
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
図13は澗題国の学年別の正答
率を表したグラフである。
高校1年生の正答率が85％を超え
ているのに対して，中学3年生の正 答率は68％である。図13澗題回の正答率
2．各問題における生徒の考え方
高校1年生はほとんどの問題で正解しているので，誤答の多い中学3年生にっいてのみ を分析してみることにした。
（ア燗題□と問題回の解答に見られる中学生の考え方
問題□，回のそれぞれの（2）（3）の計算問題1こおいて，式の一部分をひとまと まりとして見ることができているのかを見るために，生徒が書いた解答の第1式のみを取
り上げ，分析することにした。第1式を分析してみると，以下に示す6つのタイプに分け ることができた。（表6参照）
表6澗題巨］回における（2）（3）の生徒の書いた第・式のタイプ
タイプ
Pl
P2
内 容
ひとまとまりとする部分の文字式をそのままの形で（1）の公式に代入す る方法
（x＋100＋2）（x＋100−2）＝ （x＋100）2−22
＝x2＋200x＋10000−4 ＝x2＋200x＋9996
ひとまとまりとする部分の文字式を別の文字に置き換えて（1）の公式に 代入する方法
（x＋100＋2）（x＋100−2）； （M＋2）（M−2）
＝M2、22 ＝（x＋100）2−4 ＝x2＋200x＋10000−4 ＝x2＋200x＋9996
NPl
①
（x＋100）2−22の展開間違い（P1と同じかもしれないが、真意不明。）
（x＋100＋2）（x＋100−2）＝（x＋100）2−22
＝x2＋10000．4
②
第1項同士，第2項同士，第3項同士の積の和というような展開方法の誤
① ② ③
（x＋100＋2）（x＋100−2）＝x X x＋100×100＋2X（一2）
＝x2＋10000．4
NP2
1っ1つ展開する方法である。
（x＋100＋2）（x＋100−2）＝ x2＋100x−2x＋100x＋10000−200＋2x＋200−4 ＝x2＋100x＋100x−2x＋2x＋10000−200＋200−4 ＝x2＋200x＋9996
NP3
数の計算を先に行ってから展開する方法
（x＋100＋2）（x＋100−2）＝ （x＋102）（x＋98）
＝x2＋（102＋98）x＋102×98 ＝x2＋200x＋9996
NP4
2つの括弧をはずして，全ての和を求める方法
（x＋100＋2）（x＋100−2）＝ x＋100＋2＋x＋100−2
＝2x＋200
※口で囲ってある式が，生徒の書いた第1式。
この6つのタイプのうちで，P1とP2は式の一部分をひとまとまりとして見ることによ って計算することができる方法なので，このタイプを「プロセプト的見方」のタイプと言
うことができる。
表6でNP1に分類した第1式「x2＋10000−4」については，①「（x＋100）2−22の展開間違 い」カ、，②r（x繍2）とする分配法貝1』の間違い」カ、の2通りの計算過程が考え
られる。①はPlと同じ計算方法なので，もし生徒がこのように計算したとすれば，「プ ロセプト的見方」ができていると判断できる。しかしながら，もう一つの計算過程②は，
式の一部分をひとまとまりとして処理する計算方法ではなく，この方法で計算したのであ れば，「プロセプト的見方」ができているとは判断し難い。したがって，第1式「x2＋10000−4」
次に示す表7一表1・は澗題国と問題回の（2）（3）の第・式をどのように書
いているのかを，中学3年生の解答から取り上げ，上に示した6つのタイプに分けたもの である。これらの表を分析することによって，中学3年生が計算問題において，式の一部 分をひとまとまりとしてどの程度扱うことができるかが分かると思われる。表7澗題国（2）の第・式の分析
第 1 式
タイプ 割合（人数） 正答者 誤答者①（x＋100）2−22 P1 8．4（15） 20．0（3） 80．0（12）
②x＋100＝Mとおく。 P2 2．8（5） 40．0（2） 60．0（3）
③x2＋100x−2x＋100x＋10000−200＋2x＋200−4
NP2
40．8（73） 50．7（37） 49．3（36）④x2＋10000−4
NPl
12，9（23） 0．0（0） 100．0（23）⑤（x＋102）（x＋98）
NP3
12．3（22） 22．7（5） 77．3（17）⑥x＋100＋2＋x＋100−2
NP4
6。7（12） 0．0（0） 100．0（12）⑦x2＋200
2．2（4） 0．0（0） 100．0（4）⑧（x＋100・2）2 茎．7（3） 0，0（0） 100．0（3）
⑨x2＋10000 1．1（2） 0．0（0） 100．0（2）
⑩（x＋100）（x＋100） 1．1（2） 0．0（0） 100．0（2）
⑪その他 5．0（9） 0．0（0） 100．0（9）
⑫無答 5．0（9） 0。0（0） 100．0（9）
合 計 100．0（179〉 26．3（47） 73．7（132）
この問題で，x＋100をひとまとまりとして見ることができた中学3年生は，全体の約1 1％で，そのうち正答者は25％であった。
表8澗題□（3）の第・式の分析
第 1 式
タイプ 割合（人数） 正答者 誤答者①（x＋y）2−32 PI 10．6（19） 52．6（10） 47．4（9）
②x＋y＝Mとおく。 P2 3．4（6） 50．0（3） 50。0（3）
③x2＋xy−3x＋xy＋y2−3y＋3x＋3y−9
NP2
43．6（78） 70．5（55） 29．5（23）④X2＋y2−9
NPl
17．9（32） 0．0（0） 100．0（32）⑤x＋y＋3＋x＋y−3
NP4
L7（3） 0．0（0） 100．0（3）⑥2x＋2y 3．9（7） 0。0（0） 100．0（7）
⑦X2＋y2 2．8（5） 0．0（0） 100．0（5）
⑧（x＋y−3）2 2．2（4） 0．0（0） 100．0（4）
⑨x2＋y2＋3 Ll（2） 0．0（0） 100．0（2）
⑩xy
L1（2） 0．0（0） 100．0（2）⑪x2＋（y＋y）＋3x（一3） 1．1（2） 0．0（0） 100．0（2）
⑫その他 7．8（14） 0．0（0） 100．0（14）
⑬無答 2．8（5） 0．0（0） 100，0（5）
合 計 100．0（179） 38．0（68） 62．0（132）
⑥ははっきりしないが，1つの考え方としてはNP4と同じように頭の中で考えて解い たと思われる。
この問題で，x＋yをひとまとまりとして見ることができた中学3年生は，全体の約14
％で，そのうち正答者は52％であった。
表9澗題回（2）の第・式の分析
第 1 式
タイプ 割合（人数） 正答者 誤答者①（x＋1）2＋（2＋3）（x＋1）＋2×3 Pl 1．7（3） 0．0（0） 100．0（3）
②x＋1＝Mとおく。 P2 3．3（6） 50．0（3） 50．0（3）
③x2＋x＋3x＋x＋1＋3＋2x＋2＋6
NP2
45，2（81） 74。1（60） 25．9（21）④（x＋3）（x＋4）
NP3
10．6（19） 94．7（18） 5．3（1）⑤x2＋1＋6
NPl
9．5（17） 0．0（0） 100．0（17）⑥x＋1＋2＋x＋1＋3
NP4
5．6（10） 0．0（0） 100．0（10）⑦x2＋（1＋2＋1＋3）x＋1×2×1×3 3．9（7） 0．0（0） 100．0（7）
⑧x2＋2x＋6 2．8（5） 0．0（0） 100．0（5）
⑨3x＋4x＋x2＋7x＋11 L7（3） 0．0（0） 100．0（3）
⑩x2＋5x＋6 Ll（2） 0．0（0） 100．0（2）
⑪x2＋7x＋11 0．6（1） 0．0（0） 100．0（1）
⑫x2＋7x＋9 0．6（1） 0。0（0） 100、0（1）
⑬x＋1＋2X x＋1＋3 0，6（1） 0．0（0） 100．0（1）
⑭その他 7．2（13） 0．0（0） 100．0（13）
⑮無答 5．6（10） 0．O（0） 100．0（10）
合 計 100．0（179） 45．3（81） 54．7（98）
⑦は，公式（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）＋aXbに代入して解いたと思われる。
④は，数の計算を先に行ってから展開する方法を使っているが，この問題の場合，x＋1 をひとまとまりとして扱うより，この方法の方が簡単に計算できることから，この方法を 選択したすべての生徒が，x＋1をひとまとまりとして見ることができない生徒であるとは 言えない。しかし，④を選択した生徒のうち，どの程度の生徒がx＋1をひとまとまりと して見ることができるかは分からないので，ここでは，x＋1をひとまとまりとして見るこ とができた生徒の中には入れないことにする。
この問題で，x＋1をひとまとまりとして見ることができた中学3年生は，全体の5％で，
表1・澗題回（3）の第・式の分析
第 1 式
タイプ 割合（人数） 正答者 誤答者①（a＋b）2＋（2＋3）（a＋b〉＋2x3 Pl 2．2（4） 0。0（0） 100，0（4）
②a＋b二Mとおく。 P2 3．9（7） 71．4（5） 28．6（2）
③a2＋ab＋3a＋ab＋b2＋3b＋2a＋2b＋6
NP2
53．7（96） 70，8（68） 29，2（28）④a2＋b2＋6
NPl
7．8（14） 0。0（0） 100。0（14）⑤a＋b＋2＋a＋b＋3
NP4
4．5（8） 0．0（0） 100．0（8）⑥a2＋b2＋5 3．4（6） 0．0（0） 100，0（6）
⑦2ab＋3ab 2．2（4） 0．0（0） 100．0（4）
⑧a2＋ab2＋6 Ll（2） 0，0（0〉 100，0（2）
⑨a2＋b2＋5ab＋6 L1（2） 0．0（0） 100。0（2）
⑩a2＋2ab＋6 1．1（2） 0。0（0） 100，0（2）
⑪a2＋ ｛（b＋2）＋（b＋3）｝ x a＋（b＋2）X（b＋3） 1．1（2） 0．0（0） 100．0（2）
⑫2abX3ab
0．6（1） 0．0（0） 100，0（1）⑬その他 10．0（18） 0．0（0） 100，0（18）
⑭無答 7．3（13） 0．0（0） 100、0（13）
合 計 100．0（179） 40．8（73） 59．2（106）
この問題で，a＋bをひとまとまりとして見ることができた中学生は，全体の約6％で，
そのうち正答者は約45％であった。
（イ）文字式の計算規則を見る問題に見られる中学生の考え方一問題国一
次の表llは，正答数ごとに生徒を分け，ア〜キのどの問題で間違えているかをまとめ たものである。
表11澗題回の正答数ごとで各問題を間違えた割合
正答問題数 割合（人数） ア イ ウ 工 オ カ キ
7問（全問正解） 65．9（118） 0．0（0） 0．0（0） 0．0（0） 0．0（0） 0．0（0） 0．0（0） 0．0（0）
6問（1問諮） 9．5（17） 17．6（3） 11．8（2） 5．9（1） 4Ll（7） lL8（2） 0．0（0） lL8（2）
5問（2騒答） 3．9（7） 0．0（0） 0．0（0） 7．1（1） 42．9（6） 0．0（0） 7，1（1） 42．9（6）
4問（3騒答） 5．6（10） 3．3（1） 6．7（2） 26．7（8） 33．3（10） 3。3（1） 20．0（6） 6，7（2）
3問（4離答） 7．8（14） 10．7（6） 14、3（8） 16．1（9） 19．6（II） 16．1（9） 10．7（6） 12．5（7）
2問（5騒答） 0．6（1） 20．0（1） 0．0（0） 20．0（1） 0，0（0） 20．0（1） 20，0（1） 20．0（1）
1問（6問誤答） Ll（2） 16．7（2） 16．7（2） 8．3（1） 16．7（2） 16．7（2） 16．7（2） 8．3（1）
0問（全問誤答） L7（3） 14．3（3） 14．3（3） 14．3（3） 14．3（3） 14，3（3） 14，3（3） 14．3（3）
無 答 者 3．9（7）
合 計 100（179）
（ ）は、延べ人数
上の表から，全体の34．1％の中学3年生が1問以上の問違いをした。
1問だけ誤答した生徒17名のうち7名がエの問題を間違えた。2問間違えた生徒は，エ とキの問題を多く間違えていた。3問間違えた生徒は，1番多く間違えた問題はエで，次 いでウ，カとなっている。したがって，間違いの少ない（3問誤答まで）生徒たちは，ま ずエで間違い，次にキを間違う。そして，ウあるいはカを間違える。4問以上誤答のある 生徒たちは，前述したような傾向はなく，いろんな問題で間違えていた。
エを間違えた理由は，a＋a＋a＋a＋b瓢a4＋bと計算したために4a＋bとは異なると判断したも のがほとんどを占めていた。キを間違えた理由は，a×a X a X a＋bニ4a＋bと計算したためで
（ウ）問題□に見られる中学生の考え方
この問題は，文章問題中にa＋2やa−2が与えられているが，それらをそれぞれ加法や減 法の計算過程ではなく，A基地とB基地のアルミ資材の本数という計算対象として見るこ とができるかを調べる問題である。表12，表13は，（1）（2）それぞれの選択肢①〜③ に対して，中学生が挙げた理由を人数の多い順に整理したものである。
表12澗題囚（・）で①一③を選択した理由
理 由 割合（人数）
①
（a＋2）＋（a−2）＝2 a 63．4％（31）
（a＋2）（a−2）＝a2−4 16。4％（8）
（a＋2）（a−2）一a2 4．1％（2）
（a＋2）＋（a−2）＝0 4．1％（2）
（a＋2）＋（a−2）＝a2 2．0％（1）
a＋2＝3，a−2；1で、3＋1＝4 2．0％（1）
a＋2＝2a，a−2一一2aで、2a＋（一2a）一一4a 2．0％（1）
a＝0として、2＋（一2）＝0 2．0％（1）
a＋2＝a−2を解く 2．0％（1）
a＋2＝3a，a−2＝aで、3a＋1a＝4a 2。0％（1）
②
（a＋2）＋（a−2）篇2aになるが、aが分からないので答えがわからない。 72．0％（54）
（a＋2）（a−2）＝a2−4になるが、aが分からないので答えがわからない。 10．7％（8）
（a＋2）＋（a−2）＝a2になるが、aが分からないので答えがわからない。 5．4％（4）
（a＋2）＋（a−2）＝aになるが、aが分からないので答えがわからない。 2．7％（2）
式は（a＋2）＋（a−2）になるが、計算の方法が分からない。 2．7％（2）・
a＋2，a−2の値が分からないから、答えもわからない。 L3％（1）
（a＋2）＋（a−2）＝a2−4になるが、全体が何本かはわからない。 1．3％（1）
（a＋2）＋（a−2）＝2 a＋（一2 a）＝2 a−2 a 1．3％（1）
（a＋2）（a−2）＝2a＋4になるが、本数はわからない。 L3％（1）
式で答えを出しても、いまいちよくわからない。 1．3％（1）
③
aの値が分からないから、合計が出ない 55．5％（10）
求め方が分からない（式が立てられない） 33．3％（6）
（a＋2）＋（a−2）＝a＋2＋a−2＝a 5．6％（1）
計算しても、答えがバラバラになる 5．6％（1）
表13澗題国（2）で①一③を選択した理由
理 由 割合（人数）
①
（a＋2）一（a−2）＝4 30，0％（28）
aを基準にし、A基地はaより2本多く、B基地はaより2本少ないのでA基地が4本多い。 25．8％（24）
aは同じ数なので、＋2と一2だけで考えると、＋2一（一2〉＝4 22．6％（21〉
aに数字を代入して計算すると、A基地が4本多い。 12。9％（12）
A基地がB基地より2本多い（A… ＋2，B・・一2だから） 3．2％（3）
（a＋2）一（a−2）；（a＋2）＋（一a＋2）＝一a 2＋4 1．1％（1）
（a＋2）一（a−2）；a＋4 Ll％（1）
（a＋2）一（a−2）＝a＋2＋a＋2＝2 a＋4 1。1％（1）
a＋2＝3a，a−2篇1aだから、3a−l a＝2a 1．1％（1）
A基地はa＋2なので2本多く、B基地はa−2なので2本足りないから Ll％（1）
②
（a＋2）一（a−2）だが、aの値が分からないので、本数は分からない。 87．5％（7）
a＋2はa−2より（a＋4）本多い。 12．5％（1）
③
A基地もB基地も何本か分からないから 63．1％（12）
式の作り方が分からない 15．8％（3）
（1）の問題が分からないと、式ができないから 10．5％（2）
aの値が分からないから 5．3％（1）
計算しても答えが出るか分からない 5．3％（1）
③を選択した生徒は，その理由として書いている内容から，a＋2，a−2を計算対象とし て見ていない，すなわち，「プロセプト的見方」ができていないと考えられる。
1つの文字式が計算過程と計算対象の両方を意味することは，中学校数学の教科書にも 下記のように説明されている。
O数量を表す式
文章で表された数量を，文字式を使って蓑してみましょう。
まず，1つの文字を使います。
⑳（1｝ 1000円持っていて，
ノ〆i＆ol）円…一．實
調働たと細搬 誘
lOOO一薩（門）
（211辺の鍵がわcmの Zク＼
正慧角形の周りの畏さ 醜m 魔m ／ ＼
わx3（cm〉 ！
（3）畏むlnのテーブを， ＼みcm／
4等分したときの1本
〆…記m一＿
分の畏さ 郎÷4（m）
文字戎では，答えを求めるための計算の式，たとえば，
1000−4（円〉が，そのま談答えの数量を衷すこともあります。
図14．教科書の説明（学校図書「中学校数学1」 p．53）
それにもかかわらず，③「A基地もB基地も何本か分からないので，計算できない。」を 選択した中学生が全体の約1割もいたことは，このことが十分理解されていないと考えら
れる。
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「解法A」は，例で示された正方形n個に必要なマッチ棒の本数3n＋1を使って，それ にマッチ棒2本でできた屋根の部分2nを加える方法である。この解法は，例で示された 正方形n個に必要なマッチ棒の本数3n＋1をひとまとまりとして捉えることによって，家
の形n個に必要なマッチ棒の本数を求める問題に生かすものである。
「解法B」は，例で示された正方形n個のマッチ棒の本数を求める考え方のみを参考に して，新たなマッチ棒5本のまとまりを作って解く方法である。
また，表14は，中学3年生の解答における「解法A」，「解法B」，「その他」のそれぞ れの正答率をまとめたものである。
表14．生徒の解答における解法Aと解法Bの割合（人数）
解 法 選択した割合 正答誤答の割合
解法A 10．6（ 19）
正 答
63．2（12）
誤 答
36．8（ 7）
解法B 53，6（ 96）
正 答
94．8（91）
誤 答 5．2（ 5）
その他
9．5（ 17）
正 答 0．0（．0）
誤 答 1 0 0． 0 （1 7）
答えのみ
15．1（ 27）
正 答
66．7（18）
誤 答
33．3（ 9）
無 答
11。2（ 20）
合 計 1 00． 0 （1 79）
正方形n個に必要なマッチ棒の本数3n＋1をひとまとまりとして見て，家の形の問題に 生かす解法Aを使って解いた生徒は，全体の約1割いた。そのうち，約60％の生徒が正
解であった。
一方，正方形n個に必要なマッチ棒の本数の求め方を参考にして家の形の問題を解いた 解法Bを使って解いた生徒は，全体の約5割いた。そのうちの約95％の生徒が正解であ
った。