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統 計 的 推 論 に つ い て

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一37一

ベ イ ジ ア ン の 決 定 理 論 と

統 計 的 推 論 に つ い て

西 川 欽 也

周 知 の よ うに,現 代 統 計 理 論 の 主 流 を なすNeyman‑Pearson理 論 お よ び そ の 延 長 と 考 え られ るWaldな ど の 統 計 的 決 定 関 数(statisticaldecision

function)の 理 論 は,そ の 基 礎 を な す 確 率 解 釈 に お い て,き わ め て 厳 密 な 頻 ..

度 説 を と る 。 す な わ ち,推 論 や 決 定 一 この 理 論 で は 一 般 に 推 論 も決 定 の 一 一 種 と考 え られ る一 に 要 求 され る も ろ もろ の 望 ま しい 性 質 は,同 一 の 方 式 で の 推 論 な り決 定 な りを,同 一 対 象 に つ い て 同 一 条 件 で 独 立 に 多 数 回 反 覆 す る

こ と を 通 して,平 均 的 に 達 成 され る も の と考 え られ て い る の で あ る 。 この よ . うな 想 定 は,同 一 母 集 団 か ら標 本 が 反 覆 抽 出 され て,同 一 種 類 の判 定 が 繰 返 され て い く抜 取 検 査 の よ うな 場 合 に は,全 く妥 当 な も の で あ る が,一 つ の 知.

識 の 獲 得 が 常 に,対 象 に つ い て の よ り進 ん だ 知 識 に 到 達 す る た め の 新 た な 基 礎 と な る科 学 的 推 論(scientificinference)や,実 行 が 許 され る 決 定 ば た だ 一 回 限 りで あ り,そ の 決 定 の 実 行 に よ っ て 決 定 者(decisionmaker)が わ カレ れ て い る条 件 が 変 化 して し ま う ビ ジ ネ ス ・デ シ ジ ョ ソの 多 くの 場 合 な ど に お

い て は,明 か に 不 適 切 で あ り,例 え ばNeyman‑Pearson理 論 に お け る 「不 偏 性unbiasedness」 な ど決 定 や 推 論 の 良 さ の 基 準 と な る 多 くの諸 性 質 は, そ の 現 実 的 な 意 味 を 欠 く こ と に な る 。 そ れ 故,こ の よ うな 領 域 で の 決 定 や 推 測 の 理 論 は,こ う し た 頻 度 説 と は 大 な り小 な り異 な っ た 確 率 解 釈 に 立 っ た,

した が っ てNeyman‑Pearson理 論 と は 本 質 的 に 異 質 な 観 点 か らす る理 論 展 ・ 開 を 要 求 され る の で あ る。 統 計 的 推 論 を 科 学 的 推 論 の 一 部 分 と 考 え るR.A.・

ee本 稿 は北海 道経済 学会第28回 研 究報 告会(11月7日 於 北海 道大学農 学部)で の報 告を 加筆 ・修 正 した ものであ る。

(2)

一38一 商 学 討 究 第15巻 第4号

Fisherの 理 論,お よび最 近 次 第 に そ の 支持 者 を増 してい る ベ イ ジ ア ソ理 論 は,こ う した 要 求 の上 に 立つ もの であ る 。こ こで は ベ イ ジア ソ理 論 の基 礎 的部 分 で の 最 近 の主 要 な理 論 的 進 歩 を概 観 し,そ の意 義 と問 題 点 を 考 え てみ た い 。

§1.ベ イ ジ ア ソ の 基 本 原 則

ひ と くち に ベ イ ジ ア ン とか ネ オ ・ペ イ ジ ア ソ と呼 ば れ る人 た ち も,そ の 確 率 に つ い て の 考 え 方,こ とに 統 計 的 推 論 に 際 して の 事 前 確 率 の 与 え 方,な

の 点 で,必 ず し も一・様 で な い 。 またFisherに よれ ぽ,Bayes自 身 の 事 前 確 率 に つ い て の 考 え 方 は,そ れ が 客 観 的 に 定 め られ る場 合 に,今 日Bayesの 理 と して 知 られ る逆 確 率 の 公 式 に 結 合 され る と い う こ とで あ っ て,こ の 点 か らす れ ば 主 観 確 率 や 無 知 を 表 わ す 確 率 分 布 を 事 前 確 率 と し て 導 入 す る 現 代 の ベ イ ジ ア ソは,む し ろ ラ プ ラ シ ア ソ(Laplacian)と か,よ り端 的 に は,現 代 の ベ イ ジ ア ソ ・ア プ ロ ー チ の骨 組 を 与 え たSavageの 名 に よ っ て,サ ベ イ

ジ ア ソ(Savagian)と で も呼 ぶ の が 適 切 で あ るか も知 れ な い 。

論 点 を 整 理 す る た め こ こで は,と もか くSavageを も っ て 典 型 的 な 代 表 者 とす る現 代 の ベ イ ジ ア ソを 特 徴 づ け る も の と して,次 の 三 つ の 基 本 原 則 を 挙 げ る こ とに し よ う。 個 々の ベ イ ジ ア ンは,以 下 の 原 則 の うち,こ とに 確 率 解 釈 や 最 適 決 定 規 則 の 意 味 づ け(normativeかexperimentalか と い っ た こ

と)な どの 点 で 多 少 の 差 異 を も っ て い る が,大 筋 に お い て これ らの 原 則 を 採 1用す る 点 で は 共 通 し て い る と言 っ て よか ろ う。

(1)主 観 確 率 確 率 は 命 題 の 信 頼 度(degreeofbelief)を 示 す も の と 考 え,こ の よ うな 確 率 は 決 定 者 な り,推 論 を 行 お う とす る も の が 個 々 の 命 題 鱒 対 して 主 観 的 に 抱 い て い る信 頼 の 程 度 をexplicitに ひ き 出 す こ とに よ っ て 定 め られ る と し,い わ ゆ る 主 観 確 率(subjectiveprobability)あ る い は 個 人 的 確 率(personalprobability)が,不 確 実 性 の 指 標 と して,決 定 や 推 論 の 基 礎 に 導 入 さ れ る 。

期 待 効 用 仮 説 一 この よ うな 確 率 解 釈 の 上 に 立 っ て,不 確 実 性 下 の 合

(3)

ベイ ジア ンの決定理 論 と統計 的推論 について(西 川) 一39一

理 的 行 動 に お け る最 適 決 定 規 則(optimaldecisionrule)は,期 待 効 用 の 最 大 化(maximizationofexpectedutility)で あ る とす る 。 この 場 合,効 をNeumann‑Morgensternの 意 味 で 考 え る こ と は 言 う ま で も な い 。

(3)尤 度 原 理 一 統 計 的 推 論(statisticalinference)は,実 験 デ ー タか ち 得 られ る情 報 を,ベ イ ズ の定 理 に よ っ て,未 知 母 数 に つ い て の 事 前 分 布 に 結 合 し,こ れ を 事 後 分 布 に 変 換 す る こ と で あ る と考 え る 。 こ の場 合,実 験 デ ー タ の 情 報 は 「尤 度(likelihood)」 の 形 で と ら え られ,実 験 デ ー タ の 情 報 は す べ て これ で 代 表 され る と考 え,尤 度 が 等 しけ れ ば,同 一 の 事 前 分 布 か らは

常 に 共 通 の 結 論 す な わ ち 共 通 の 事 後 分 布 が 導 か れ る と い う 意 味 で

,尤 度 原 理(likelihoodprinciple)が 採 用 され る こ と に な る。

§2.ベ イ ジ ア ソ理 論 の 根 本 問 題

ベ イ ジア ソは これ らの原 則 を,不 確 実性 下 の合理 的行 動 を規 定 す る一連 の 公 理 か ら演 繹 的 に 導 出す る。 ベ イ ジア ソの功 績 の一つ ほ,統 計 的決 定 や 推 論

の す べ て を,不 確 実 性 下 の 合 理 的 行 動 に よ っ て は っ き り と基 礎 づ け る理 論 構 .成 を うち た て た こ とで あ る 。 だ が そ の 際 本 質 的 な 役 割 を 果 す 主 観 確 率 や 効 .用 は,評 価(evalution)を 必 要 とす る概 念 で あ り,し か も頻 度 確 率 の よ うに 簡 .単 な 実 験 に よ っ て 客 観 的 で,安 定 した 値 を 定 め う る と い う よ う な もの で な く,評 価 手 続 の 如 何 に よ っ て 大 き く変 り うる不 安 定 な 概 念 で あ る 。 した が っ

て これ らを 明 確 に 概 念 規 定 し

,ま た そ の 評 価 が そ れ に 対 応 して 一 義 的 に な さ れ る よ うな し っか り した 評 価 手 続 を 定 め て お く こ とが 必 要 で あ る 。

ベ イ ジ ア ソの 公 理 体 系 は,こ れ ら主 観 確 率 と効 用 の 概 念 規 定 な らび に そ の 評 価 手 続 を 定 め る 部 分 と決 定 の 基 礎 を な す 選 好(preference)の 首 尾 一 貫 性 1〈coherenceま た はconsistency)を 定 め る 部 分 と を,一 般 に そ の 主 要 構 成 要 素 と して 含 ん で い る 。 こ の 公 理 体 系 が 不 確 実 性 下 の 合 理 的 行 動 とベ イ ジ ア

ソが ま さに 考 え る と ころ の も の の も っ と も基 本 的 な 部 分 を 示 し て い る わ け だ .か ら,そ の 内 容 が こ の よ うな も の と して じ ゅ うぶ ん 説 得 的 で あ る か,ま た 現

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一40一 商 学 討 究 第15巻 第4号

実 に 検 証 し うる もの と な っ て い る か に よ っ て,そ の 理 論 全 体 の 説 得 力 と現 実 三 へ の 適 用 可 能 性 は 定 ま る 。 ベ イ ジ ア ン理 論 の い ち ば ん の 土 台 を な す こ う した一 公 理 体 系 の 確 立 は,何 と言 っ て も ベ イ ジ ア ンの 第 一 の 根 本 問 題 で あ る 。

しか し,ベ イ ジ ア ン理 論 に つ い て も っ と もcontroversialな 問 題 は,そ の ・ 統 計 的 推 論 に つ い て 起 る 。 一・つ は,未 知 母 数 に つ い て の 事 前 分 布 を ど の よ う' に 定 め る か とい う問 題 で あ り,い ま一 つ は,尤 度 原 理 の 妥 当 性 で あ る 。 これ ・

らは 特 に,決 定 理 論 と 区 別 され る意 味 で の 統 計 的 推 論 を 問 題 に す る と き,す な わ ち 与 え られ た デ ー タか ら どれ だ け の こ とが 言 え る か とい う デ ー タ分 析 の' 意 味 で の 統 計 的 推 論 を 考 え る と き,大 き な 論 争 点 と な る 。 筆 者 は こ の 問 題 を' こ こで は ベ イ ジ ア ン理 論 の 第 二 の根 本 問 題 と して と りあ げ た い 。 但 し,尤 原 理 は ベ イ ジ ア ン固 有 の も の で は な く,こ の 原 理 の 妥 当 性 は ベ イ ジ ア ソ よ り

もむ し ろFisher,Barnardな ど に よ っ て 早 くか ら 論 じ られ て い る と ころ で 『 あ る の で,統 計 的 推 論 に 関 す る ベ イ ジ ア ン理 論 の 問 題 点 と して は,こ こで は.

も っぱ ら事 前 分 布 の 定 め 方 を と りあ げ,ま た これ と関 連 して,Fisherの 推 漁 確 率(fiducialprobability)と ベ イ ジ ア ンの 事 後 分 布 と の 関 係 に ふ れ た い と一 思 う。(尤 度 原 理 の 妥 当 性 に つ い て は,例 え ばBirnbaum〔2〕 を 見 よ 。)

§5.公 理 体 系 に 関 す る最 近 の 発 展

主 観 確 率 の 概 念 を 公 理 化 す る 試 み は,Savage〔21〕 に よれ ば,1926年 の ・ Ramsey〔18〕 に は じ ま り,そ の 後,こ れ とほ と ん ど 独 立 に 遂 行 され たde Finetti〔4〕,1(oopman〔13〕 を 経 て1950年 のGood〔10〕,1954年 のSavage‑

〔19〕 に 至 っ て は じめ て,主 観 確 率 が 統 計 学 と の 関 連 に お い て と りあ げ られ る に 至 っ た と言 わ れ て い る 。 こ と に 不 確 実 性 下 の 合 理 的 行 動 を 公 理 化 し,こ れ か ら定 量 的 な 主 観 確 率 お よ び 効 用 を 演 繹 的 に 導 い た の は,Savageの 功 績=

で あ る 。 ベ イ ジ ア ソの 公 理 体 系 の 骨 組 は,Savage〔19〕 に よ っ て,一 応 完 成.

さ れ た と 言 っ て よ い 。

しか しSavageの 公 理 体 系 は,そ れ が 不 確 実 性 下 の 行 動 の 合 理 的 規 範 と し.

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ベイ ジァ ンの決定理 論 と統 計的推 論につい て(西 川) 一41一

て もつ 含 み を 必 ず し も具 体 的 な,容 易 に 理 解 で き る形 で 示 して い る とは 言 い 難 く,ま た 主 観 確 率 の 存 在 は 証 明 され て い るが,そ の 実 際 の 評 価 手 続 は 具 体 的 で な い 。 ベ イ ジ ア ンに と っ て 主 観 確 率 は,explicitに,か つ また 具 体 的 な 数 値 と して,実 際 に 評 価 さ れ う る も の で あ る こ とが,そ の ア プ ロー チ を 現 実 に 遂 行 して い く場 合,ど う して も必 要 で あ る 。 主 観 確 率 は,そ れ が あ る 命 題 に 対 し て根 源 的 に は 決 定 者 の 心 に 抱 か れ て い る もの で あ る と い う限 りに お い て 主 観 的 な の で あ っ て,そ れ を評 価 す る過 程 や 評 価 の 結 果 得 られ る確 率 分 布 は,具 体 的 で,あ い ま い さ の な い もの で なけ れ ば な らず,特 定 の 決 定 者 の

「主 観 確 率 」 と して は,他 の い か な る もの に と っ て も共 通 な,一 義 的 な 評 価 結 果 を もた らす と い う意 味 で,客 観 的 な も の で な け れ ば な らな い 。 した が っ て 公 理 体 系 は,こ の 評 価 過 程 が な るべ く具 体 的 で,容 易 な,客 観 的 な プ ロ セ ス と して 遂 行 され る形 で 提 示 され て い る こ とが 望 ま しい 。 つ ま り実 体 的 な 意 味 で 主 観 確 率 が 客 観 的 に 存 在 す る とい う こ と を 示 す の み な らず,そ の 評 価 過 程 を この よ うな も の と してexplicitに 含 む よ うな 公 理 体 系 で あ る こ とが 望 ま しい 。

ベ イ ジ ア ンの 公 理 体 系 に つ い て の 最 近 の 進 歩 の 一 つ は,こ う した 意 味 で の

"simplification"の 方 向 を 指 して い る よ うに 思 わ れ る

。Anscombe‑Aumann

〔1〕,Pratt‑Raiffa‑Schlaifer〔17〕 は,い ず れ も こ の 方 向 に お い て 共 通 して い る 最 近 の 業 績 で あ る 。す な わ ち,両 者 は 共 に 頻 度 確 率 が 定 め られ るreference lotteryと の 選 好 関 係(Preferencerelation)を 通 して,主 観 確 率 をexplicit

に 評 価 す る と い う行 き方 を と る こ と に よ っ て,こ の 要 請 に 答 え る の で あ る 。 次 に ベ イ ジ ア ン理 論 が 想 定 し て い る不 確 実 性 下 の 合 理 的 行 動 の規 範 が ど う い う も の で あ る か を 例 示 す る便 宜 の た め,こ こで はPratt‑Raiffa‑Schlaifer の 公 理 体 系 を 簡 単 に 要 約 して お く こ とに し よ う。

こ の 公 理 体 系 の か な め と も言 うべ きreferenceIotteryはcanonicallottery

と 呼 ぼ れ る もの で あ る 。 す な わ ち,X=={x:O≦ ン≦1},Y=:{γ'O:S;ptK1}と 直 積 空 間x×Yの 上 の 任 意 の 二 つ の 区 間1,Jに よ っ て,(x,γ)el,(x.Pt)eJ

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一42一

商 学 討 究 第15巻 第4号

い ず れ の 場 合 に も 等 しいprizeを 与 え る よ う な 二 つ のlotteryI・,IJを め る と き,決 定 者 は1の 面 積 がJの 面 積 よ り大 な る 場 合 に 限 り,IiをIJに 対 して 選 好(prefer)す る と 仮 定 す る 。 こ の 仮 定 が 満 足 され るXxy上

定 め られ た10tteryがcanonicallotteryで あ る 。 言 うま で もな く,Prize が 等 しい と きそ れ に よ っ て の み 選 好 が 行 わ れ る任 意 の 区 間1,J等 の 面 積 は, 1,J等 に 対 応 す る頻 度 確 率 と解 釈 で き,そ の 場 合,x×y上 の 各 点 に 対 して

は 一 様 な確 率 分 布 が 対 応 す る こ とに な る

。Pratt‑Raiffa‑Schlaiferは そ れ 故 こ の 面 積 をcanonicalchanceの 名 で 呼 ん で い る 。

さ て,現 実 の あ る 決 定 に よ っ て も た ら され る 可 能 性 が あ る 任 意 の 結 果 (consequence)cに 対 して,あ るcanonicalchanceπ(c)を も っ て 最 も望 ま

しい 結 果eeeを,1一 π(c)な るcanonicalchanceで 最 も望 ま し くな い 結 果 dyを 与 え るcanonicallo七teryを 対 応 させ,決 定 者 がcと このcanonical lotteryと の 選 好 に お い て 無 差 別(indifferent)で あ る な らば,cの 効 用 を π(c)と 評 価 す る 。 こ の よ うな 無 差 別 な 選 好 関 係 を 成 り立 た せ る 武Cceの 在 を 仮 定 す る の が,効 用 の 評 価 を定 め る公 理 で あ る 。

同 様 に,任 意 の 現 実 の 事 象(realworldevent)E。tlこ 対 して,E。 が 起 れ ばcee,起 らな け れ ぽc,)eを もた らすlotteryと,あ るcanonicalchance

P(E。)を もつX×y上 の 区 間Y。 に 入 れ ば6乾 入 らな け れ ばCeeを 与 え る canoniCallotteryと を 考 え,決 定 者 が 両 者 の 選 好 に お い て 無 差 別 で あ る な ら ば,Eeに つ い て の 主 観 確 率 をP(.E・)と 評 価 す る 。 す な わ ち,こ の よ うな 無 差 別 な 選 好 関 係 を 成 り立 た せ る 武 舛 の 存 在 を も っ て,主 観 確 率 の 評 価 を 定 め る公 理 とす る の で あ る 。

この 公 理 体 系 で は,す べ て の 結 果 は,一 般 に 現 実 の 事 象 を す べ て そ の 部 分 空 間 と し て 含 む 事 象 空 間Eと 先 に 定 義 したx×yと の 直 積 空 間E×x×yの 上 で 定 義 さ れ るlotteryと して 解 釈 さ れ,し た が っ て 一 切 の 選 好 関 係 は lotteryの 間 の選 好 関 係 と して 扱 わ れ る 。そ して 合 理 的 行 動 の 首 尾 一 貫 性 を 規 定 す る公 理 と し て は,こ の 選 好 関 係 に つ い てtransitivityとsubstitutability

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ベイ ジア ンの決定理論 と統 計的推 論につい て(西 川) 一43一

乏 を 要 求 す る の で あ る 。 す な わ ち

〈tranSitiVi七y)1,≦12カtsつ ゐ ≦13⇒1■ ≦13

'(substitutability)∫,={ltj},le…{1'/j}と す る と き,す べ て の ブ に つ い てltj

・〜1"5の と き に 限 1ノ〜1"

vで あ る

。 但 しls≦lvはrl,はliよ り選 好 さ れ な い 」 と読 み,ls〜IJはrl,と とは 無 差 別 で あ る」 と読 む 。 な お,li<ljは,IJが1̀に 対 して は っ き り と

選 好 され る こ と を 表 わ す 記 号 と して 用 い られ る 。

以 上 の 公 理 よ り,Pが 確 率 の 公 理 を 満 足 す る こ と,Pお よ び π が 一 義 的 で

.あ る こ と,最 適 決 定 が 期 待 効 用ll・ 一ΣP(È)π(Cc)を 最 大 化 す る も の で あ る

こ とが 示 され る。 但 し,現 実 の事 象 瓦 が 起 れ ぽ,決 定 者 に は 結果 ら が もた ち され る もの とす る。

さ らに,Efな る事 象が 起 った と き新 しいlo七 七eryがprizeと して与 え ら .れ,起 らない ときは 現状 が維 持 され るconditionallotteryを 考 え る と,そ

の す べ て の結 果 につ い て,効 用 の 評価 はE「 の生 起如 何 に よ って影 響 され な 'いが,そ れ ぞ れ の結 果 が 条 件 づ け られ てい る各 事 象 の確 率 評 価 は,ガ を条 件 とす る条件 つ き確 率 の形 を と るべ き こ とが 示 され,こ こで ガ を 入手 可 能 な 情 報 と解す る こ とに よっ て,こ の よ うな情 報 入手 を想 定 した場 合 の最 適 決 定 規 則 がEfを 条件 とす る条 件 つ き確 率 に よっ て加 重 され た 条件 つ き期 待 効 用

"を最 大 化す る ことで あ る こ とが 示 され る

。 これ が ベ イ ジア ソの推 論形 式 を含 意す る こ とは言 うまで もない 。

そ して 最後 に,こ の条 件 つ き期 待 効用 を最 大 化 す る決定 が,拶 な る情 報 が 単 に 入手 可 能 な段 階か ら,実 際 に この 情 報 が 獲 得 され た後 の段 階 に 移 った と き,こ の段 階 で の単純 な最 大 期 待 効 用 を もた らす 決 定 とequivalentで あ る こ とを要 求 して,こ の公 理 体 系 は 完 結 す るの で あ る。

公 理 体系 に つ い て の 進 歩 の い ま一 つ の 方 向 は"extension"の 方 向 と呼 ぶ、

こ とが で き よ う。実 際 に 決定 者 が抱 い て い る主 観確 率 は,必 ず し も一 義 的 な

(8)

一44一 商 学 討 究 第15巻 第4号

数値 と して定 め うる よ うな もの とは限 らない 。主 観 確i率を 一 義 的 な数 値 とす るの は 方 法論 的 な便 宜 に よ るので あ って,本 来 そ れ はあ る幅 を もった もの と して 現 実 の決定 者 の心 に 抱 か れ て い るか も知 れ ない の であ る。今 日,大 方 の ベ イ ジ ア ンの公 理 体 系 に つ い て の考 え方 は ,そ れ をnormativeな もの と解一 す るこ とに あ るか ら,実 験 的 に 評価 され た現 実 の主 観 確 率 が,数 値 的 に あ る 幅 を もって い る とい うこ とは,ベ イ ジ ア ンの理 論 に とって 必 ず し も致 命 的 な ことで は ない が,主 観 確 率 が 一 義 的 に定 め られ な い こ の 「ゆ るい」 条件 の 下 で,な おかつ ベ イ ジ ア ソ流 の決 定 規 則 や統 計的 推 論 が 正 当 化 され るとす れ ば,そ れ はSavageに よって示 され た 公 理 体 系 の 拡 張 を 意 味 す る こ とに な1

る。 この方 向 を行 くもの と して,C.A.B.Smi七h〔22〕 は,主 観 確 率 や効 用, が 上 限 と下 限 を も った あ る幅 で評価 され る場 合 に も,あ る一 義 的 な確 率 加 重 に よ る期 待 効 用 の 最大 化 が可 能 で あ り,そ れ が 最 適決 定 規 則 で あ る ことを示

した 。

§4.事 前 分 布 の 選 択

一 般 に 統 計 理 論 に お い て 三 つ の 問 題 領 域 ,す な わ ち 決 定 理 論,統 計 的 推 、 論,お よ び 実 験 計 画 が 区 別 さ るべ き で あ る と い う考 え 方 が 今 日,常 識 と な り つ つ あ る。

Cox〔3〕 は,統 計 的 推 論 を,与 え られ た 観 察 値 か ら 計 量 され た 不 確 実 性 (measureduncertainty)を も っ て な さ れ た 統 計 的 母 集 団 に つ い て の 叙 述 (statement)と 定 義 し,「 デ ー タ は 母 集 団 の 特 定 の 側 面 に つ い て ど うい う こ

と を 言 う資 格 を わ れ わ れ に 与 え るか 」 と い う問 に 答 え る の が 推 論 の 問 題 で あ る と し て い る。 所 与 の デ ー タが,問 題 と す る母 集 団 の 特 定 の 側 面 に つ い て 内 。 包 し て い る情 報 を,い か に し て ひ き 出 し,そ れ を 母 集 団 に つ い て の い か な る・

叙 述 に 結 合 す るか と い うの が 本 来 の 統 計 的 推 論 で あ り,Birnbaum〔2〕 は,こ れ をNeyman‑Pearson流 の,本 来 決 定 理 論 と み な さ るべ き 点 推 定 や 検 定 な:

ど を 指 す 意 味 で の 統 計 的 推 論 と 区 別 す るた め,特 にinformativeinference・

(9)

ベイ ジア ンの決定 理論 と統 計的推 論 について(西 川) 一45一

と 名 づ け て い る 。Fisher(例 え ば 〔5〕を 見 よ 。)が 一 般 に 推 定(estimation)

"を 問 題 に す る と き に は

,実 は この よ うな 意 味 で の 統 計 的 推 論 を と りあ げ て い るの で あ る 。

これ に 対 して 決 定 理 論 は,こ う した 推 論 に よ っ て ひ き 出 され た 統 計 的 情 報

に 基 づ い て と るべ き行 動(action)に 関 す る理 論 で あ り,Cox〔3〕 に よれ ば, 誤 っ た 決 定 に 基 づ く損 失(10ss)の 評 価 や 事 前 の 情 報(priorinformation)

は,こ の決 定 理 論 に お い て必 要 に な るの で あ る。 '

実 験 計画 は,デ ー タを どの うよな手 続 でつ く り出す か とい う問 題 を扱 うわ

け で ,実 験 に際 してわ れ わ れ が お かれ て い る物 理 的 ・経済 的諸 制 的 に対 す る 考 慮 が

,そ の実 験 が提 供 す るで あ ろ うと ころ の情 報 の 質 と量 に 関 す る考 慮 と と もに 必 要 に な る し,当 然,事 前 の情 報 を 有効 に利 用 す る こ と も考 慮 され ね 擁まな らな い 。

さて,こ の よ うに 決定 理論 や 実 験 計 画 の理 論 と区別 され る意味 で の統 計 的 '推 論 とい う角 度 か らベ イ ジア ソ理 論 を眺 め てみ る と

,そ れ は,デ ー タの情 報

を尤 度 とい う形 で と らえ(尤 度 原 理)

,母 集 団に 関 す る叙 述 は,尤 度 とあ る 事 前 分 布 との積 に 比 例す る形 で得 ら る事 後分 布(逆 確 率 の 公 式=ベ イ ズ の定 理)の 形 で な され る と言 うに尽 き る。

と ころで 統 計 的推 論 が,Coxの 言 うよ うに デ ー タの み か ら何 が 言 え るか を '示 す こ とを 目的 とす る ものだ とす れ ば,こ の よ うな 統 計 的推 論 に おけ る事後 '分 布 は ,事 前 分 布 に 依 存 しな い形 で得 られ なけ れ ぽ な らな い 。そ こで この よ

うな事 後 分布 を もた らす よ うな事 前 分 布 は,ど の よ うに 定 め るべ きか とい う 澗 題 が,ペ イ ジア ソの統 計 的推 論 を,ま さにCoxの 意 味 で の,本 来 の統 計 的 推 論 た らしめ るた めに は

,不 可 避 的 に起 って くる。そ して この問 題 が 鯉決

さ れ て い な く て は,ベ イ ジ ア ソ の 理 論 は,Fisherが 強 調 す る 「科 学 的 推 論 」 Σに お け る 有 効 性 を 主 張 す る こ と が で き な い で あ ろ う

Savage〔20〕 は,事 前 分 布 は 文 字 通 りpersona1な も の で,人 ご と に 異 っ て い て よ い と し,推 論 の 客 観 性 は 「precisemeasurementprinciple」 に よ っ

(10)

T46一 商 学 討 究 第15巻 第4号 て 保 証 さ れ る と考 え て い る。

い ま ベ イ ズ の定 理

8(θlx)oc∫(x1θ)・ 乃(θ) に お い て

∫(xlθ)=φ(x一 θ)

とす れ ば,事 前 分 布 の 密 度 関 数 ん(θ)が θ一κ。(但 し κ。 は 実 際 の 観 察 値 で' 所 与 とす る)の 近 傍 で,φ(κ ・一 θ)に 較 べ て な だ らか(smooth)で あ れ げ

8・(θIXe)≒ ん●φ(κo一θ)●α(κo)◎cφ(κo一 θ)

と な り漕 事 後 分 布 は 近 似 的 に 事 前 分 布 に 依 存 し な い もの と み な して よ く,し か もそ れ ば 尤 度 に 比 例 す る密 度 関 数 の 形 を と る とい うの がprecisemeasur‑‑

ementPrinciPleで あ る 。 しか も φ(x一 の に お い てxと0は 対 称 的 な 関 係 に あ る か ら,符 号 を 逆 転 す れ ば θ の 事 後 分 布 は 実 は 万の 分 布 法 則 と全 く同 一 一

の 形 で 与 え られ るわ け で あ る

。 した が っ てPrecisemeaSurementPrinctPle

は,母 数 θが こ の よ うな 位 置 の パ ラ メ ー タ ー で あ る と き,結 果 的 に はFisher' の 推 測 分 布(fiducialdistribution)と 同 一 の も の と な る。 但 し,推 測 分 布 は 観 察 値 の 分 布 の み か ら厳 密 な形 で 導 か れ る も の と し て 主 張 され る の に 対 し, precisemeasurementprincipleは,事 前 分 布 が 実 際 に 得 られ た 観 察 値 の 近 一

傍 で 一 様 分 布 に 近 い とい う仮 定 の 下 で,近似 的 に 成 り立 つ 関 係 を 示 す に と ど ま る 。 推 測 分 布 に つ い て は また 後 で ふ れ る の で,こ こで はprecisemeasur‑‑

ementprincipleの 妥 当 性 を 簡 単 に 吟 味 して お こ う。

現 実 の 観 察 値xeの 近 傍 で 事 前 密 度(priordensity)h(θ)が φ(x。一 θ)に 対 して 相 対 的 に 一 様 分 布 に 近 い 形 を し て い る こ とが,こ のprincipleの キ ー

・ポ イ ン トを なす 前 提 条 件 で あ る。 こ の 条 件 は,大 標 本 の 場 合 に は 実 際 上 常 に 満 足 され て い る と考 え て よ い 。 そ し て 戻 θ)が あ の 近 傍 で φ(κ・一 θ)に 対 し,が な り鋭 い 形 を して い て こ の 条 件 が 満 され な い 場 合 とい うの は,わ れ.

わ れ の θに つ い て の事 前 的 な 確 信 が,実 際 の 観 察 結 果 と大 幅 に 喰 違 っ て い る こ と を 意 味 し て い る の だ か ら,こ のprincipleの 前 提 条 件 が 充 され る と こ ろ・

(11)

'

ベイ ジア ンの決定理 論 と統計的推 論につ いて(西 川) 一47‑一 ・一

ま でsamplesizeを 拡 大 す る な どの 手 段 を 講 じな け れ ば な らな い 場 合 で あ る と考 え られ る の で あ る 。 こ の よ うな考 え 方 は きわ め て 実 際 的 な も の で あ る が,理 論 的 に は む し ろ決 定 理 論 的 な もの と 言 うべ き で あ ろ う。 そ して よ り重 要 な こ とだ が,こ のprincipleは,κ ・が 大 き くば らつ くで あ ろ う小 標 本 の 場 合 に は,ほ と ん ど常 に 使 え な い こ とに な る 。 ま た ∫(xiθ)を φ(万一 θ)な

る形 に 限 定 して い る の は,∫(刈 θ)を そ の ま ま の形 で 変 数 と母 数 の 読 み か え の み た よ っ て 母 数 θの 分 布 と解 釈 す る こ とが で き る た め に 設 け られ た 仮 定 で あ るが,こ の 仮 定 は こ のprincipleが 適 用 され る推 論 問 題 を,位 置 の パ ラ メ ー タ ー に 関 す る も の の み に 限 定 す る わ け だ か ら,き わ め て 強 い 仮 定 で あ る 。 も ち ろ ん こ の 仮 定 は 緩 和 で き る が,ど こ ま で 緩 和 で き る か に つ い て は,Fisher の 推 測 分 布 を 確 率 分 布 と して 解 釈 す る場 合 に つ い て 起 る 複 雑 な 問 題 と本 質 的 に は 同 一 の 問 題 を 生 ず る こ とに な ろ う。

こ う したSavageの 考 え 方 に 対 して,Jeffreys〔12〕,Lindley〔16〕,

Hartigan〔11〕 らは,先 に 述 べ た よ うな 意 味 で の 本 来 の 推 論 問 題 に お け る ベ イ ズ の定 理 の 適 用 に あ た っ て は,事 前 分 布 と し て,何 らか の 客 観 的 根 拠 に 基 い て θに っ い て の わ れ わ れ の 無 知(ignorance)を 表 わ す 確 率 分 布 を 用 い る

こ とが 必 要 で あ る と考 え て い る 。

常 識 的 で,か つ また 古 典 的 な や り方 は,無 理 由 の 理 由(principleof

i早sufficient;eason)に 基 づ い て,θ の 存 在 可 能 範 囲 の 全 体 に わ た っ て 一 様 な 確 率 分 布 を も っ て,無 知 を 表 わ す 事 前 分 布 とす る こ と で あ る 。

こ の よ うな ア プ ロ ー チ は0の 存 在 可 能 範 囲 が 無 限 区 間 の 場 合,normalize され な い 確 率 分 布 の 導 入 を 必 要 とす る 。 こ の こ と 自体 は 一般 に そ れ 程 致 命 的 な 困 難 とは 考 え られ て い な い が,Of{gti<。 。 の と き,任 意 の 実 数aに 対 しで P(0≦a)は こ の よ う なnormalizeさ れ な い 確 率 分 布 に お い て も 常 に 有 限 (finite)で あ る の に 対 し,P(ti》 α)は 常 に 無 限 大 と な るか ら,二 つ の 命 題 の 選 択 に あ た っ て,確 率 の よ り大 き な 命 題 を 採 択 す る と い う常 識 的 な ル ー ル は この 場 合,無 条 件 に は 使 え な い 。 何 故 な らば,θ ≦ α と い う命 題 は,∞

(12)

一48一 商 学 討 究 第15巻 第4号

外 の い か な る α を と っ て も,こ の ル ール の 下 で は θ〉 α とい う命 題 に 対 し て t常に 棄 却 され る こ と に な るか らで あ る

。Jeffreysは,こ の事 実 は θに つ い て わ れ わ れ が 全 く無 知 で あ る とい うこ と とinconsistentで あ る と して い る 。

JeffreySは ま た,こ の よ うな 一 様 分 布 を 無 知 を 表 わ す 事 前 分 布 とす る こ と の 不 都 合 な 例 と し て,次 の よ うな こ と も指 摘 して い る 。

0≦ θ<。 。 の と き,θ に つ い て わ れ わ れ が 全 く無 知 で あ る と い うこ とは, θ の 任 意 の 乗 巾 に つ い て も全 く無 知 で あ る こ とを 意 味 し て い る 。 した が っ て,θ の 事 前 分 布 も θ処の 事 前 分 布 も,無 理 由 の 理 由 の立 場 か らは 同 じ一 様 分 布 を して い な け れ ば な らな い 。 しか るに,θ に つ い て の 一様 分 布 が

B(θ 、<θ<θ ノ十aθ)ocdθ

と 示 さ れ る の に 対 し,伊 の 一 様 分 布 は

P(θ 、n<θn<(θ ノ十4θ)n)OC4θnOCθ ノn一ノdθ

と な り,後 者 は θ、の 値 い か ん に よ っ て 変 り,前 者 と一 致 しな い 。

こ う した 不 一 致 を 排 除 す るた めJeffreysは,θ の 一 意 変 換 に 関 しあ る種 の 不 変 性 が 充 さ れ る よ うな 事 前 分 布 を 採 用 す る こ とを 提 唱 す る 。

彼 は 二 つ の 分 布 関 数F,Ftに つ い て

」一 ∫z曙 ・d(F・一一F)

が す ぺ て のnon‑singularな 変 換 に 対 し て 不 変 で あ る こ と に 着 目 し,Fが θ̀σ誤 ろ… 、〃の を も ち,Ftが 母 数 θ,+dθ,,σ 一 乙…,m)を も つ も の と し, そ れ ぞ れ の 密 度 関 数 をf,f'で 表 わ し,fが θ̀,σ 一 乙…,m)に つ い て 微 分 可 能 で あ る と す れ ば,充 分 に 小 さ いdθ,,σ 一 乙…,m)に つ い て

J・=Σ Σf,Jdθ,dθ 」

̀'

但 し

掬 「幽 。(Σδ

x)磁 薮 ・傷

と な る こ とか ら,事 前 分 布 の 密 度 関 数 と してllf.IlSを と る こ とを 提 唱 し て

(13)

ベ イ ジ ア ン の 決 定 理 論 と統 計 的 推 論 に つ い て(西 川)‑49一

い る 。 い ま θ̀,(i‑1,…,m)を θ㌔,(彊 乙….〃の に 変 換 す る と き,ノ の 不 変 性 ら θノ̀に つ い て も

ノ詔 Σ Σ ノ堀4θ ノ泌 θ,1

ヵミ導 か れ,こ こに

f・k・一・;9fw・2iSlt,̀

,・1亀

'で

11f・k・li・・llfull・ 厭1・ .と表 わ せ,一 方,多 重 積 分 の 変 換 公 式 よ り

・a・e…d・… … ・4θ

一(絵D6・a・ …4θ ㌔ ・… ・4%

Ilf、,lledθ.…dO.一=ltfutlSao',・ ・4θ ㌔ .が 成 り 立 つ か ら で あ る 。

JeffreySは こ の 方 法 で

∫一 毒 ゆ{一 α …蓑 ア}・ 一・・<μ<・ … 如 く ・ 'の 場 合

(1)aが 既 知 な らば,μ に 対 す る事 前 分 布 と して は 一 様 分 布 を と るべ き こ .と

μ が 既 知 な らば,σ に 対 す る事 前 分 布 は,そ の 確 率 素 分 がda/aに '例 す る よ うに と るべ き こ と

,つ ま り109σ に 関 して 一 様 分 布 を 採 用 す べ き こ

(3)μ,aが 共 に 未 知 の 場 合 に は,事 前 分 布 の確 率 素 分 はdPtdO/σ2に 比 例 す る もの を と る べ き こ と

';iを導 い て い る

(14)

一50一 商 学 討 究 第15巻 第4号

Lindleyは,母 数 が 一 つ の と き,Jeffreysの こ の 方 法 が,Fisherの 情 報 三 量1(θ)の 平 方 根{1(θ)}}に 比 例 す る よ うに 事 前 分 布 を 定 め る こ とで あ るt一

こ とを 示 した 。

恐 ら くJeffreySに は じ ま る と 思 わ れ る こ う した 不 変 性 を 基 準 に して 事 前 分 布 を 選 択 す る 問 題 に つ い て,系 統 的 な 分 析 を 最 近 行 っ た の がHartiganで あ・

る 。以下 や や 長 くな る が,最 近 の 統 計 理 論 に お い て 不 変 性 概 念 は ま す ます 重 要 一 性 を 加 え つ つ あ る こ と も考 慮 して,そ の所 説 を 要 約 して お く こ とに し よ う。

彼 はJeffreysに した が っ て,事 前 分 布 お よび 事 後 分 布 に はnormalizeさ れ な い 確 率 分 布 を 想 定 し,ベ イ ズ の 定 理

9(θlx)。c∫(xlθ)・h(の

に お い て,θ に つ い て の 無 知 を 表 わ す よ うな事 前 密 度 戻 θ)が 定 め られ る と す れ ぽ,そ れ は わ れ わ れ の 事 前 的 知 識(priorknowledge)がXtlこ つ い て の' あ る 特 定 の 一 組 の 観 察 値 に 等 しい と仮 定 して,ベ イ ズ の 公 式 を 使 っ て こ の 事 一 前 的 知 識 を 表 わ す 密 度 関 数 を 求 め る こ とで あ る と考 え る こ とか ら出 発 す る 。 そ し て ∫(xlo)の 族(family)Fに 対 応 して 定 め られ る事 前 密 度 が,θ の 一' 意 変 換 に 対 して 不 変 と な る よ うに 定 め よ う とす る の で あ る 。

まずgは そ れ ぞ れ の 分 布 族Fに8F(θ1〃)を 対 応 させ る 任 意 の 関 数 で あ る ・ と考 え,ま たhは そ れ ぞ れ のFにhi(θ)を 対 応 させ る と と もに8式 θlx)‑

f(xlθ)hF(θ)な る 関 係 に よ っ てgを 定 め る 関 数 で あ る と考 え る。 また ∫(xl O)はmの あ る 開 部 分 集 合Sの 要 素 万お よ びRkの あ る 開 部 分 集 合2の 要 ・ 素 θに っ い て定 め られ,そ れ は す べ て の κ⑤ θ認 に 対 し て,θ に 関 す る連.

続 な導 関 数 を もつ も の とす る 。 こ こ でh(の,9(elX)を そ れ ぞ れ 特 定 の 分 布 族 に 対 応 して 定 め られ る θの 事 前 密 度 お よ び 事 後 密 度 とす る統 計 的 推 論 を 考 え た 場 合,充 され る こ と が 望 ま しい 不 変 性 概 念 と して 次 の よ うな もの を 挙 げ=

る こ とが で き る 。 1.S‑labeIlinginvariance:‑

f(F,feeEFseに つ い て

(15)

ベイ ジア ソの決定 理論 と統 計的推 論に つい て(西 川)} 一51一

fce(exlθ)・(agx/du)'=f(xlθ)

が す べ て のXES,θE2に つ い て 成 り 立 つ と き,そ れ ぞ れ の 変 換3に 対 し て 8詳(oiev)。cg‑(olx)

な ら ば,gはS‑labellinginvariantで あ る 。 こ こ に ■ はx→9xでSを に 一 1対1対 応 さ せ る 微 分 可 能 な 変 換 で,gyはRKの 開 部 分 集 合 と す る 。 こ れv は 変 換 さ れ た 確 率 変 数ge‑TXの 観 察 値T」Vが,観 察 値X・ ・Xが θ に 対 し

て も つ の と 同 様 の 関 連 を も つ こ と を 保 証 す る も の で あ る 。 ll.9‑labellinginvariance:

fEF,feeEFteに つ い て f÷e(xlTθ)rf(xIθ)

が す べ て の κ識 θ̀9に つ い て 成 り 立 つ と き 8R∋ξ'(7「θlx)・(6彦 丁θ/dθ)oc8」F〈θlx)

な ら ば,gは9‑labellinginvariantで あ る 。 こ こ でTは2を に1対f 対 応 さ せ る 微 分 可 能 な 変 換 で,・Pt・ はRKの 開 部 分 集 合 と す る 。 こ れ は θ→TO な る 変 換 に よ っ て 同 一 の も の と 認 め ら れ る 二 つ の 分 布 族F,F*に 対 応 す る 事 後 分 布 も ま た,こ の よ う な 変 換 に よ っ て 同 一 の も の と 認 め ら れ る と い う こ と を 保 証 す る も の で あ る 。

璽.2‑reStriCtiOninvarianCe』:‑

Fは θ認 に お け るf(xlの の 族,Fesは θξ群 に お け るf(xlθ)の 族(但 し,2eeは2の 開 部 分 集 合)で あ る と す る と き,そ れ ぞ れ のF,PSve対 し て

9Ree(θlx)◎cg■ 〈θIx).θE2ee

が 成 り 立 つ な ら ば,gは2‑restrictioninvarian重 で あ る 。 こ れ は,9)G・ の 中 で θ を 層 こ よ っ て 区 別 す る こ と は,併 以 外 の θ の 値 に よ っ て 影 響 さ れ る も の ・ で は な い と い う こ と を 意 味 す る 。

17.Sufficiency:‑

XESか ら,S→gyの1対1変 丁 に よ っ て 得 ら れ るTXが θ の 充 分 統 計 量 と な っ て い る と き

(16)

・‑52一 商 学 討 究 第15巻 第4号

9F∋e(θITx)oc8■ 〈θlx)

ら ば,gはsufficiencyinvariantで あ る 。 意 味 す る と こ ろ は 明 か で あ ろ う 。

V.Direc七productinvariance:一 一一

x,Yは そ れ ぞ れ 密 度 関 数fi(xlθ),f2(ylφ)を も つ 独 立 な 確 率 変 数 と す る 。 そ の と きZ=(X,1つ はf(X,ylθ,φ)rf'(〃1θ)・f2(ylφ)な る 密 度 関 数 を も つ が,Eをf,(vlの,θE9,の 族,F2をf2(列 φ),φ6S?2の と し,

‑F・ ・F、×F。 ノ(X,列 θ,φ),θ̀島,φ ερ 。 の 族 と す る と き

9)〈 θ,φlx,ツ)◎cgFノ(θ1x)●97̲・(φ1ツ)

な ら ば,gはdirec七productinvariantで あ る 。

「Vil

.Repeatedproductinvariance:・

ノ「←(x■,・。・,Xinlθ)=昌n1(x̀1θ)

̀

'で,Fは 」(列 θ),θE9の 族,盛 はfX(X,…,1θ),θd2の 族 とす る と き 8詳(θlX、.….Mn)。 。プ(X2,…,Xmiθ)・9R(θlX、)

な らば,gはrepetitioninvariantで あ る 。1〜Vのinvarianceで はgア(θ lX)。。ノ(xlθ)・h(θ)と い う形 をgが もつ こ とを 要 求 して い な い が,こ repetitioninvarianceは,あ る 恥 こ対 してgが 必 ず こ の形 で 定 め られ ね ば な らな い こ とを 要 求 す る も の で あ る 。 した が っ て このinvarianceは ベ イ ジ ア ソの 統 計 的 推 論 に と っ て 本 質 的 な 要 求 で あ る 。

以 上 の 不変 性 は い ず れ も事 後 分 布 に 要 求 され る も の で あ り,推 論 が 観 察 値 趣こも とつ い て 母 数 θの 確 率 分 布 を 示 す 形 で 行 わ れ る よ うな 統 計 的 推 論 に つ い て 一 般 に 考 え られ る望 ま しい 性 質 で あ る 。 ペ イ ジ ア ソの 統 計 的 推 論 に と っ て 本 質 的 な こ と は,こ の 事 後 分 布 が 事 前 密 度 乃か ら定 め られ る とい う こ と で あ り,事 後 分 布 が これ らの 不 変 性 を 満 足 す る か ど うか は 事 前 分 布 の 与 え 方 い か

ん に よ っ て 決 ま っ て くる の で あ る 。 しか も わ れ わ れ は こ の 事 前 分 布 に つ い て も θの 一 意 変 換 に 対 す る不 変 性 を 要 求 して い る の で あ る。 つ ま りわ れ わ れ が こ こで ま さ に 問 題 に しな け れ ば な らな い の は,以 上 の 不 変 性 を 備 え た 事 後 分

(17)

ベイ ジア ンの決定理 論 と統計的推 論につ い て(西 川) 一53一

布 を ベ イ ズ の 定 理 に した が っ て もた ら し,か つ そ れ 自 身 θの 一 意 変 換 に 対 し て 不 変 で あ る よ うな 事 前 分 布 を 求 め る こ と で あ る 。

まず 最 初 に 考 え られ る の が,relativelyinvariantpriordensityと い う・

概 念 で あ る 。 す な わ ち

ノー(zxI9θ)(dew/4x)冨=ノ(xlθ),X」S,θc52 を 満 足 す る微 分 可 能 な 一 意 変 換8に 関 して

h7(2θ)(dg7/4ク)==chR(θ),θf3?

が 充 され る と き,h7(の をrelatively,invariantpriordensityと い う。 こ の よ うなhF(の が 存 在 す る と き,こ れ と対 応 して 定 め られ る9F(θ1〃)は, 上 記1,fi,璽 の 各 不 変 性 を 満 足 す る こ と が 容 易 に 言 え る 。

と こ ろ で 問 題 は ・ 一 般 の 分 布 族Fに 対 し・ こ の よ うな 不 変 性 を 満 足 す る 変 換 が 存 在 す る とは 限 らず,ま た そ れ が 存 在 した と して も,不 変 な 事 前 分 布

が 一 義 的 に定 ま る こ と は 滅 多 に な い と い う こ と で あ る 。

そ こ で 彼 は 次 に,事 前 分 布 が そ れ に 対 応 して 定 め られ る分 布 族Fに さ ら に 強 い 制 限 を 加 え る と と もに,不 変 性 が 充 さ れ る ・S2の上 の 範 囲 を せ ば め る こ と に よ っ て,不 変 な 事 前 密 度 を 一i義 的 に 定 め よ うと す る 。

まずf(xlθ)(θ で,2はR"の 開 部 分 集 合 とす る)は (δ「/∂θ「)1(醤プてxiθ),r≦ ζ2

が す べ て のXES,θE2に 対 して 存 在 し,ま た 有 限 の 二 次 の 積 率 を もつ もの と し,結 論 的 に は(∂/∂ のlogh(9)が(∂/∂ θ)logf(xlθ)と,(∂2/∂ θ2)1㎎

∫(xlθ)に の み 依 存 す る こ とを 意 味 し,あ る θ・の近 傍 で ノ(TxITθ)(4Tx/ax)=プ(x1θ)

h(=TO)(4=zrθ/dθ)・=o乃(θ)

が 充 され る よ うな 事 前 密 度,す な わ ちlo『allyinvariantpriordensityが 導 入 され る 。

と こ ろ が,こ の よ うな 制 限 され た 不 変 性 を 満 足 す る事 前 密 度 す ら も,こ を 見 出 す こ とが 一 般 に は 期 待 で き な い の で,、彼 は さ らに,銘 → 。。 に つ れ て

(18)

一54一 商 学 討 究 第15巻 第4号

く∂/∂θ)logf(x[θ)な ら び に(∂2/∂ θ')logf(xlθ)の 漸 近 分 布 が,0(ガ 巻)で こ れ ら の 一 次 お よ び 二 次 の 積 率 で 定 ま る こ と を 利 用 し て ,

(∂/∂θ)log・h(θ)諸 一E(ノ}f2)/E(ノ 』)

を 満 足 す る 一 義 的 なh(θ)を 導 き,こ れ をasymp七 〇ticallylocallyinvariant Priordensity(ALIpriordensity)と 呼 ん で い る 。 但 し,

f'=[(∂/∂ θ)1・gf(x1θ)コ θ一 θ。

f・'=[(∂ ヲ ∂θ2)1・gf(xlθ)コ θ一 θ。

+で,E(fi)‑0と す る 。

次 い で こ れ を ・9が 逆 の 開 部 分 集 合 の 場 合 に 拡 張 し,θ ・=θ・ で(∂/∂ θ,)lag ノ(xlθ),i=1,…,h(∂/∂ θ̀)(∂/∂ θ,)logf(xlθ),i=1,…,肋 ブ=乙 …,kが 有 限 の

一 次 お よ び 二 次 の 積 率 を も ち

E[(∂/∂ θ̀)log∫(ガ1θ)コ=O,i==1,…,k

E[(∂/∂ θ̀)1qgノてxlθ)・(∂/∂6㌧)logノ てx{θ)]

十E[(∂2/∂ θ̀∂θ」)logノ(xlθ)]=o, づ=乙 …,ん ノブ諾1,…,h

を 満 足 す る と き

乃(θ)一一:1:iE(翫 銑1㎎ ∫・灘 ・8・

に よ っ て,θ ・=θ。 に お け るALIpriordensityを 定 義 し て い る 。 但 し, .9S」は 希 ブ 要 素 に

'E[(∂/∂ θの(∂/∂ θ

,)logノ(xIθ)]

も つ 行 列 の 逆 行 列 の づ,ブ要 素 で あ る 。

ALIpriordensityは,既 述 のJeffreysのinvarian七priordensity .と 似 て お り,Jeffreysのdensityは

ノ(exi2θ)(aew/ax)==ノ てxIθ),xεS,θE9

:な る 微 分 可 能 なS→S.認 →2の1対1変 換zに 対 し て h(di)(ddi/4θ)==h(θ)

(19)

ベイ ジア ンの決定理 論 と統 計的推論につ い て(西 川) 一55一

"を 充 す の に 対 し

,ALIpriordensityは h(εθ)(azθ/dθ)==ch(θ) vを 充 す も の で あ る

。 ま た,Jeffreysの 事 前 密 度 を ノ(θ),ALIpriordensi七y rをH(θ)と す る と き

ノ(θ)ω ・H(θ)β,但 しa+β ・‑1

ビは,先 の1〜VIの 不 変 性 を す べ て 満 足 す る 事 後 分 布 を も た ら す 事 前 分 布 と な る こ と も 指 摘 さ れ て い る 。

し か し,以 上 に お い て 乃(θ)が ∫(劉 θ)の 族 に 対 応 し て 定 め ら れ て い る こ .と の 結 果 と し て,次 の よ う な ベ イ ジ ア ン の 統 計 理 論 に と っ て,か な り 致 命 的

と 思 わ れ る 矛 盾 を も た ら す 。

す な わ ち,同 一 母 数 θ に 関 す る 推 論 に お い て,ま ず κが 観 察 され,次 い で 汐 が 観 察 され た と い う場 合,ベ イ ジ ア ソの 統 計 的 推 論 は

9(θIx,ツ)QCノ(ニソ1θ)●9(θ 】x)

と い う形 で な さ れ る の が た で ま え で あ り,こ の よ うに 新 しい 情 報 が 取 得 さ れ .る に した が っ て,そ れ 以前 の 段 階 で 得 られ て い た 事 後 分 布 を 新 た な 事 前 分 布 ,とす る こ と に よ っ て,推 論 を 逐 次 修 正 して い く手 続 を 与 え る と い うの が,ベ

イ ジ ァ ソ ・ア プ ロ ー チ のす ぐれ た 利 点 の 一 つ で も あ る が,こ の よ うな 形 の 推 論 は,事 前 分 布 に 上 記 の 不 変 事 前 分 布 を 用 い る 場 合,%ッ が そ れ ぞ れ 同 一 の

分 布 に した が っ て い な い と,consistentな 結 果 を もた ら さ な い の で あ る 。 例 え ば,先 ず 銘 回 の 独 立 な試 行 で,各 試 行 に お い て 確 率 θ で 生 起 す る 事 象 を

,丁 回 観 察 した と し よ う。 次 い で,こ の 事 象 を さ らに 〆 回 観 察 す る ま で 試 行 を 繰 り返 し,そ の 結 果 πノ回 の 試 行 が 追 加 され る こ とに な っ た と し よ う。

結 果 か ら 見 れ ばn+nl回 の 独 立 試 行 が 行 わ れ,r+〆 回 の 事 象 を 観 察 した の で あ っ て,こ の 観 察 結 果 が わ れ わ れ に 与 え る 情 報 は,順 序 を 逆 転 し て,ま ヅ 回 の 事 象 を 観 察 す る ま で 〃 回 の 試 行 を 繰 り返 し,次 い で 銘 回 の 試 行 を 行 っ て,r回 の 事 象 を 観 察 した と い う場 合 と,得 られ た 観 察 結 果 を 所 与 とす る

限 り,全 く同 一 で あ る 。 尤 度 は い ず れ の 場 合 に もC・ θ"+「'・(1一のn+n'一(「+「')

(20)

一56一 商 学 討 究 第15巻 第4号

で あ っ て 同 一 で,こ れ が ベ イ ジ ア ソ の 統 計 的 推 論 の 基 本 原 則 で も あ る と こ ろy の 尤 度 原 理 で あ る 。

し か る にf(rln,θ)に 対 す るALIpriordensityは1/θ ・(1一 θ)と な.

り,9(θIr.n)◎cOr‑1・(1‑一 θ)n‑「‑1で,9(θ1循z夙 〆)◎cf(n,1死 θ)・9(θ π〉

ら はg(θln,r,nl,rt)。 ・伊+「'"1・(1‑0)n+n'"r"""'を 得 る の に 対 し,∫@ノi Of.0)のALIpriordensityは1/(1‑0)で あ る こ と か ら,9(θ1死 〃)。 。θ「m

.(1̲θ)n"「‑1で,g(θln,r,nt,Of)OC∫(rln,θ)・g(θIrt,n,)か ら はg(θln,r,一 就 〆)。ce+「'・(1‑一 一θ)n+n'一 「‑r'一'が ら れ,観 察 結 果,す な わ ち 尤 度 は 同 一 一

で あ る の に,事 後 分 布 は 観 察 手 続 に よ っ て 異 っ て く る の で あ る 。 同 じ 問 題 は.

Jeffreysのpriordensityを 使 う 場 合 に も 起 る 。 こ れ は 尤 度 原 理 に 合 致 せ' ず,し た が っ て ベ イ ジ ア ソ の ル ー ル とinconsistentで あ る 。

'

§5.ベ イ ジ ア ン の事 後 確 率 と推 測 確 率

Fisherの 推 測 確 率 密 度(fiducialprobabilitydensity)は,θ の 充 分 統 詐 量Xの 分 布 関 数F(vlθ)が θ の 減 少 関 数 で あ る と き

¢(θ1x)一=一 晶F(xlθ)

または一般 に

φ(θレ)暢 飾1θ)1

で 与 え られ るが,こ れ が 果 して 確 率 分 布 と して の 要 件 を 一 般 に 満 足 す る も の ・ で あ るか,ま た そ れ が 一 義 的 に 定 め られ る もの で あ るか に つ い て は,多 くの ・ 議 論 を 呼 び 起 した 。1961年,Fraserは 著 名 な 二 つ の 論 文 〔7〕,〔8〕 で,推 測 分 布(fiducialdistribution)を 一 義 的 な 確 率 分 布 と して 解 釈 す る こ とが 許 され る一 つ の 条 件 を 明か に した 。

彼 は 充 分 統 計 量Xの 標 本 空 間Sの 上 の 変 換 群 に 対 して 不 変 で あ る と こ ろ の 一 定 の 分 布 を もち,か つ 母 数 θ を8に 施 され る変 換 の 一 種 と し て扱 っ て, x・=θgす な わ ちg・ ・θ"'xと 表 わ せ る変 量g(枢 要 統 計 量pivotalquantityr

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